新教材新高考2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练 第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 高频精讲（原卷版）

第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：分离变量法 2高频考点二：分类讨论法 7高频考点三：等价转化法 11高频考点四：双元最值法 18高频考点五：构造法和同构法 20温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.4、双元最值法形如：，不等式或者的模型（或者）第二部分：高频考点一遍过高频考点一：分离变量法典型例题例题1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数，对，当时，恒有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数对一切，恒成立，则实数的取值范围是__________.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．例题4．（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.练透核心考点1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．-12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝xlnx，若对于所有都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.当时，求使不等式恒成立的最大整数的值.高频考点二：分类讨论法典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数的图像与直线相切于点．(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；(2)求与的函数关系；(3)当为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数的取值范围．练透核心考点1．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数．(1)设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；(2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立．2．（2023·四川广安·统考一模）已知函数．(1)若是的极小值点，求a的取值范围；(2)若，，求a的取值范围．高频考点三：等价转化法典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若，求的极值；(2)证明：当时，.例题2．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函数在处取极大值，．(1)求的值；(2)求证：．例题3．（2023秋·天津河西·高三天津市第四十二中学校考期末）已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，．(1)若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值．2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数，.(1)求的极值；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设，，已知和在处有相同的切线.（1）求，的解析式；（2）求在上的最小值；（3）若对，恒成立，求实数的取值范围.高频考点四：双元最值法典型例题例题1．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数对区间上任意的都有，则实数的最小值是________.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求的取值范围.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极大值为2．(1)求函数的解析式；(2)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．高频考点五：构造法和同构法典型例题例题1．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例题2．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）若对任意的恒成立，则实数的最大值为（

）A． B．1 C．e D．例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________．例题4．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为________.例题5．（2023·甘肃·统考一模）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若时，恒有，求的取值范围.练透核心考点1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（