初中数学八年级下册2 勾股定理的逆定理 全省一等奖

18.2勾股定理的逆定理勾股定理:a2+b2=c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：勾股定理的公式变形a2=c2－b2b2

=c2-a2a2+b2=c2cbaCBA常用的勾股数：3、4、5；成倍数关系5、12、13；6、8、10

7、24、25；9、12、158、15、17；12、16、20

9、40、41.15、20、25

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数特殊三角形的三边关系：若∠A=30°，则若∠A=45°，则如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;并且较大边c所对的角是直角.勾股定理的逆定理:用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：

勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：

勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

例1若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：

在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

（3x）2+（4x）2＝202

化简得x2＝16；

∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

【变式1】如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D【变式2】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

例2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB⊥MN，垂足为B。

在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，

∴AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

∵点A到直线MN的距离小于100m,

∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，

由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),

∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为:18km/h＝5m/s

t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

例3三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC∟D∟DABCABC1017817108折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。DAGBCE例4☞4x3434-xx3你还能用其他方法求AG的长吗？规律

分类思想

1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图