数学-专项15 坐标系中的面积（和实数有关）（带答案）

专题15坐标系中的面积（和实数有关）【例题讲解】如图，在平面直角坐标系中，，，，且．(1)求a，b的值；(2)①在x轴的正半轴上存在一点M，（使的面积的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使的面积的面积恒成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．（1）解：∵∴，解得：，（2）①点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(3，0)，设M的坐标为(0，m)，根据题意，解得：m=5，所以M点坐标为(0，5).②存在.当点M在y轴上，设M的坐标为(0，m)，根据题意得，解得m=±5，此时点M的坐标为(0，-5)(0，5).当点M在x轴上，设M的坐标为(n，0)，根据题意得，解得n=±2.5，此时点M的坐标为(-2.5，0)(2.5，0)，综上所述：点M的坐标为(-5，0)，(5，0)，(-2.5，0)，(2.5，0)．【综合解答】

1．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．(1)求OA，OB长度；(2)在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时，？并求出此时点P的坐标．【答案】(1)(2)存在；或(3)当移动2.25秒，此时或移动4.5秒，此时时，．【分析】（1）根据非负性求出的值即可；（2）利用进行计算即可；（3），，利用进行计算即可．（1）解：∵，，∴，，解得：，∴，

∴；（2）解：存在．设则：，∴，∴或，解得：或，∴或（3）解：设，，∵，∴，∴，整理得：，解得：或，当时：（秒），当时：（秒）；∴当移动2.25秒，此时或移动4.5秒，此时时，．【点睛】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键．2．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应、点O与点C对应，a、b满足．

(1)填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（）、B（）、C（）；②直接写出三角形AOH的面积．(2)如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．【答案】(1)①1，4；3，0；2，-4；②2(2)t＝1.2时，P(0.6，0)；t＝2时，P(-1，0)【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论；②利用三角形面积公式求解即可；（2）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．（1）解：①∵，又∵≥0，，∴a＝4，b＝3，∴A(1，4)，B(3，0)，∵B是由A平移得到的，∴A向右平移2个单位，向下平移4个单位得到B，∴点C是由点O向右平移2个单位，向下平移4个单位得到的，∴C(2，-4)．故答案为：1，4；3，0；2，-4．②．

故答案为：2．（2）解：①当点P在线段OB上，由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：OP·=OQ·，∴×(3﹣2t)×4＝×2t，解得t＝1.2．此时P(0.6，0)．②当点P在BO的延长线上时，由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：OP·=OQ·，×(2t-3)×4＝×2×t，解得t＝2，此时P(-1，0)，综上所述，t＝1.2时，P(0.6，0)；t＝2时，P(-1，0)．【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．已知，点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点A与点对应，点与点对应，、满足．(1)填空：①直接写出A、、三点的坐标______、______、______；

②直接写出三角形的面积______．(2)如图，若点在线段上，证明：．(3)如图，连，动点从点开始在轴上以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒个单位的速度向下运动．若经过秒，三角形与三角形的面积相等，试求的值及点的坐标．【答案】(1)①，，；②2(2)见解析(3)时，；时，．【分析】（1）①利用非负数的性质求出，的值，可得结论．②利用三角形面积公式求解即可．（2）连接，根据的面积的面积的面积，构建关系式，可得结论．（3）分两种情形：①当点在线段上，②当点在的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．（1）解：①，又，，，，，，，，点A与点对应，点与点对应，点的横坐标为，纵坐标为，，故答案为：1，4；3，0；2，．②的面积，故答案为：2．（2）证明：如图，连接．

的面积的面积的面积，，．（3）解：①当点在线段上，，解得．此时．当点在的延长线上时，，解得，此时，综上所述，时，；时，．【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足(1)填空：，；(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积

(3)在（2）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标．【答案】(1)-1，3(2)(3)或【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，MN为M点纵坐标的绝对值，也是三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案；（3）设BM与y轴的交点为Q点，先用待定系数法求出BM的解析式，再求出Q点坐标，根据P点所在的位置分类讨论，分为P点在Q点下方或P点在Q点上方两种情况，设出P点坐标，通过代入，即可求出P点坐标．（1）∵，，，∴且，∴，，故答案为：-1，3；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，∵，，∴AB=3-(-1)=4∵位于第三象限∴

∴故答案为：；（3）当时，，设BM与y轴的交点为Q点，BM的解析式为，将和代入得：，解得，∴BM的解析式为，当x=0时，，∴,设，当P点位于Q点下方时，如图所示，∴解得，∴；当P点位于Q点上方时，如图所示，解得，

∴；综上所述，或．【点睛】本题考查了一次函数中的几何问题，包括已知点表示三角形面积，以及已知三角形面积找出点的坐标，分类讨论思想和灵活运用函数知识和几何知识是本题的关键．5．如图，C为x轴正半轴上一动点，，，且a，b满足，．(1)求△ABO的面积；(2)求点O到AB的距离；(3)如图2，若，轴于点C，点M从点P出发，在射线PA上运动，同时另一动点N从点B出发向点A运动，到点A时两点停止运动，M，N的速度分别为2个单位长度/秒，3个单位长度/秒，当时，求运动的时间t的值．【答案】(1)(2)(3)秒或秒【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，从而得到OA，OB的长，再根据三角形面积公式求解即可；（2）如图，过点O作OG⊥AB于G，利用面积法进行求解即可；（3）设运动时间为t秒，则PM＝2t，BN＝3t，然后分别用t表示出两个三角形的面积，结合题目所给条件列出方程求解即可．

(1)∵，，∴，∴a＝6，b＝－8，∴点，点，∴，OB＝8，∴；(2)解：如图，过点O作OG⊥AB于G，∵，∴，∴点O到AB的距离为；(3)解：设运动时间为t秒，则PM＝2t，BN＝3t，其中，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，，

∵，答：运动时间为秒或秒．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积，解绝对值方程等等，正确理解题意求出a、b是解题的关键．6．如图1，已知点A（0，a），点B（b，0），其中a，b满足，点C（m，n）在第一象限，已知m的算术平方根是2，64的立方根为n．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求出△ABC的面积；(3)如图2，延长BC交y轴于D点，求点D的坐标；(4)如图3，过点C作CEAB交y轴于E点，求E点的坐标．【答案】(1)A（0，2），B（8，0），C（4，4）(2)12(3)点D（0，8）(4)点E（0，5）【分析】（1）由非负性和平方根的定义可求解；（2）由面积和差关系可求解；（3）由等腰三角形的性质可求解；（4）由三角形的面积关系可求解．

（1）解：∵∴2a+b-12=0，a-b+6=0，∴a=2，b=8，∴点A（0，2），点B（8，0），∵m的算术平方根是2，64的立方根为n，∴m=4，n=4，∴点C（4，4）．（2）如图1，过点C作CF⊥OB于F，∵点A（0，2），点B（8，0），点C（4，4），∴OA=2，OB=8，CF=OF=4，∴BF=OB-OF=4，∵S△ABC=S△BCF+S梯形AOFC-S△AOB，∴．（3）过点C作CF⊥x轴，∵CF=BF=4，∠CFB=90°，∴∠CBF=∠BCF=45°，∴∠ODB=45°∴∠OBD=∠ODB，∴OD=OB=8，∴点D（0，8）．（4）如图3，连接BE，∵CEAB，∴，∴，∴AE=3，∴点E（0，5）．【点睛】本题考查了非负数的性质，算术平方根，立方根，平行线的性质，坐标与图形，灵活运用以上知识是解题的关键．7．如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0）、C（a，b）三点，其中a是的整数部分，b＋1的平方根是±2．（1）请求出a、b的值；（2）求出ABC的面积；（3）在第四象限中是否存在点P到两坐标轴的距离相等且使四边形AOPB的面积与ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1），;（2）;（3），．【分析】（1）根据题意求出，的值即可．（2）连接，根据，求解即可．（3）由题意可以假设，构建方程求出即可解决问题．【详解】解：（1）是的整数部分，的平方根是，，．（2）连接．由（1）可知，，，，．（3）设，由题意，，，，，．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，平方根的性质，二次根式的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）直接写出点B的坐标，AO和BC位置关系是；（2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系．【答案】（1）B（﹣4，﹣4），平行；（2）P（﹣，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°【分析】（1）由二次根式和平方数的非负性即可确定a和b的值，从而确定点A，B，C的坐标，由B，C的纵坐标相同得出BC//AO；（2）表示出t秒时点P和点Q的坐标，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面积，列出关于t的方程，求出t即可确定P的坐标；（3）过点Q作QH//x轴，交AB与点H，由平行线的性质即可确定∠OPQ和∠PQB的数量关系．【详解】解：（1）∵，∴a+8＝0，c+4＝0，∴a＝﹣8，c＝﹣4，∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），∴BC//AO，故答案为：平行；（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t，∴S△APB＝AP•BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ•BC＝（4−t）×4＝8−2t，

∵S△APB＝4S△BCQ，∴4t＝4（8﹣2t）解得，t＝，∴AP＝2t＝，∴OP＝OA﹣AP＝，∴点P的坐标为（，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．理由如下：当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，∴∠OPQ＝∠PQH，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO如图3所示，∴∠OPQ＝∠PQJ，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，

∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，即∠BQP＋∠OPQ＝150°，综上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．已知，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(a，0)，(b，0)且．(1)求a，b的值；(2)在y轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积是12？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(3)已知点P是y轴正半轴上一点，且到x轴的距离为3，若点P沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点Q，当运动时间t为多少秒时，四边形ABPQ的面积S为15个平方单位？写出此时点Q的坐标．【答案】（1）a=-4，b=2；（2）存在，点C的坐标为（0，4）或（0，-4）；（3）点P沿x轴负半轴方向以4秒平移至点Q，所以点Q的坐标为（-4，3）．【分析】（1）根据二次根式与绝对值的非负性可得a+4=0，b-2=0，解得a=-4，b=2；（2）设点C到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式可解得h=4，要考虑点C在y轴正半轴与负半轴两种情况；

（3）先根据四边形ABPQ的面积积S＝(6+PQ)×3＝15解得PQ=4，再求得点Q的坐标为（-4，3）．【详解】解：（1）根据题意，得a+4=0，b-2=0，解得a=-4，b=2；（2）存在．设点C到x轴的距离为h，则S△ABC＝AB•h＝×6h＝12，解得h=4，所以点C的坐标为（0，4）或（0，-4）；（3）四边形ABPQ的面积S＝(6+PQ)×3＝15，解得PQ=4．∴点P沿x轴负半轴方向以4秒平移至点Q，所以点Q的坐标为（-4，3）．10．如图1,在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b),且a、b满足.(1)请直接写出A、B两点的坐标：点A为_______,点B为________.(2)若点P的坐标为(-2，n)，且三角形PAB的面积为7，求n的值.(3)如图2，过点B作BC//x轴，点Q为x轴上点A左侧的一动点，连结QB，BM平分∠QBA，BN平分∠CBA，当点Q运动时，∠MBN:∠AQB的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值.【答案】(1)A(2,0)，B(0，﹣4)；(2)n=﹣1或﹣15；(3)∠MBN:∠AQB=1:2.【分析】（1）根据绝对值的非负性、偶次方的非负性分别求出a、b，得到点A，B的坐标；（2）设AP与y轴交于点C，由三角形PAB的面积和高可以求得底边BC长为3.5，得出C的坐标.

再利用待定系数法求直线AC的解析式，然后把点P的横坐﹣2代入解析式即可求得答案；（3）根据角平分线的性质和两直线平行，内错角相等，易得∠MBN:∠AQB=1:2.【详解】解：（1）∵.∴,解得：a=2,b=﹣4∴A(2,0)，B(0，﹣4)；(2)如图,因为P(-2,n),所以点P在直线x=﹣2上，连接AP，BP，AP交y轴于点C,设C(0,a).由图可知△ABP可分为△ABC和△BPC，∵A(2,0),P(-2,n)∴△ABC和△BPC以BC为底边，高都是2，∴=+=BC·2+BC·2=2BC∵=7,∴2BC=7,BC=3.5∵B(0,﹣4),C(0,a)∴BC=｜a+4｜=3.5∴a=﹣0.5或﹣7.5，即C(0,﹣0.5)或（0，﹣7.5）设直线AC解析式为y=kx+b,把(2,0),(0,﹣0.5)代入求解可得y=x-当x=﹣2时，y=﹣1;把(2,0),(0,﹣7.5)代入y=kx+b求解可得y=x-当x=﹣2时，y=﹣15;∴P(﹣2,﹣1)或P(﹣2,﹣15)

故答案为n=﹣1或﹣15.(3)如图，∵BM平分∠ABQ∴∠1=∠2∵BN平分∠ABC∴∠ABN=∠NBC，即∠1+∠2+∠3=∠4∴∠MBN=∠2+∠3∵x轴//BC∴∠AQB=∠CBQ=∠3+∠4∴∠AQB=∠3+∠1+∠2+∠3=∠3+∠2+∠2+∠3=2（∠2+∠3）∴∠MBN:∠AQB=1:2.【点睛】本题考查的是非负数的性质、平移变换、三角形的面积计算，掌握坐标与图形的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（，0），B（，0），C（﹣1，2），且．(1)求的值；(2)若点M在轴上运动，使三角形COM的面积是三角形ABC面积的2倍，请求出M的坐标；(3)过点C作AB的平行线，交y轴于点D，连接BD，过A作BD的平行线AE，交直线CD于点E，再作EG⊥轴于G.动点P从D出发，沿DE→EG方向运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，请回答：①求P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示出来）；

②当6秒﹤t﹤8秒时，设∠EDP=,∠PBG=,∠DPB=,请求出之间的数量关系．【答案】(1)，(2)或(3)①时，；时，②【分析】（1）根据平方和二次根式的非负性可得a+2=0，b-4=0，从而得出a和b的值；（2）表示出△COM和△ABC的面积，可得OM的长，从而得出点M的坐标；（3）①分点P在线段ED或EG上，分别得出点P的坐标；②当6＜t＜8时，可知点P在EG上，过点P作PFED，则PFEDBG，根据两直线平行，内错角