新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（高频精讲）（解析版）

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 4第三部分：高频考点一遍过 8高频考点一：函数奇偶性 8角度1：判断函数奇偶性 8角度2：根据函数奇偶性求解析式 10角度3：函数奇偶性的应用 13角度4：由函数奇偶性求参数 15角度5：奇偶性+单调性解不等式 18高频考点二：函数周期性及其应用 21角度1：由函数周期性求函数值 21角度2：由函数周期性求解析式 24高频考点三：函数的对称性 26角度1：由函数对称性求解析式 26角度2：由函数对称性求函数值或参数 27角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用 30第四部分：高考新题型 33温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、函数的奇偶性（1）函数奇偶性定义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（2）常用结论与技巧：①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.②，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）2、函数对称性（异号对称）（1）轴对称：若函数关于直线对称，则①；②；③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③3、函数周期性（同号周期）（1）周期函数定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.（2）最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.（3）函数周期性的常用结论与技巧设函数，.①若，则函数的周期；②若，则函数的周期；③若，则函数的周期；④若，则函数的周期；⑤，则函数的周期第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D2．（2021·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.4．（2021·全国（甲卷理）·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．5．（2021·全国（乙卷文理）·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B6．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）若是奇函数，则_____，______．【答案】

；

．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数奇偶性角度1：判断函数奇偶性典型例题例题1．（2023秋·广东揭阳·高一校考期末）下列函数中是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以是偶函数，故A项正确；对于B项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以不是偶函数，故B项错误；对于C项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以不是偶函数，故C项错误；对于D项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以是奇函数，不是偶函数，故D项错误.故选:A.例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C．D．【答案】BC【详解】对于A,的定义域为R,关于原点对称，而，为偶函数，对于B,的定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，对于C，的定义域为R，关于原点对称，且，为奇函数，对于D,的定义域为R，关于原点对称，而，不是奇函数，故选：BC例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的表达式，讨论的奇偶性，并说明理由．【答案】答案见解析【详解】定义域，当时，，，是偶函数；当时，，，，，是非奇非偶函数．练透核心考点1．（多选）（2023秋·广东广州·高一统考期末）下列函数为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对于A，函数的定义域为，，是偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，是奇函数，B是；对于C，函数中，，解得，即的定义域为，，是奇函数，C是；对于D，函数的定义域为，，是奇函数，D是.故选：BCD2．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）判断下列函数的奇偶性.(1);(2).【答案】(1)偶函数(2)奇函数【详解】（1）解:由题知,所以定义域为:,因为,所以为偶函数;（2）由题,可知定义域为:,因为,所以为奇函数.3．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）设函数．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】(1)(2)偶函数，理由见解析【详解】（1）由解得函数的定义域为；（2）为偶函数.由，定义域关于原点对称，得函数为偶函数角度2：根据函数奇偶性求解析式典型例题例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知为奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，因为当时，，所以①，又因为为奇函数，所以②，结合①，②得，，则.故选：B例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（

）A．的最大值为1 B．在区间上单调递减C．的解集为 D．当时，【答案】ABC【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时所以当时，，故D错误；当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确；当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确.故选：ABC.例题3．（2023春·北京·高一校考开学考试）设是定义在上的奇函数，且时，，求的解析式___________.【答案】【详解】当时，，由于是定义在R上的奇函数，，=；故答案为：=.例题4．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且时，.(1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；【答案】(1)函数在上的解析式为，函数在上单调递减，在上单调递增；【详解】（1）设，则，所以，又因为是定义在上的偶函数，所以，则函数在上的解析式为，函数在上单调递减，在上单调递增；练透核心考点1．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是_____________．【答案】【详解】函数在上为奇函数，且当时，，当时，，，故答案为：.2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知函数定义在上的偶函数，当时，．(1)求函数的解析式；【答案】(1)【详解】（1）设，则，，因为定义在上的偶函数，所以，所以，即.3．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）已知为上的偶函数，当时，．(1)当时，求的解析式；【答案】(1)【详解】（1）当时，，，又为上的偶函数，，即当时，.4．（2023秋·四川成都·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)若，试用单调性的定义证明函数在上单调递减．【答案】(1)，；(2)证明见解析.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，则，而，解得，此时，，即函数是奇函数，所以，.（2）由（1）知，而，则，，，因为，则，有，即，因此，所以函数在上单调递减.角度3：函数奇偶性的应用典型例题例题1．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知函数，若，则（

）A． B．2022 C．2023 D．【答案】C【详解】设，则，即函数是奇函数，，则，而，所以.故选：C.例题2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，解得：.故选：A.例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________．【答案】1【详解】由题意知，，设，则，因为，所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以．故答案为：1.练透核心考点1．（2023·高一课时练习）设函数，若，则______．【答案】【详解】，则，，故答案为：.2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知，若，求______.【答案】-2017【详解】令，则的定义域为R，且，故为奇函数，从而，即，因为，所以.故答案为：.3．（2023·上海·高一专题练习）若奇函数在区间内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数在区间内的最值．【答案】最小值为；最大值为【详解】因为为奇函数，在区间内单调递增，且最大值为7，最小值为4，所以，，由奇函数的性质可得在区间内单调递增，所以在区间内的最小值为，最大值为，角度4：由函数奇偶性求参数典型例题例题1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知函数是偶函数，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【详解】是偶函数，，即，得．故选：D．例题2．（2023·上海·高一专题练习）如果为奇函数，那么__．【答案】【详解】由题意知：的定义域为，又为奇函数，，解得：；当时，，，，满足为奇函数，.故答案为：.例题3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）若函数为奇函数，则__________（结果用数字表示）.【答案】【详解】解：因为函数为奇函数，所以，即，解得，经检验，符合题意，所以，所以.故答案为：.例题4．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数，且函数是偶函数，求实数___________【答案】4【详解】因为函数，且函数是偶函数，所以所以图像关于对称，即，即恒成立，化简为当时，，不可能恒成立，舍去；当时，恒成立，，解得.故答案为：4.练透核心考点1．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知定义域为的奇函数，则_______.【答案】3【详解】由题意，，是奇函数，则恒成立，即，恒成立，，，所以．故答案为：3.2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知函数是偶函数．(1)求的值；【答案】(1)【详解】（1）因为为偶函数，且定义域为，所以对于，，即对恒成立，所以恒成立，因为不恒为零，所以.3．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知函数为偶函数．(1)求实数的值；【答案】(1)【详解】（1）因为函数为偶函数，所以即，整理得，则，解得.4．（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；【答案】(1)(2)在上为减函数，证明见解析【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得.此时，，所以，所以是上的奇函数，故.（2）由（1）知，，任取，，且，则，因为，所以，即，又，，所以，即，所以在上为减函数.角度5：奇偶性+单调性解不等式典型例题例题1．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）设是定义在上的偶函数，且在单调递增，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于是偶函数，且在单调递增,则，有，解得，即不等式的解集为，故选：B例题2．（2023秋·福建龙岩·高一统考期末）若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，，当时，，所以由，可得或解得或，即，故选：C.例题3．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】因为当时，，此时单调递增．而是定义在R上的奇函数，所以，且当时，也单调递增．因为，所以．的大致图象如下：根据的单调性可知，不等式的解集为或，故选：C例题4．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集是___________.【答案】【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增,当越远离轴，越大，又，，解得或，即不等式的解集是.故答案为：.练透核心考点1．（2023春·广东广州·高一统考开学考试）若定义在R的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为定义在R的奇函数在上单调递减，且，所以函数在上单调递减，，所以由可得，故选：D2．（2023春·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数是偶函数,且在上单调递增，即函数的对称轴为，又函数向右平移1个单位可得，函数的对称轴为，且在上单调递增，由得解得或故选：B.3．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知是定义在上的偶函数，若、时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，，令，则，所以，函数在上为增函数，对任意的，，所以，函数为上的偶函数，且，由可得，即，即，所以，，即，构造函数，其中，则，故函数为上的增函数，且，，由可得，故.故选：B.4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）若函数f(x)是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使成立的x的取值范围是_____________．【答案】【详解】若函数f(x)是定义在上的偶函数，在上是减函数，则在上是增函数，当时，则，解得；当时，则，解得；综上所述：使成立的x的取值范围是.故答案为：.高频考点二：函数周期性及其应用角度1：由函数周期性求函数值典型例题例题1．（陕西省安康市2023届高三下学期二模文科数学试题）已知定义在上的奇函数满足，则（

）A． B．0 C．1 D．2．【答案】B【详解】由及是奇函数得，，所以，所以是周期函数，周期为4，，故选：B．例题2．（陕西省安康市2022-2023学年高一下学期开学摸底考试数学试题）设是定义域为的偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是定义域为R的偶函数，所以，故，所以的周期为，故.故选：C例题3．（广东省广州市第一中学2022-2023学年高一上学期1月月考数学试题）已知函数满足，且当时，，则_______________．【答案】1【详解】因，则，得周期为，则，又时，，则.故答案为：1.练透核心考点1．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）设f（x）是定义城为R的奇函数，且．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知，，，则，，变形可得，，的周期为：，，故选：.2．（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，又为偶函数，则，于是得，，因此函数是周期为4的周期函数，当时，，则，，所以.故选：C3．（辽宁省阜新市第二十中学2023届高三下学期模拟考试数学试题）若函数为奇函数，且，若，则_________．【答案】【详解】因为，所以.因为函数为奇函数，所以.即，故函数的周期为4.，故答案为：角度2：由函数周期性求解析式典型例题例题1．（2023秋·湖南郴州·高一校联考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，，当时，，，因为函数为偶函数，则，综上所述，当时，.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【详解】由为奇函数知，∴，即，∴，∴是周期为3的周期函数，故，即，解得：..故选：B.例题3．（2022秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.【答案】【详解】当时，，则，因为是定义域为R的偶函数，所以；当时，，则，又的周期为2，所以；故答案为：.练透核心考点1．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知，则，所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数，所以时，，，所以当时，，.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上奇函数，且满足,当时，，则当时的最大值为A． B． C．1 D．0【答案】C【详解】由，因此可以得到：，所以函数的周期为4，当时，，当时，，显然当时，函数的最大值为1.故选：C3．（2022秋·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时，______.【答案】【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数所以，，故答案为：高频考点三：函数的对称性角度1：由函数对称性求解析式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象与的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在函数的图象上任取一点，则点关于直线对称的点为，且点在函数的图象上，所以.故选：C.例题2．（2022·高一课时练习）已知定义在上的函数不是常函数，且同时满足：①的图象关于对称；②对任意，均存在使得成立.则函数______.（写出一个符合条件的答案即可）【答案】（答案不唯一）【详解】解：由对任意，均存在使得成立，可知函数的值域为或或，又的图象关于对称，∴符合要求.故答案为：(答案不唯一).例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足，则______.【答案】2【详解】由于，故是函数的对称轴，由于的对称轴为，故，解得.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且满足，则（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以的图象关于对称，而关于对称，所以，.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.【答案】【详解】由可得关于对称，所以开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，故答案为：3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)若在上时单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1).(2)（1）解：因为，所以函数的对称轴为：，函数的对称轴为：，所以有，即.（2）解：，该函数的对称轴为：，当时，函数在上单调递减，解得；当时，函数在上单调递增，解得，综上所述：实数的取值范围为.角度2：由函数对称性求函数值或参数典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对任意的，，因为，则，因此，.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为函数是定义在R上的偶函数，所以关于对称，则，又，所以，即，函数的周期为4，取，则，所以，则D选项正确，B、C选项错误；由已知条件不能确定的值，A选项错误；故选：D.例题3．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.【答案】1【详解】因为，令所以，所以，又的图像关于直线对称，所以，令，则，即，所以.故答案为：1.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对定义域内任意的都有则实数等于（

）A．4 B．-4 C． D．【答案】B【详解】则关于对称，故故选：2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知函数的定义域为，且函数为偶函数，函数为奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，所以的图像关于对称，因为函数的定义域为，函数为奇函数，所以函数的图像关于点对称，且，所以，故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且满足，则（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以的图象关于对称，而关于对称，所以，.故选：B.角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用典型例题例题1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（

）①的一个周期为2

②③④直线是图象的一条对称轴A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，对于①，，，则函数的周期，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，则，，则，由，则，故③正确；对于④，，而函数不是偶函数，所以不恒成立，故④错误.故选：B.例题2．（多选）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称【答案】BC【详解】依题意，上的函数，，则，函数的周期为4，A错误；因为函数是偶函数，则，函数的图象关于对称，且，即，函数图象关于对称，B正确；由得，则函数为偶函数，C正确；由得，由得，因此，函数的图象关于对称，D错误.故选：BC例题3．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则__________.【答案】##0.5【详解】由题意，，在中，是奇函数，是偶