第二版工程数学-概率统计简明教程-随机事件

第二版工程数学-概率统计简明教程--随机事件目录随机事件基本概念概率论基础知识一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律与中心极限定理01随机事件基本概念在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。随机现象对随机现象进行的观察或实验，满足以下三个条件：可以在相同条件下重复进行；结果不止一个，且所有可能结果事先已知；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验随机现象与随机试验不可能事件空集，即不可能发生的事件。必然事件包含样本空间中所有元素的事件，即一定会发生的事件。基本事件样本空间中的单个元素，即一个可能结果。样本空间随机试验中所有可能结果组成的集合。随机事件样本空间的子集，即某些可能结果的组合。样本空间与随机事件123如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。包含关系如果事件A和事件B互为包含关系，即A包含B且B包含A，则称事件A和事件B相等。相等关系事件A和事件B中至少有一个发生的事件，记作A∪B。和事件（并事件）事件间关系及运算积事件（交事件）事件A和事件B同时发生的事件，记作A∩B或AB。差事件事件A发生而事件B不发生的事件，记作A−B。互斥事件两个事件不可能同时发生，即它们的交事件是不可能事件。对立事件两个事件中必有一个发生且仅有一个发生，则称这两个事件互为对立事件。事件间关系及运算02概率论基础知识03概率的性质包括互斥事件的概率加法公式、任意事件的概率减法公式、对立事件的概率公式等。01概率的直观定义描述某一事件发生的可能性大小的数值。02概率的公理化定义满足非负性、规范性、可列可加性的函数。概率定义及性质古典概型与几何概型古典概型又称等可能概型，具有有限性和等可能性两个特点。常用古典概型求解概率问题，如掷骰子、抽签等。几何概型当试验的样本空间是某个区域，而每个样本点被赋予的概率只与其几何度量成比例时，称这样的概率模型为几何概型。例如，射箭命中靶心、线段上随机取点等。条件概率与独立性如果一组事件中的任意两个事件都独立，则这组事件称为两两独立；如果这组事件中任意多个事件的交事件的概率等于这些事件概率的乘积，则这组事件称为相互独立。多个事件的独立性在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。条件概率如果两个事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是独立的。独立事件意味着一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。事件的独立性03一维随机变量及其分布一维随机变量的定义一维随机变量是指取值在实数轴上的随机变量，常用大写字母X,Y,Z等表示。一维随机变量的性质一维随机变量具有可测性、取值唯一性、分布函数单调不减等性质。一维随机变量定义及性质0-1分布二项分布泊松分布常见离散型分布0-1分布是二项分布的特例，它描述的是只有两种可能结果（成功或失败）的随机试验。二项分布描述的是n次独立重复试验中成功次数的概率分布，其中每次试验成功的概率为p。泊松分布描述的是单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，其中单位时间内事件发生的平均次数为λ。均匀分布均匀分布描述的是在某个区间内取值等可能的随机变量，其概率密度函数在该区间内为常数。指数分布指数分布描述的是连续型随机变量中等待时间或寿命的概率分布，其中等待时间或寿命的平均值为1/λ。正态分布正态分布是连续型随机变量中最为常见的一种分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性、集中性和可加性等特点。正态分布广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。常见连续型分布04多维随机变量及其分布多维随机变量定义及性质多维随机变量是指定义在样本空间上的多个随机变量的组合，每个随机变量都有其自己的取值范围和概率分布。定义多维随机变量具有一些基本的性质，如联合分布函数、边缘分布函数、条件分布函数等。性质VS边缘分布是指多维随机变量中，某个随机变量的概率分布，它描述了该随机变量取值的概率情况，而不考虑其他随机变量的影响。条件分布条件分布是指在多维随机变量中，当已知某些随机变量的取值时，其他随机变量的概率分布情况。条件分布可以用来描述多维随机变量之间的依赖关系。边缘分布边缘分布与条件分布多维随机变量中的各个随机变量如果相互独立，则它们的联合概率分布可以表示为各自概率分布的乘积。独立性是概率论中一个重要的概念，它可以简化问题的分析和计算。如果多维随机变量中的某些随机变量之间存在某种依赖关系，则称这些随机变量是相关的。相关性可以通过相关系数等统计量进行度量和描述。在多维随机变量的分析中，了解随机变量之间的相关性对于理解数据的内在结构和进行预测等都是非常重要的。独立性相关性独立性与相关性05随机变量数字特征数学期望描述随机变量取值的“平均水平”，是概率加权下的平均值。对于离散型随机变量，数学期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型随机变量，数学期望则是概率密度函数与自变量乘积的积分。方差衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度，即波动性或分散程度。方差越大，说明随机变量的取值越分散；方差越小，说明随机变量的取值越集中。方差的计算公式是各数据与其平均值之差的平方的平均数。数学期望与方差协方差衡量两个随机变量变化趋势的相似程度。如果两个随机变量同时向相反方向变化（即一个增加，另一个减少），则协方差为负值；如果两个随机变量同时向相同方向变化（即两者都增加或都减少），则协方差为正值；如果协方差接近于零，则说明两个随机变量之间可能不存在线性关系。要点一要点二相关系数是协方差的标准化形式，用于消除两个随机变量量纲不同对协方差的影响。相关系数的取值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。协方差与相关系数矩描述随机变量分布形态的特征数。一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差，三阶中心矩描述分布的偏态，四阶中心矩描述分布的峰态。协方差矩阵用于描述多个随机变量之间的线性相关程度。协方差矩阵的每个元素表示对应两个随机变量之间的协方差，而对角线上的元素则是各随机变量的方差。通过协方差矩阵，可以方便地了解多个随机变量之间的整体关系。矩和协方差矩阵06大数定律与中心极限定理含义大数定律是概率论中的基本定理之一，它表明当试验次数足够多时，随机事件的频率将趋近于它的概率。种类常见的大数定律有伯努利大数定律、辛钦大数定律和切比雪夫大数定律等。应用条件大数定律的应用需要满足一定的条件，如随机事件的独立性、同分布性等。大数定律中心极限定理是概率论中的另一个基本定理，它表明当随机变量的数量足够多时，这些随机变量的和或平均值将趋近于正态分布。含义常见的中心极限定理有林德伯格-列维中心极限定理和德莫弗-拉普拉斯中心极限定理等。种类中心极限定理的应用也需要满足一定的条件，如随机变量的独立性、同分布性等。应用条件中心极限定理保险业在保险业务中，大数定律和中心极限定理被广泛应用于风险评估和保费计算。通过大量历史数据的分析，保险公司可以预测未来可能发生的赔付情况，并据此制定相应的保费策略。医学领域在医学研究中，大