初高中数学知识衔接资料全

初高中数学衔接读本

数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学

过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以

下“脱节”：

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉

及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简

求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是

高中函数、不等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高

中贯穿始终的重要容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、

求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与

常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）

在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高

中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要容，高中教材却未安排

专门的讲授。

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对

其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌

握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高

中这部分容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、心等）和定理（如平行线分

线段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分线定理等）初中生大都没有学习，

而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识

的讲授。有鉴于此，特编写该读本，供教学之用，希望认真学习。

目录

1.1数与式的运算

1.1.1绝对值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

2.2二次函数

2.2.1二次函数&*+bx+c的图像和性质

2.2.2二次函数的三种表示方式

2.2.3二次函数的简单应用

2.3方程与不等式

2.3.1二元二次方程组解法

2.3.2一元二次不等式解法

1.1数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，

零的绝对值仍是零.即

a,a>0,

|止（0,"0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：,-母表示在数轴上，数a和数〃之间的

距离.

例1解不等式：忖―l|+|x—3|>4.

练习

1.填空：

(1)若w=5，则A=；若w=卜4,则x=.

(2)如果同+设=5，且a=-1贝|Jb=若|1=2贝|Jc=

2.选择题：

下列叙述正确的是()

(A)若同=网，则a=A(B)若同〉网，则a>b

(C)若a<b，则14cMi(D)若同=例,则a=+b

3.化简:\x-5|-|2x-13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±bj-d±2a.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(〃+))(力一abr2b)=%+;

(2)立方差公式3—/?)(/+ahrli)—3a—；

(3)三数和平方公式(a+Z?+c)——cr+/?+/+2(ab+be+ac)；

(4)两数和立方公式(a+b]=d+3〃b^~3a%+;

(5)两数差立方公式(a—b7=d—3dZH-3a^h—.

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(X+l)(X-l)(d—X+l)(%2+尤+1).

例2已知cz+Z?+c=4,ab+Z?c+tzc=4,求〃?+〃+c?的值.

练习

1.填空：

I,I,11

(1)-a2--b2=(-b+-a)();

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(«+2/?-c)2-a2+4b2+c2+().

2.选择题：

(1)若/+；m+女是一个完全平方式，则k等于()

(A)/M2(B)-nr(C)-in2(D)—m2

、4、,316

(2)不论a,人为何实数，。2+/一2a—48+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式

一般地，形如&（aNO）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能

够开得尽方的式子称为无理式.例如3a+行7+加，jY+之等是无理式,

而叵f+，^x+l,x2+\/2xy+等是有理式.

2

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）

有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它

们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如血与

V2,3右与&,G+#与6—,26-30与26+30,等等.一般

地,a6与G,a\[x+byjya\[x-byfy,“4+8与”后一人互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中

的根号的过程.

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

运算中要运用公式&扬=而320力20)；而对于二次根式的除法，通常先写

成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加

减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式"的意义

病=同=卜"2

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1)^/i2^；(2)7^320)；(3)7^7(X<0).

例2计算：百+(3-百).

例3试比较下列各组数的大小：

2

(1)Vn-Vio；(2)和20—遍.

V6+4

例4化简：（冉+0）2叫（Q-0严$

(2)Jx2H—；—2(0<%<1).

例5化简：（1）血-46；

>/3->/25/3+\/^2

例6已知.1=________v-________求3%2-5肛+39的值

练习

1.填空:

(1)

()1+G=

(2)若J(5-X)(X-3)2=(X-3)VT7,则尤的取值围是_

(3)4®-6后+3岳-2V^5=；

\[Smii>jx+\—>Jx—\yfx+1+y]x-l

X-——，则-1-----:——;=H■—T=——T=

2.选择题:

成立的条件是

(A)xw2(B)x〉()(C)x>2(D)0<x<2

3.^b=-—i+-^--,求a+)的值.

a+\

4.比较大小：2-\[3A/5-皿(填“>”，或“v”).

1.1.4分式

1.分式的意义

AA

形如△的式子，若8中含有字母，且8工()，则称△为分式.当4#。时，

BB

分式4具有下列性质：

B

_A__A__x_M_•

B~BxM'

A_A^M

~B~B^M'

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像上-,‘嗜上这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

〃+P

例1若总土土=4+上，求常数A8的值.

x(x+2)xx+2

例2(1)试证：—^—=~-——(其中77是正整数);

〃(71+1)n〃+1

(2)计算----1-----FH

1x22x3-----9x10

(3)证明：对任意大于1的正整数〃，有」-+」-++------<-

2x33x471(H+1)2

例3设e=£，且e>1,2M-5ac+2#=0,求e的值.

a

练习

1.填空题：

对任意的正整数"，一1—=(--——);

〃(〃+2)n〃+2

2.选择题：

若生工=2,则土=()

x+y3y

(A)1(B)|5(C)|4(D)|6

3.正数冗,y满足Y—y=2孙，求"的值.

x+y

4.计算—+-^—+…+1

1x22x33x499x100

习题1.1

A组

1.解不等式：

⑴|x-l|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7

(3)>6.

2.已知％+y=l,求V+V+Sp的值.

3.填空：

(1)(2+^)18(2-A/3)'9=；

(2)若#If+#1二了=2，则a的取值围是

卬11111

()T7^+7273+^7^+^/5+^+V6=—

B组

1.选择题：

(1)若d-a-b-2,ab-sf—b—J—a,贝ij

(A)a<b(B)a>b(D)b<a<0

(2)计等于

()

(A)&(B)&(C)->J^a(D)~4a

2.填空：

，八1,1.3a2-ab

(1)a=—，b=-,贝miij—；--------

233a2+5ah-2h?2

(2)若炉+孙—2y2=。，贝卜丁+金»：)'-=_

x-+V

3.已知：x」,y=L求RL-dL的值.

2-36一6G+6

4.解方程2(犬+_4)一3(X+')T=0.

厂X

1111

5.计算：---+---------1---------+H-----------

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，

另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)#-3x+2;(2)*+4x-12;

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

2.提取公因式法与分组分解法

例2分解因式：

(1)x3+9+3x2+3x；(2)2x2+xy—y2—4x+5y-6.

3.关于x的二次三项式aM+bx+aa*。）的因式分解.

若关于x的方程向？+方x+c=o（awo）的两个实数根是X1、%,，则二次三项式

办2+尿+（；（4/0）就可分解为4（%-%）（%-%2）.

例3把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x2+2x-\；（2）x2+4xy-4y2.

练习

1.选择题：

多项式2d一冲一15y2的一个因式为

(A)2x-5y(B)x—3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)m+6x+8;(2)84-〃；

(3)游-2x-1;(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

习题1.2

1.分解因式：

(1)/+］；(2)4X4-13%2+9；

(3)b2+c2+lab+lac+2bc；(4)3d+5盯一2y2+x+9y-4

2.在实数围因式分解：

(1)-5x+3；(2)W-2叵x-3；

(3)3%2+4xy-y2；(4)(jf2-2x)"—7(x2—2x)+12

3.A43C三边a,8，c满足a?+Z?2+<?=a/?+/?c+ca,试判定A4BC的形状.

4.分解因式：*+x-(a2-a).

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程a*+bx+c=0（界0）,用配方法可以将其变

形为

,bb2-4ac

(F2①

4a2

因为a*0,所以，4彳＞0.于是

(1)当〃-4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不

相等的实数根

-b±y/h2-4ac

加2=--------------；

2a

(2)当〃・4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数

根

b

%=至="-;

2a

(3)当〃-4acv0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x+2>

2a

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程a*+bx+c=0(a*0)的根的情况可以由惮-4ac

来判定，我们把婵-4ac叫做一元二次方程a*+bx+c=0(界0)的根的判别

式,通常用符号'△”来表示.

综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(5*0),有

(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根

-b±y1b2-4ac

X1,2=--------------；

2a

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根

b

Xi=至=--;

2a

(3)当A〈0时，方程没有实数根.

例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实

数根，写出方程的实数根.

(1)*-3x+3=0;(2)A2-ax-1=0;

(3)A2-ax+(a-1)=0;(4)A2-2x+a=0.

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程a*+bx+c=0(卉0)有两个实数根

-b+，/?2-44c-b—-4ac

玉=%，X2=%，

2a2a

则有

-b-^-y/b2-4ac-b-y/b2-4ac-2bb

x,+x=-------------------1-------------------=------=—；

72a2a2aa

-b+Jb2—4ac-〃一“2-4QCb-(/7-4ac)4acc

中2=五五二-品-,

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2+bx+c=0(a*0)的两根分别是小，及，那么小+加=--,xvX2

a

=-.这一关系也被称为韦达定理.

a

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程*+px+q=O，若xi,至是

其两根，由韦达定理可知

xi+至=-p,xvxi-q,

即p=-(%1+X2),q=xvx2,

所以，方程*+px+q-0可化为*-(Ai+MX+XTA>=0,由于Xi,芝是

一元二次方程*+px+q-0的两根，所以，xy,至也是一元二次方程*-(xi+

X2)X+XvX2=o.因此有

以两个数小，及为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

A2-(Xi+X2)x+XvX2=0.

例2已知方程5/+区一6=0的一个根是2,求它的另一个根及攵的值.

例3已知关于X的方程*+2(/77-2)X+7772+4=0有两个实数根，并且

这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值.

说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对

应的m的围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，

取满足条件的m的值即可.

(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的

判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实

数根.

例4已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.

例5若xi和及分别是一元二次方程2#+5x-3=0的两根.

(1)求IM-冽的值;

(2)求的值;

(3)%13+及3.

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会

遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设必和此分别是一元二次方程a*+bx+c=0（界0）,则

-b+yJb2-4ac-b-[b，-4ac

%="JX?~~J

2a2a

-h+y/h2—4ac-b-y]h2-4ac21bl-4ac

X1-及I==

2a2a2a

_y/b2-4<2c_VZ

\a|

于是有下面的结论：

若必和及分别是一元二次方程a*+bx+c-0（5*0），则|小-阉=—（其

中A=〃-4ac).

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.

例6若关于x的一元二次方程*-x+a-4=0的一根大于零、另一根小

于零，求实数a的取值围.

练习

1.选择题:

(1)方程——275丘+3左2=0的根的情况是()

(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根

(2)若关于x的方程m*+(2/77+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数

m的取值围是()

(A)/77<-(B)m>--

44

(D)m>-L,且/77*O

(C)m<-,且/77*0

4''4

2.填空：

(1)若方程#-3x-1=0的两根分别是必和X2,则—i—=

』当

(2)方程m*+x-2m=0(/77*0)的根的情况是

(3)以-3和1为根的一元二次方程是

3.已知，42+8a+16+2-1|=0,当A取何值时，方程k*+ax+b-0有两个不

相等的实数根？

4.已知方程A2-3X-1=0的两根为xi和歪,求(m-3)(乏-3)的值.

习题2.1

A组

1.选择题：

(1)已知关于x的方程*+依-2=0的一个根是1，则它的另一个根是(：

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四个说法：

①方程*+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;

②方程A2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;

7

③方程3*-7=0的两根之和为0,两根之积为-§;

④方程3*+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.

其中正确说法的个数是()

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

(3庆于x的一元二次方程a*-5x+a2+a=0的一个根是0则a的值是(

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或-1

2.填空：

(1)方程ATC2+4X-1=0的两根之和为-2,则k-.

(2)方程2*-x-4=0的两根为a,0,则a2+序=.

(3)已知关于x的方程*-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是

(4)方程2*+2x-1=0的两根为小和至，贝力必-及|=.

3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2*-(2/77+1)z+1=0有两

个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程A2-7X-1=0各根的相反数.

B组

1.选择题：

(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2/-8x+7=0的两根，

则这个直角三角形的斜边长等于()

(A)V3(B)3(C)6(D)9

(2)若xi,及是方程2*-4x+1=0的两个根厕土+上的值为()

飞不

(A)6(B)4(C)3(D)|

(3)如果关于x的方程*-2(1-m)x+m2=0有两实数根a,0，贝Ua+B的取

值围为()

(A)a+吟(B)a+p<|(C)a+p>1(D)a+p<1

(4)已知a,。，c是A48。的三边长，那么方程c*+(a+b)x+：=0的根的

情况是

()

(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根

(5)若关于x的方程*+(扉-1)x+4+1=0的两根互为相反数，则4的值为

()

(A)1,或-1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：

(1)若m,〃是方程/+2005x-1=0的两个实数根，则m^n+mn^-6〃的

值等于.

(2)如果a,。是方程*+*_1=。的两个实数根，那么代数式4+4白+3〃

+a的值是.

3,已知关于x的方程*-Ax-2=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根为X1和短，如果2(%1+X2)>X1X2,求实数4的取值围.

4.一元二次方程a*+bx+c-0(a*0)的两根为和至.求：

(1)|XL阳和七匹;

(2)小3+至3.

5.关于x的方程宠+4x+m=0的两根为M，用满足|Xi-阅=2,求实数m的

值.

6.已知M,兹是关于x的一元二次方程44*-44x+4+1=0的两个实数根.

(1)是否存在实数k,使(2xi-兹)(必-2及)=-彳成立？若存在，求出k

的值；若不存在，说明理由；

(2)求使五.2的值为整数的实数4的整数值；

/七

(3)若4=-2,4=%，试求4的值.

了2

7.若关于x的方程*+x+a=0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取

值围.

2.2二次函数

2.2.1二次函数"=己游+以+，的图像和性质

问题1函数y=a*与y=*的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y=2*,7=1^,y=-2*的图象，

通过这些函数图象与函数y=*的图象之间的关系，推导出函数y=a*与y=*

的图象之间所存在的关系.

先画出函数y=*,y=2*的图象.

先列表：

X-3-2-10123

•••

*9410149

I

2声18820」

2818

从表中不难看出，要得到2#的值，只要把相人y

、yr=2?I,V六/

应的*的值扩大两倍就可以了.\\//

再描点、连线，就分别得到了函数y=*,y=\\//

2*的图象（如图2-1所示），从图2-1我们可以\\//

得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2声的图\o*

图22-1

象可以由函数y=*的图象各点的纵坐标变为原来

的两倍得到.

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=^,y=-2*的图象，并

研究这两个函数图象与函数y=*的图象之间的关系.

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

的图象(如图2-2所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2*的

图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1产+1

的图象.这两个函数图象之间具有‘形状相同，位置不同”的特点.

类似地，还可以通过画函数y=-3*,y=-3(x-1产+1的图象，研究它们

图象之间的相互关系.

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y=Wx+/?)2+《界0)中j决定了二次函数图象的开口大小及方向；

力决定了二次函数图象的左右平移，而且“力正左移，力负右移”；4决定了二次函

数图象的上下平移，而且次正上移，左负下移”.

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=a*+bx+c(K0)的图象的方

法：

,„b.,„bb~.h~

由于y=a*+bx+c=式解+—x)+c=+—x+—)+c-------

'aa4a?4a

2

/b、24ac-b

=a(x+—Y+

2a4a

所以/=3蜉+队+c(打0)的图象可以看作是将函数y=a*的图象作左右平

移、上下平移得到的，于是，二次函数y=a*+/?x+c(K0)具有下列性质：

(1)当a>0时，函数y=+bx+c图象开口向上；顶点坐标为

2g2对称轴为直线*=_b_；当>〈一2时，y随着工的增大而减

2a4a2a2az

小；当X>时，y随着X的增大而增大；当X=时，函数取最小值y=

2a2a

Aac-b~

4a

(2)当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为

九如M对称轴为直线>=-b_；当X<一_L时y随着X的增大而增

大；当x>-2时，"隙着x的增大而减小；当x=-2时，函数取最大值y=

2a2a

4ac-b2

4a

上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出

来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的

思想方法来解决问题.

图2.2-3图2.2-4

例2把二次函数y=A2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4

个单位，得到函数y=*的图像，求匕，c的值.

例3已知函数y=*,-24蟀a,其中立-2,求该函数的最大值与最小值，

并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论.此

外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实

数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.

练习

1.选择题：

(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()

(A)y=2A2(B)/=2A2-4Z+2

(C)y=2A2-1(D)y=2/-4x

(2)函数y=2(x-1产+2是将函数y=2*()

(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2.填空题

(1)二次函数y=2*-mx+"图象的顶点坐标为(1,-2),则m=,n

(2)已知二次函数y=x^+(m-2)x-2m,当m=时，函数图象的顶点

在y轴上；当m-时，函数图象的顶点在x轴上；当m=时，

函数图象经过原点.

(3)函数y=-3(x+2)2+5的图象的开口向,对称轴为,

顶点坐标为;当x=时，函数取最值y

=;当z时，y随着x的增大而减小.

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变

化情况，并画出其图象.

(1)y=A2-2z-3;(2)y=1+6x-A2.

4.已知函数y=-*-2x+3,当自变量x在下列取值围时，分别求函数的最大

值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：

(1)A<-2;(2)A<2;(3)-2<A<1;(4)0<A<3.

2.2.2二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1.一般式：y=皴+bx+o(a*0);

2.顶点式：y-a(x+力尸+攵(界0),其中顶点坐标是(-力，向.

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种

表示方式,我们先来研究二次函数"=3旭+4+6(界0)的图象与*轴交点个数.

当抛物线y-a^-+bx+4打0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

a*+bx+c=0.①

并且方程①的解就是抛物线产=3*+纵+4>0)与*轴交点的横坐标(纵坐

标为零)，于是，不难发现，抛物线尸=3m+以+々界0)与〉轴交点个数与方程

①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式A=〃-4ac

有关，由此可知，抛物线"=3*+&+々界0)与x轴交点个数与根的判别式△

=垓-4ac存在下列关系：

(1)当△>0时，抛物线y-a疼+bx+o(K0)与x轴有两个交点；反过来，

若抛物线y=aj^+bx+c(界0)与x轴有两个交点，则△>0也成立.

(2)当△=()时，抛物线y=SA2+bx+0(余0)与x轴有一个交点(抛物线

的顶点);反过来，若抛物线y=ax^+bx+c(K0)与x轴有一^t交点，贝ijA=0

也成立.

(3)当△v0时，抛物线y=a*+bx+c(界0)与x轴没有交点；反过来，

若抛物线y=a*+bx+c(a*0)与x轴没有交点，贝!IAvo也成立.

于是，若抛物线y-ax?+bx+c(H0)与x轴有两个交点/(xi,0),仇及，0),

则xi,X2是方程a*+bx+c-0的两根，所以

bc

X^+X=一一,X^X2=-,

2aa

bc

即=-(Xi+X),~=X\X2.

a2a

所以，%a*+bx+c-a(x2+—x+—)

aa

=af*-(xi+及)x+X1X2]

=a(x-Al)(x-X2).

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y=a@+bx+c(KO)与x轴交于A[xy,0),凤及，0)两点，则其函

数关系式可以表示为y=a(x-xi)(x-X2j(5*0).

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3.交点式：y-a[x-M)(x-心)(>0),其中x\,及是二次函数图象与x轴

交点的横坐标.

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一

般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.

例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上，并且

图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶

点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充

分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题.

例2已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等

于2,求此二次函数的表达式.

例3已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数

的表达式.

练习

1.选择题：

(1圈数y=-必+x-1图象与x轴的交点个数是(：

(A)0个(B)1个(C)2个(D)无法确

1

(2)函数y=-&(x+1产+2的顶点坐标是(

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数

的解析式可设为y-a(界0).

(2)二次函数y=-解+2y[3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离

为.

3.根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);

(2)当x=3时，函数有最小值5,且经过点(1,11);

(3)函数图象与x轴交于两点(1-,0)和(1+\上，0),并与y轴交于

(0,-2).

2.2.3二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1.平移变换

问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可

以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改

变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，

只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.

例1求把二次函数y=m-4x+3的图象经过下列平