上海交大数值分析课件数值分析

上海交大数值分析课件数值分析目录CATALOGUE数值分析简介数值分析的基本概念数值逼近方法数值积分与微分方程求解迭代法与矩阵计算数值分析的误差分析数值分析简介CATALOGUE01数值分析的定义数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，主要关注数学问题数值解的算法设计和分析。它涉及数学、计算机科学等多个领域，旨在为实际问题的数值计算提供高效、稳定和可靠的解决方案。123随着科技的发展和实际问题的复杂化，数值分析在各个领域的应用越来越广泛，如科学计算、工程、经济、金融等。数值分析提供了许多实用的数值计算方法，使得许多复杂的问题可以通过计算机得到有效的解决。数值分析的发展推动了数学与计算机科学的交叉融合，促进了相关领域的技术进步。数值分析的重要性数值分析的应用领域科学计算数值分析在气象预报、物理模拟、化学反应模拟等领域有广泛应用。工程领域包括航空航天、机械设计、土木工程、电子工程等，数值分析用于解决各种复杂的工程问题。经济和金融数值分析在股票价格预测、风险评估、投资组合优化等方面有重要应用。医学影像处理数值分析在医学影像处理中发挥着关键作用，如图像重建、图像增强和图像分割等。数值分析的基本概念CATALOGUE02高斯消元法、LU分解、迭代法等。线性方程组的解法矩阵乘法、转置、逆等。矩阵运算特征值分解、QR算法等。特征值与特征向量正规方程法、QR算法等。线性最小二乘问题数值代数基础函数与极限函数的定义与性质极限的定义与性质连续函数的性质极限的唯一性、四则运算性质、夹逼准则等。零点定理、介值定理等。函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。函数在区间上的单调性判断。单调性函数在区间上的凹凸性判断。凹凸性函数在区间上的可导性判断。可导性连续函数的性质导数的几何意义、四则运算性质、链式法则等。导数的定义与性质微分的几何意义、线性主部等。微分的定义与性质极值问题、曲线的切线方程等。导数与微分的应用导数与微分数值逼近方法CATALOGUE03通过将一个函数表示为无穷级数，可以逼近该函数。泰勒级数是数值分析中常用的工具，可以用来近似复杂的数学函数。利用多项式来逼近一个函数，通过选择合适的多项式，可以获得较高的逼近精度。多项式逼近在插值和函数近似等领域有广泛应用。泰勒级数与多项式逼近多项式逼近泰勒级数通过已知的两点，利用线性函数进行插值，得到未知点的近似值。线性插值方法简单易行，但精度相对较低。线性插值利用抛物线进行插值，通过已知的三点，构造一个抛物线，并求得未知点的近似值。抛物线插值比线性插值精度更高。抛物线插值插值法最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和来逼近函数。在数值分析中，最小二乘法常用于回归分析和曲线拟合等领域。线性最小二乘法：线性最小二乘法是最小二乘法的一种特殊形式，适用于线性模型的拟合。通过最小化误差的平方和，求解线性方程组，得到最佳拟合直线或平面。最小二乘法曲线拟合是指利用已知数据点，通过数学方法构造一条曲线，使得该曲线尽可能地接近数据点。曲线拟合广泛应用于数据分析和科学计算等领域。多项式曲线拟合：多项式曲线拟合是一种常见的曲线拟合方法，通过选择合适的多项式，使得该曲线能够最佳地拟合数据点。在实际应用中，通常需要根据数据点的分布和特征选择合适的多项式阶数。曲线拟合数值积分与微分方程求解CATALOGUE04数值积分的基本概念01数值积分是计算定积分的近似值的方法，常用的数值积分方法包括梯形法、辛普森法、高斯法等。数值积分的误差02数值积分的结果存在误差，包括截断误差和舍入误差，截断误差是由于方法本身近似性引起的，舍入误差是由于计算机浮点运算的精度限制引起的。数值积分的收敛性和稳定性03数值积分方法的收敛性和稳定性是评价其优劣的重要指标，收敛性是指随着步长减小，近似值趋于精确值，稳定性是指在计算过程中数值不发生剧烈波动或发散。数值积分常微分方程的初值问题常微分方程数值解法的误差和稳定性与具体方法和步长选取有关，需要进行误差分析和稳定性分析。数值解法的误差和稳定性常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，初值问题是给出函数在某点的初始值，求解该函数在某个区间内的变化规律。常微分方程的基本概念欧拉方法是常微分方程初值问题的一种简单数值解法，龙格库塔方法是一种更精确的方法，包括经典四阶龙格库塔法和变步长龙格库塔法等。欧拉方法和龙格库塔方法有限差分法和有限元法有限差分法是将偏微分方程转化为差分方程进行求解，有限元法是将偏微分方程转化为变分问题进行求解。数值解法的收敛性和稳定性偏微分方程数值解法的收敛性和稳定性是评价其优劣的重要指标，需要进行误差分析和稳定性分析。偏微分方程的基本概念偏微分方程是描述多变量函数变化的数学模型，在物理、工程等领域有广泛应用。偏微分方程的数值解法迭代法与矩阵计算CATALOGUE05迭代法是一种通过不断逼近解的方法，通过迭代过程逐步修正近似解，最终得到精确解。迭代法定义迭代法的分类迭代法的收敛性根据迭代过程的形式和收敛速度，迭代法可以分为线性迭代法和非线性迭代法。迭代法是否收敛以及收敛速度的快慢是衡量迭代法好坏的重要指标。030201迭代法的基本原理雅可比迭代雅可比迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，其基本思想是通过逐次逼近的方式求解方程组的解。高斯-赛德尔迭代高斯-赛德尔迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，其基本思想是将原方程组转化为等价的逐次逼近形式，从而求解方程组的解。雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代矩阵的运算与特征值问题矩阵的加法、数乘和乘法是矩阵运算的基本运算，这些运算具有一些基本的性质和定理。特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要概念，它们在矩阵的许多问题中都有广泛的应用。特征值问题的求解特征值问题的求解是数值分析中的一个重要问题，有许多数值方法可以用来求解特征值问题，如QR算法、Jacobi方法等。矩阵的加法、数乘和乘法数值分析的误差分析CATALOGUE06模型误差观测误差舍入误差截断误差误差的来源与分类01020304由于实际问题过于复杂，无法建立精确的数学模型，导致模型误差。由于测量设备、环境等因素导致的误差。由于计算机的有限精度导致的误差。由于数值方法近似求解导致的误差。03误差估计对计算结果的误差进行估计，以便了解结果的精度。01误差传播一个变量或一组变量的误差会传递到其他变量或计算结果中。02误差控制通过选择合适的数值方法和算法，减小误差的影响。误差的传播与控制数值方法的稳定性是指当舍入误差或截断误差存在