(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习计数原理、概率、随机变量及其分布

(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习计数原理、概率、随机变量及其分布计数原理概率初步随机变量及其分布计数原理在概率中的应用概率在解决实际问题中的应用随机变量的数字特征及其应用contents目录计数原理01完成一件事有$n$类办法，在第$1$类办法中有$m_1$种不同的方法，在第$2$类办法中有$m_2$种不同的方法，$ldots$，在第$n$类办法中有$m_n$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m_1+m_2+ldots+m_n$种不同的方法。加法原理完成一件事有$n$个步骤，第$1$个步骤有$m_1$种不同的方法，第$2$个步骤有依赖于第$1$个步骤的$m_2$种不同的方法，$ldots$，第$n$个步骤有依赖于前面所有步骤的$m_n$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m_1timesm_2timesldotstimesm_n$种不同的方法。乘法原理加法原理与乘法原理排列从$n$个不同元素中取出$m(mleqn)$个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个元素中取出$m$个元素的一个排列。所有这样的排列的个数记作$A_n^m$。组合从$n$个不同元素中取出$m(mleqn)$个元素并成一组，叫做从$n$个元素中取出$m$个元素的一个组合。所有这样的组合的个数记作$C_n^m$。排列与组合$(a+b)^n=sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$表示组合数。二项式系数具有对称性、增减性与最大值、各二项式系数的和等于基本二项式的指数等性质。二项式定理二项式系数的性质二项式定理公式概率初步02概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性。概率的定义概率的取值范围在0到1之间，包括0和1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；如果两事件互斥，则两事件并的概率等于两事件概率的和。概率的性质概率的定义与性质条件概率是指在某个条件下，某事件发生的概率。条件概率的计算公式为P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示A和B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率。条件概率如果两事件的发生互不影响，即一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响，则称两事件是相互独立的。事件的独立性条件概率与独立性事件的运算事件的运算包括并、交、差、对立等。其中，并是指两个事件中至少有一个发生；交是指两个事件同时发生；差是指第一个事件发生而第二个事件不发生；对立是指两个事件中只有一个发生。概率公式概率公式包括加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式等。其中，加法公式用于计算两个互斥事件的并的概率；乘法公式用于计算两个相互独立事件的交的概率；全概率公式和贝叶斯公式则用于计算复杂事件的概率。事件的运算及概率公式随机变量及其分布03随机变量的概念及分类随机变量的定义设随机试验的样本空间为S={e},X=X{e}是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X{e}为随机变量。随机变量的分类根据随机变量可能取值的性质，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的分布列与期望设离散型随机变量X所有可能取的值为$x_1,x_2,...,x_n$，X取各个可能值的概率$P(X=x_k)$为$p_k$，称表$X,x_1,x_2,...,x_n$；$P,p_1,p_2,...,p_n$为离散型随机变量X的概率分布，简称X的分布列。分布列的定义离散型随机变量X的期望E(X)是所有可能取值与其对应概率的乘积之和，即$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n$。期望具有线性性质，即$E(aX+b)=aE(X)+b$，其中a、b为常数。期望的定义与性质概率密度的定义设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x有$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，则称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。期望的定义与性质连续型随机变量X的期望E(X)是其概率密度函数f(x)与x的乘积在整个实数范围内的积分，即$E(X)=int_{-infty}^{infty}xf(x)dx$。期望同样具有线性性质。连续型随机变量的概率密度与期望计数原理在概率中的应用04每个事件发生的可能性相同且只有有限个结果。古典概型定义排列与组合公式典型例题使用排列公式$A_n^m$和组合公式$C_n^m$计算事件发生的种数。如掷骰子、摸球等，通过列举法或计算法求解概率。030201古典概型中的计数问题每个事件发生的可能性只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例。几何概型定义利用长度、面积或体积比计算事件发生的概率。几何度量法如射箭、随机投点等，通过几何图形和度量求解概率。典型例题几何概型中的计数问题

伯努利概型中的计数问题伯努利概型定义在同样条件下重复进行的、各次之间相互独立的事件。二项式定理在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率计算公式。典型例题如抛硬币、产品抽样等，通过二项式定理求解概率。概率在解决实际问题中的应用05基因型频率计算利用概率方法，可以计算群体中某种基因型的频率，进而研究基因在群体中的分布和遗传规律。预测遗传病发病率通过概率模型，可以预测某种遗传病在家族中的发病率，为遗传咨询和优生优育提供科学依据。亲子鉴定在亲子鉴定中，可以利用概率方法计算亲子关系的可能性，为法律诉讼和家庭纠纷提供证据。概率在遗传学中的应用在投资决策、保险精算等领域，概率方法可以帮助评估风险，为决策者提供科学依据。风险评估通过分析历史数据和概率模型，可以预测市场走势，为投资者提供参考。市场预测利用概率方法，可以研究消费者购买行为的规律和特点，为企业制定营销策略提供依据。消费者行为研究概率在经济学中的应用123通过概率模型，可以预测环境污染物的扩散范围和影响程度，为环境保护和治理提供决策支持。环境污染预测利用概率方法，可以评估生态系统中某种事件发生的可能性及其对环境的影响，为生态保护和管理提供依据。生态风险评估概率方法在气候变化研究中也有广泛应用，如利用概率模型预测未来气候变化趋势、评估气候变化对生态系统的影响等。气候变化研究概率在环境科学中的应用随机变量的数字特征及其应用0601方差的概念方差是衡量随机变量取值分散程度的一个数字特征，用$D(X)$或$Var(X)$表示。02非负性$D(X)geq0$，当且仅当$X$为常数时，$D(X)=0$。03齐次性$D(aX)=a^2D(X)$，其中$a$为常数。04可加性若$X$与$Y$相互独立，则$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。05标准差的概念标准差是方差的算术平方根，用$sigma(X)$表示。06标准差的性质标准差具有与方差相同的性质，如非负性、齐次性和可加性。方差与标准差的概念及性质协方差的概念：协方差是衡量两个随机变量变化趋势的一个数字特征，用$Cov(X,Y)$表示。协方差与相关系数的概念及性质VS$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$。线性性质$Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)$，其中$a,b,c,d$为常数。对称性协方差与相关系数的概念及性质与方差的关系$Cov(X,X)=D(X)$。要点一要点二相关系数的概念相关系数是衡量两个随机变量线性相关程度的一个数字特征，用$rho_{XY}$表示。协方差与相关系数的概念及性质相关系数的性质取值范围：$-1leqrho_{XY}leq1$。当$rho_{XY}=1$时，称$X$与$Y$完全正相关；当$rho_{XY}=-1$时，称$X$与$Y$完全负相关；当$rho_{XY}=0$时，称$X$与$Y$不相关。协方差与相关系数的概念及性质在随机试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是该事件的概率。大数定律揭示了随机现象中的规律性。设随机变量$X_1,X_2,ldots,X_n$相互独立且服从