数学-专项18 平面直角坐标系中的矩形（带答案）

专题18平面直角坐标系中的矩形1．如图，已知矩形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，则点C的坐标为A． B．C．（4，-3） D．【答案】D【分析】根据矩形的对角线互相平分，再由对角线的交点为原点，则点A与点C的坐标关于原点成中心对称，据此可解．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，且点A与点C关于原点成中心对称∵点A的坐标为（-3，4），∴点C的坐标为（3，-4）故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质和坐标与图形的关系．要会根据矩形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案．

【详解】解：∵四边形为长方形，∴，，∵，∴点的横坐标与点相同，为，点的纵坐标与点相同，为，∴点的坐标为．故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题．3．如图，已知矩形OABC的周长为18，点B的坐标为（4，7），则矩形OABC的面积为（

）A．28 B．16 C．8 D．4【答案】C【分析】连接OB，根据点B坐标得到OB，设OC=x，BC=y，得到，，再利用完全平方公式得到，即可得解．【详解】解：如图，连接OB，∵B（4，7），∴OB==，∵矩形OABC的周长为18，设OC=x，BC=y，∴，，

∴=8，即矩形OABC的面积为8，故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，完全平方公式，解题的关键是得出，，再灵活运用完全平方公式变形．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E的坐标即可．【详解】解：如图，作A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，此时的周长最小，∵，

∴，设直线表达式是，则，解得：，∴，所以点E的坐标是．故选B．【点睛】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为，利用两点之间线段最短的性质解决问题．5．如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（）A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）【答案】A【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，得到点的坐标．【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），∴OA＝1，AB＝2，由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，∴，，∴点C的对应点的坐标为．故选：A．

【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐标．6．在长方形中，三点的坐标分别是则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据长方形的性质求出点Q的横坐标与纵坐标,即可得解．【详解】解：在长方形中：则点Q的横坐标与点M的横坐标相同，为0,点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，为2，则点Q的坐标为(0,2)．故选:B．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质等知识,熟练掌握矩形的对边平行且相等的性质是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（5，﹣2），则第四个顶点的坐标（）A．（5，3） B．（3，5） C．（7，3） D．（3，3）【答案】A【分析】设点C的坐标为（m，n），由长方形的性质可以得出“DC=AB，AD=BC”，由DC=AB可得出关于m的一元一次方程，由AD=BC可得出关于n的一元一次方程，解方程即可得出点D的坐标．【详解】依照题意画出图形，如图所示，设点C的坐标为（m，n），∵点A（-2，-2），B（5，-2），D（-2，3），AB=5-（-2）=7，DC=AB=7=m-(-2)，解得：m=5；AD=3-（-2）=5，BC=AD=5=n-（-2），解得：n=3

∴点C的坐标为（5，3），故选A．【点睛】本题考查了坐标系中点的意义以及长方形的性质，解题的关键是分别得出关于m、n的一元一次方程．解决该题型题目时，依照题意画出图形，再根据图形的性质即可得出结论.8．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______．【答案】(﹣2，4)【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．【详解】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：则∠AMO＝∠BNC＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵A(2，1)，B(0，5)，∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，∵四边形OABC是矩形，∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，∴∠CBN＝∠AOB，∵∠AOM+∠AOB＝90°，∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，在△BCN和△AOM中，，

∴△BCN≌△AOM(AAS)，∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，∴ON＝OB﹣BN＝4，∴点C的坐标是(﹣2，4)；故答案为(﹣2，4)．【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为_________．【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．【详解】试题解析：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；

分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5-3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，点是坐标平面内的任意一点．若以，，，为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点的坐标为___________．【答案】或或【分析】当以，，，为顶点的四边形是边长为5的菱形时，有三种情况，分，点在点的左侧；；，点在点的右侧，结合矩形的性质和勾股定理可求得点的坐标．【详解】解：有三种情况：（1）如答图①所示，，点在点的左侧．过点作轴于点，则．在中，由勾股定理得：，∴，∴此时点坐标为，此时；

（2）如答图②所示，．过点作轴于点，则．在中，由勾股定理得：，∴，∴此时点坐标为，此时；（3）如答图③所示，，点在点的右侧．过点作轴于点，则．在中，由勾股定理得：，∴，∴此时点坐标为，此时；

综上所述，点的坐标为或或；故答案为或或．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，使用分类讨论的思想是解题关键．三、解答题(共0分)11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是A(﹣1，1)，B(﹣2，0)，C(0，﹣2)．（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画，使它与位似，且相似比为2：1，并写出点的坐标；（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）见解析，A'(2，﹣2)，B'(4，0)，C'(0，4)；（2）(1，3)【分析】（1）画出一个以点O为位似中心的△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1即可．（2）根据矩形的性质，即可直接写出．【详解】解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．

【点睛】本题考查作图－位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒．（1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度）（2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？（3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由．【答案】（1）B点的坐标为，；（2）当时，的面积不小于的面积；（3）的面积不可以等于36，理由见解析【分析】根据矩形的长和宽表示点B的坐标，根据速度和时间表示：，，可得结论；根据的面积不小于的面积，列不等式，代入面积公式可得t的值，并根据已知确定t的取值范围；先根据的面积为36，列方程解出t=8，根据内即可得出结论．

【详解】解：（1）长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，∴AB=OC=6，OA=9，∴B点的坐标为，∵P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，∴OP=1.5t，CQ=t，∴，故答案为（9，6）；；；（2）∵，，若，即，解得，∵点P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，∴，∴，∴当时，的面积不小于的面积；（3）的面积不可以等于36，理由如下：

∵，若，则，∵，∴的面积不可以等于36．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积求解，矩形的性质，点的坐标特点，图形动点运动问题，难度适中，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键．13．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．（1）求F点的坐标；

（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．【答案】（1）（4，5）；（2）（−，4）；（3）（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【分析】（1）先求出点E坐标是（，7），由折叠的性质可得EF＝CE＝，由勾股定理可求BF的长，即可求解；（2）连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，先求出D（0，2），再根据矩形的对角线互相平分，即可求解；（3）分3种情况：①当DF为菱形的对角线时，②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合，③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，分别求解，即可．【详解】解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3，∴点E坐标是（，7），∵四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝，BE＝BC−CE＝，∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处，∴EF＝CE＝，∴BF＝，∴AF＝7−2＝5，∴点F（4，5）；（2）如图2中，连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，

当四边形PEFD是矩形时，△PDE≌△FDE≌△CED，设OD=x，则CD=DF=7-x，FM=7-2-x=5-x，在中，，解得：x=2，∴D（0，2），∵E（，7），DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（−，4）；（3）①当DF为菱形的对角线时，M、N分别在AB与OC上，ND=NF，设N（0，y），∴(y-2)2=，解得：，∴N（0，），FM=DN=-2=,∴AM=5-=，∴M（4，）；②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合，ND=DF=5，

∴MF=5，AM=5+5=10，∴M（4，10），N（0，7）；③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，ND=DF=5，∴ON=5-2=3，∴N（0，-3），M（4，0）．综上所述：M，N的坐标为：（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换，图形与坐标，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，掌握分类讨论思想方法，属于中考压轴题．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的定点、在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点、为边上两个动点，且，求四边形的周长最小值．【答案】【分析】点C向右平移2单位到G，点D关于x轴的对称点，连接G，要使四边形

的周长最小，只要CE+FD最小即可．【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，向右平移点至点，使，连接，与轴交于点，在上截取．∵，，∴四边形为平行四边形．∴．∵四边形的周长为，，的长为定值，∴当的值最小时，四边形的周长最小∵点，点关于轴对称，∴．∴．∴此时得到的点，使四边形的周长最小，∵四边形为矩形，点的坐标为，∴，．∵为的中点，∴．∴．∵点，点关于轴对称，∴，．∵，∴．∴．∴的最小值为．∴四边形的周长最小值为．

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，动点P从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t（秒）.（1）直接写出点B和点C的坐标：B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围.【答案】（1）0，6；8，0；（2），【分析】（1）根据AB∥x轴，AC∥y轴，即可得到答案；（2）根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB=8，AC=6，分两种情况：当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，进行讨论，即可得到结论；【详解】解：（1）根据题意，∵AB∥x轴，AC∥y轴，点A为（8，6），∴点B为：（0，6），点C为（8，0），故答案为0，6；8，0.（2）由（1）知，A（8，6），B（0，6），C（8，0），∴AB=8，AC=6，当点P在线段BA上时，（），当点P在线段AC上时，（）；∴.【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，解题的关键是正确理解点P所在的位置情况，从而进行解答.

16．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，以为矩形的两个顶点，且该矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为、的“正直矩形”．下图为的“正直矩形”示意图．（1）已知点的坐标为①若点，求点、的“正直矩形”面积；②当点与点“正直矩形”是面积为的正方形时，直接写出符合条件的所有点坐标；（2）点横坐标是，它是直线上一点，求点与点的“正直矩形”的周长（用含的式子表示）．【答案】（1）①6；②或或或；（2）或或【分析】（1）①根据“正直矩形”的定义可知矩形的两条邻边长为2、3，即可求得“正直矩形”的面积；②根据正方形的面积为4，求得边长为2，结合的坐标，即可求得点坐标；（2）根据题意的坐标为，从而得到点与点的“正直矩形”的周长为：，分三种情况讨论求得即可．【详解】解：（1）①点的坐标为，点，点、的“正直矩形”面积为：；②点与点“正直矩形”是面积为4的正方形，点与点“正直矩形”的边长都为2，的坐标为，的坐标为：或或或；（2）点横坐标是，它是直线上一点，，的坐标为，点与点的“正直矩形”的周长为：，①当时，点与点的“正直矩形”的周长为：；

②当时，点与点的“正直矩形”的周长为：；③当时，点与点的“正直矩形”的周长为：；综上，点与点的“正直矩形”的周长为：或或．【点睛】本题是一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，理解“正直矩形”的定义并运用是本题的关键．17．如图1，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转一定的角度α得到矩形OA'B'C′，此时边OA'、直线B'C'分别与直线BC交于点P、Q．(1)连接AP，在旋转过程中，当∠PAO＝∠POA时，求点P坐标．(2)连接OQ，当α＜90°时，若P为线段BQ中点，求△OPQ的面积．(3)如