初中数学九年级上册 一元二次方程的根与系数的关系 市赛一等奖

一元二次方程的根与系数的关系ax2+bx+c=0(a≠0)1.写出一元二次方程的一般式2.一元二次方程求根公式。X1,2=

活动一:复习旧知(4)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-8x+12=0x2+2x-3=03x2-4x+1=02x2-x-1=0261281-2-3-31（1）x2-8x+12=0(2)x2+2x-3=0（3）3x2-4x+1=01请同学们猜想：

任意的一元二次方程

的两根为x1.x2则

x1+x2，x1.x2与系数a，b，c的关系是怎样？

活动二：讨论思考方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-8x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2-x-1=0261281-3-4-411若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

的两根为x1、x2,则

.

.

活动三：猜想结论

观察、思考两根和、两根积与系数的关系得到：若x1，x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根

活动三：猜想结论X1+x2=+==-X1x2=●===证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则

活动四：推导结论

如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.

活动五：形成结论

一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理，在欧洲被尊称为“代数学之父”

如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2

那么x1+x2=-px1.x2=q

活动五：形成结论如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么x1+x2=,x1x2=-一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为:①a≠0；②Δ≥0.

活动六：强化结论如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2

那么x1+x2=-px1.x2=q

一元二次方程的根与系数的关系关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝_______，x1x2＝____．语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的 ____________，两根的积等于常数项与二次项系数的_____．易忽略点:一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：

①a≠0；②Δ≥0.比的相反数比

活动六：强化结论求两根之和与两根之积：1、x2-2x-3=02、2x2-3x-1=03、3x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-3x1+x2=2x1+x2=0x1x2=0x1+x2=x1x2=x1x2=-

活动七：巩固新知1．已知x1，x2

是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2

的值是 (

) A.0

B.2 C．－2 D.42．[2014·昆明]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于 (

) A．－4 B．－1 C．1 D．4BC

活动七：巩固新知在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=－时，注意“－”不要漏写。

活动八：特别注意例1、已知方程x2-(m+3)x+3m=0的一个根是2,

求它的另一个根及m的值.解法一：设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得2＋x2=m+32x2=3m解得：x2=3m=2答：方程的另一个根是3,m的值是2.

活动九：灵活应用例1、已知方程x2-(m+3)x+3m=0的一个根是2,

求它的另一个根及m的值。解法二：设方程的另一个根为x2.把x=2代入方程，得4-2(m+3)+3m=0解这方程，得m=2由根与系数的关系，得2x2＝3m即2x2＝6∴x2

＝3答：方程的另一个根是3,m的值是2.

活动九：灵活应用例:方程x2

(k

1)x

2k

1

0求:k满足什么条件时,①方程的两根互为相反数？②方程的两根互为倒数？③方程的一根为零？解:

(k

1)2

4(2k

1)

k2

6k

5①∵两根互为相反数∴两根之和k

1

0,k

1,且

0∴k

1时,方程的两根互为相反数.

活动十：应用拓展②∵两根互为倒数

k2

6k

5,∴两根之积2k

1

1k

1且

0,∴k

1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0,∴两根之积2k

1

0且

0,∴时,方程有一根为零.

活动十：应用拓展小结：在解决含字母已知数的一元二次方程的问题时，应注意方程有根的前提条件“a≠0且⊿≥0”。引申:若ax2

bx

c

0(a

0

0)（1）若两根互为相反数,则b

0;（2）若两根互为倒数,则a

c;（3）若一根为0,则c

0;

活动十：应用拓展1.一元二次方程根与系数的关系？特例：如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2

那么x1+x2=-px1.x2=q

活动十一：总结归纳2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.

3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里,当时，才能应用根与系数的关系

活动十一：总结归纳ax2+bx+c=0(a≠0)下列方程的两根的和与两根的积各是多少？

⑴.x2－3x+2=0⑵.3x2－2x=2⑶.2x2+3x=0⑷.5x2=1

活动十二：当堂检