初中数学八年级上册 用完全平方公式进行因式分解

用完全平方公式进行因式分解

完全平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

简记为：(a±b)2=a2±2ab+b2

就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算。a2±2ab+b2=(a±b)2

多项式整式的乘积形式因此完全平方公式满足：

把一个多项式化成几个（“两个”）整式的积的形式，这种变形实际上就是我们学过的因式分解的变形。

因此因式分解的公式法中的第二种方法就是“完全平方公式法”应用完全平方式：

a2±2ab+b2=(a±b)2

完全平方式的特点：

1.必须是三项式（或可以看成三项的）

2.其中有两个是平方项且平方项前面符号同“+”同“-”

3.有一项为平方项底数的2倍（±2倍）简记口诀：

首平方，尾平方，首尾二倍在中央。例1：下列各式是不是完全平方式

(1)a2+b2+2ab(2)-2xy+x2+y2(3)6x2-9xy+10y2(4)4a2+12ab+9b2(5)x2+x+(6)a2+6ab+b2(7)-x2+2xy-y2(8)x2+y2是是是是是不是不是不是例2：请补上一项，使下列多项式成为完全平方式。(1)x2+-------------------------+y2

(2)4a2+9b2+----------------------(3)x2----------------------+81y2(4)x4+2x2y2+---------------------

(±2xy)(±12ab)(±18xy)y4例3：把下列完全平方式因式分解：

（1）x2+14x+49(解析：x2+14x+49

因此，x2+14x+49是一个完全平方式，可以用完全平方式进行因式分解）解：x2+14x+49=x2+2.x.7+72

=(x+7)2

x22.x.772(2)(m+n)2-6(m+n)+9解析：

(m+n)2-6(m+n)+9

解：(m+n)2-6(m+n)+9=（m+n)2-2.(m+n).3+32

=[(m+n)-3]2

=(m+n-3)2（m+n)22.(m+n).3

32例4：把下列各式因式分解：

(1)3ax2+6axy+3ay2(2)

-x2-4y2+4xy(解析：（1）不能直接用完全平方式，可以先把多项式中各项公因式提出来后，再运用完全平方公式。（2）中平方项的前面是“-”的，因此需要先把“-”变成“+”，所以可以先提取“-”号出来。）解：(1)3ax2+6axy+3ay2

=3a.x2+3a.2xy+3a.y2

=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2

(2)-x2-4y2+4xy

解：-x2-4y2+4xy=-（x2+4y2-4xy)

=-（x2-4xy+4y2)

=-[x2-4xy+(2y)2]

=-[x2-2.x.2y+(2y)2]

=-(x-2y)24y2=22y2=（2y）2运用了积的乘方的逆运用公式！巩固练习：分解因式：

(1)－2xy－x2－y2(2)4(m+n)2+24(m+n)+36(3)ax2+2a2x+a3

(解析：）

(1)－2xy－x2－y2解：原式=-(2xy+x2+y2)=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2

(2)4(m+n)2+24(m+n)+36

解：原式=[2(m+n)]2+2×2（m+n)×6+62=[2(m+n)+6]2=(2m+2n+6)2=[2(m+n+3)]2=4(m+n+3)2

(3)ax2+2a2x+a3

解：原式=a.x2+a.2ax+a.a2=a(x2+2ax+a2)=a(x2+2.x.a+a2)=a(x+a)2

一个同学写出多项式（用完全平方公式进行因式分解的），另外一个同学进行解答。

我来写我来算课堂小结：1.如何用完全平方公式的逆运用公式进行因式分解？a2±2ab+b2=(a±b)22.完全平方式的结构特点是什么？（1）必须是三项式（或可以看成三项的）（2）其中有两个是平方项且平方项前面的符号同“