初中数学九年级上册3 相似三角形的性质 全国优质课一等奖

22.3相似三角形的性质1、相似三角形有哪些性质？2、相似三角形有哪些判定方法？对应线段成比例，对应角相等。⑴定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。⑵判定定理1两角对应相等的两个三角形相似。⑶判定定理2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。⑷判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似。？？温故知新相似三角形的性质几何语言与运用

角：对应角相等∴边：对应边成比例相似比=对应边的比值=

如右图，∵△ABC∽△A'B'C'全等三角形中对应边上的高、中线、对应角的平分线相等。

问：那么相似三角形中的这些对应线段又有哪些性质呢？想一想：如左下图，已知:△

ABC∽

△

A'B'C'，它们的相似比为k，AD、A'D'是对应高。求证：ABDCA'B'D'C'证明：∵△

ABC∽△

A'B'C'∴∠B=∠B'∵AD、A'D'分别为BC、B'C'边上的高∴∠ADB=∠A'D'B'=90°

∴

△

ABD∽△

A'B'D'∴AD：A'D'=AB：A'B'=k结论1相似三角形对应高的比等于相似比。试一试：

若AD、A'D'分别为BC、B'C'边上的中线，那么AD、A'D'之间有什么关系？若AD、A'D'分别为∠BAC、∠B'A'C'的角平分线呢？

结论2

相似三角形对应中线、对应角平分线的比均为相似比。ABCDB'C'A'D'定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。ABCB'C'A'如左图，已知：△

ABC∽

△

A'B'C'，且它们的相似比为k。求：它们的周长比。解：∵△

ABC∽△

A'B'C'∴∴定理2:相似三角形周长的比等于相似比。继续探究做一做

如下图⑴、⑵、⑶分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似。⑴⑵⑶⑵与⑴的相似比=（）⑵与⑴的面积比=（）⑶与⑴的相似比=（）⑶与⑴的面积比=（）由此我们可以得到什么结论？对等边三角形而言，面积比=相似比的平方。2:14:13:19:1

动动你聪明的脑子，想一想

上述结论是否适用于一般的相似三角形？ABCA′B′C′DD′证明：∽△△分别过A、A′，作AD⊥BC于D，∵∴∴∴

定理3

相似三角形面积的比等于相似比的平方。例1：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm。要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2:1，并且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。求这个矩形零件的长与宽。ABC┐D解：如图，矩形PQRS为加工成的矩形零件，边SR在BC上，顶点P、Q分别在AB、AC上，

△

ABC的高AD交PQ于点E。设PS为xcm，则PQ为2xcm。∵PQ//BC∴△

APQ∽△

ABC∴即

解方程，得

因而，这个矩形零件的长是48cm，宽是24cm.PQSRE请回答1、若两个三角形的相似比为3：5，则这两个三角形对应高的比为（），对应角平分线的比为(），周长之比为（），对应中线之比为（）。2、把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的几倍？3、已知两个等边三角形的边长之比为2：3，且它们的面积之和为26cm2，则较小的等边三角形的面积为多少？3：53：53：510倍8cm23：5小试牛刀:小试牛刀4、顺次连接三角形三边中点所得的三角形与原三角形周长比是_____,面积比是1／21／4再接再厉

5，如图DE∥BC,EF∥AB,S△ADE=25,S△CEF=36.求△ABC的面积.ABCDEF2536解：∵DE∥BC，EF∥AB∴∠A=∠CEF,∠AED=∠C∴△ADE∽△EFC∴∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵S△ADE=25∴S△ABC=121∴∴∴EABC.6、如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________F2F1再接再厉DQABCP

如图,边长为4的正方形ABCD中,P是边BC上的一点,QP⊥AP

交DC于Q,设

BP=x,△ADQ的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;(2)问P点在何位置时,△ADQ的面积最小?最小面积是多少?相似与函数的相关习题对于例1，要使得内接矩形PQRS的面积最大，此时该矩形的长与宽各是多少？拓展练习PQSREABC┐D1、相似三角形对应边成____,对应角______.2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、