数学-专项9.2 平行四边形的性质【八大题型】（举一反三）（苏科版）（原版）

专题9.2平行四边形的性质【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用平行四边形的性质求长度】 1【题型2利用平行四边形的性质求角度】 3【题型3利用平行四边形的性质求面积】 4【题型4平行四边形的性质在折叠中的运用】 5【题型5平行四边形的性质在坐标系中的运用】 6【题型6利用平行四边形的性质进行证明】 7【题型7利用平行四边形的性质求最值】 9【题型8平行四边形的性质与动点的综合】 10【知识点平行四边形的性质】（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【题型1利用平行四边形的性质求长度】【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，A′E恰好垂直于

A．3 B．23−1 C．33【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若BC=8，A．16 B．17 C．18 D．19【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，AB=6，AD=10，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若BA⊥CA，则AO的长度为（A．3 B．3 C．32 D．【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则EDAE

A．23 B．3 C．32 【题型2利用平行四边形的性质求角度】【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度数．【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（

）．A．130° B．135° C．150° D．125°【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为_____．

【题型3利用平行四边形的性质求面积】【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（

）A．36 B．48 C．63 D．75【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点Am,0，Bn,0，且m，n满足m+12+n−3=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，

(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；(2)平行四边形ABCD的面积是多少？(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．【题型4平行四边形的性质在折叠中的运用】【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（

A．124° B．114° C．104° D．56°

【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点A．6 B．12 C．18 D．24【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=62，5BE=AE．则AF长度为_____．【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝13，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．【题型5平行四边形的性质在坐标系中的运用】【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（

）A．-7 B．-1 C．1 D．7【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD

，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A0，3，B−1，0，若直线

【题型6利用平行四边形的性质进行证明】【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．证明：四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，①∴∠ABD=∠CDB，∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，∴②，∠DCH=1∵四边形ABCD为平行四边形，∴③∴∠BAE=∠DCH，在△ABF和△CDG中，∠ABD=∠CDB④∴△ABF≌∴BF=DG【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．(1)求证：△ADE≌△FCE；

(2)求证：AE平分∠DAB；(3)若∠DAB=60°，AB=4，求▱ABCD的面积．【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF(1)求证：AE=CF；(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数=______【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.(1)求证：OE=OF；(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.【题型7利用平行四边形的性质求最值】【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四边形ABCD解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得

AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求线段AB的最小值．(3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且∠BOC=60°；AC+BD=10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积．【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为_________．【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32，∠ACB=30°，AC⊥AB，点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则

【题型8平行四边形的性质与动点的综合】【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点(1)当动点P运动t(0<t<9)秒时，则PD=________；(用含t的代数式直接表示)(2)当动点Q运动t秒时，①若0<t<6，则EQ=________；(用含t的代数式直接表示)②若6<t<9，则EQ=________；(用含t的代数式直接表示)(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？【变式8-1】（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(−16，0)，线段BC交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t【变式8-2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．

(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．(3)如图3，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8，则△APF的面积是