高一数学人教版必修1教案全集

课题：§1.1集合

教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基

础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方

面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课

教学目标：(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”

关系；

(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不

同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：集合的基本概念与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单

的集合；

教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问

这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高

一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新

的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。

阅读课本Pz-Pa内容

二、新课教学

(-)集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能

意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),

也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，

对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A

的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性：-个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个

体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)集合相等：构成两个集合的元素完全一样

5.元素与集合的关系；

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)A,记作aGA

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelongto)A,记作

a定A(或aWA)(举例)

6.常用数集及其记法

非负整数集(或自然数集)，记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

(-)集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述■•个集合，但这将给我们带来很多不便，除此

之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…；

例1.(课本例1)

思考2,引入描述法

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素

的顺序。

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号口内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变

化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特

征。

如：{xlx-3>2},{(x,y)ly=x?+l},{直角三角形},•••；

例2.(课本例2)

说明：（课本P5最后一段）

思考3：（课本P6思考）

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

｛（x,y）ly=x?+3x+2｝与｛yly=x?+3x+2｝不同，只要不引起误解，集合的代表元素

也可省略，例如：｛整数｝,即代表整数集Z。

辨析：这里的｛｝已包含''所有"的意思，所以不必写｛全体整数｝。下列写法｛实

数集｝,｛R｝也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，

要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（三）课堂练习（课本P6练习）

三、归纳小结

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对

集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

四、作业布置

书面作业：习题1.1,第1-4题

五、板书设计（略）

课题:§1.2集合间的基本关系

教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系

了解空集的含义

课型：新授课

教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用Venn图表达集合间的关系；

（4）了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；

教学过程：

六、引入课题

1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：

（1）0N；（2）V2Q；（3）-1.5R

2、类比实数的大小关系，如5<7,2W2,试想集合间是否有类似的“大小”关系

呢？（宣布课题）

七、新课教学

（-）集合与集合之间的“包含”关系；

A={1,2,3},B={1,2,3,4}

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含

关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：416（或334）

读作:A包含于（iscontainedin）B,或B包含（contains）A

当集合A不包含于集合B时，记作乐B

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

（二）集合与集晟讨/嫌等”关系；

AcBUBcA,则A=8中的元素是一样的，因此A=8

Au8

即A=6=4一

B^A

练习

结论：

任何一个集合是它本身的子集

（三）真子集的概念

若集合A[B,存在元素xeB且xeA,则称集合A是集合B的真子集

（propersubset）。

记作：A写B（或BmA）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

举例（由学生举例，共同辨析）

（四）空集的概念

（实例引入空集概念）

不含有任何元素的集合称为空集（emptyset）,记作：0

规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）结论：

=A②A=B,且3=则A=C

（六）例题

（1）写出集合｛a,b｝的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化简集合A=｛xlx-3>2｝,B=｛xlxN5｝,并表示A、B的关系;

（七）课堂练习

（A）归纳小结，强化思想

两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数

间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示

方法；

（九）作业布置

1、书面作业：习题1.1第5题

2、提高作业：

①已知集合A=｛xIa<x<5｝,B-｛x\x^2｝,且满足AqB,求

实数a的取值范围。

②设集合A=｛四边形｝,B=｛平行四边形｝,C=｛矩形｝,

。=｛正方形｝,试用Venn图表示它们之间的关系。

板书设计（略）

课题：§1.3集合的基本运算

教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与

交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念

的作用。

课型：新授课

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

教学过程：

八、引入课题

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运

算，两个集合是否也可以“相加”呢？

思考（P9思考题），引入并集概念。

九、新课教学

1.并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A

与B的并集（Union）

记作：AUB读作：“A并B”

即：AUB={xlxGA,或xGB}

Venn图表不：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是山集合A与B的所有元素组成

的集合（重复元素只看成一个元素）。

例题（P%io例4、例5）

说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表

/J，O

问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号

部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。

2.交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B

的交集（intersection）»

记作：AAB读作：“A交B”

即：AAB={xlGA,且x6B}

交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成

的集合。

例题（P<MO例6、例7）

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集

合没有交集

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么

就称这个集合为全集（Universe）,通常记作U。

补集：对于全集U的个子集A,山全集U中所有不属于集合A的所有元素

组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合

A的补集，

记作：CuA

即：CuA={xlxGU且xGA}

补集的Venn图表示

u

CuA^一

说明：补集的概念必须要有全集的限制

例题(P12例8、例9)

4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集

与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两

个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，

增强数形结合的思想方法。

5.集合基本运算的一些结论：

ADB=A,AABcB,AAA=A,AA0=0,AnB=BnA

AcAUB,BcAUB,AUA=A,AU0=A,AUB=BUA

(C^A)UA=U,(CL：A)AA=0

若ACB=A,则A=B,反之也成立

若AUB=B,则A=B,反之也成立

若xW(AAB),贝iJxEA且xCB

若xG(AUB),贝iJxGA,或xWB

6.课堂练习

(1)设八={奇数}、8={偶数},则AC1Z=A,BAZ-B,ACB=0

(2)设人={奇数}、B={偶数),则AUZ=Z,BUZ=Z,AUB=Z

(3)集合A={nl]eZ},B={mIeZ},则Ap|B=

(4)集合A={x1—44x42},B={xI-1<x<3},C={xlx<0,或xzg}

那么ADBCC=,AuBuc=;

十、归纳小结(略)

十一、作业布置

3、书面作业:P|3习题L1，第6-12题

4、提高内容：

(1)已知X={xlx2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且

XDA=0,XnB=X,试求p、q；

(2)集合A={xlx2+px-2=0},B={xlx2-x+q=0},若AUB={-2,0,1},求p、q；

(3)A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且ACB={3,7},求

B

课题：§121函数的概念

教材分析：函数是描述客观世界变化规律的堇要数学模型.高中阶段不仅把函数看

成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段

更注重函数模型化的思想.

教学目的：(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要

数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关

系在刻画函数概念中的作用；

(2)了解构成函数的要素；

(3)会求一些简单函数的定义域和值域；

(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：符号"y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

教学过程：

十二、引入课题

1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题；

(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

备用实例：

我国2003年4月份非典疫情统计：

日期222324252627282930

新增确诊病例数1061058910311312698152101

3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关

系.

十三、新课教学

(-)函数的有关概念

1.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的

任意一个数x,在集合B中都有唯•确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A~B为

从集合A到集合B的一个函数(function).

记作：y=f(x),x€A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值

相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)lxeA｝叫做函数的值域(range).

注意：

①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.

2.构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示.

4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

(由学生完成，师生共同分析讲评)

(二)典型例题

1.求函数定义域

课本P20例1

解：(略)

说明:

①函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

②如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指

能使这个式子有意义的实数的集合；

③函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

巩固练习：课本P22第1题

2.判断两个函数是否为同一函数

课本P2I例2

解:(略)

说明：

①构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应

关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数

相等(或为同一函数)

®两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量

和函数值的字母无关。

巩固练习：

①课本P22第2题

②判断下列函数f(X)与g(X)是否表示同一个函数，说明理由？

(1)f(X)=(X—1)0；g(X)=1

(2)f(x)=x；g(x)=

(3)f(x)=x2；f(x)=(x+I)2

(4)f(x)=IxI；g(x)=

(三)课堂练习

求下列函数的定义域

⑴f(x)=­\~-

x-IxI

(2)f(x)=—

1+-

X

(3)f(x)=7-x2-4x+5

(4)f(x)=3三

x-1

(5)f(x)=A/X2-6x+10

(6)f(x)Jl-x+Jx+3—1

十四、归纳小结，强化思想

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其

相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来

表示集合。

十五、作业布置

课本P28习题1.2(A组)第1一7题(8组)第1题

课题：§1.2.2映射

教学目的：(1)了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；

(2)结合简单的对应图示，了解一一映射的概念.

教学重点：映射的概念.

教学难点：映射的概念.

教学过程：

十六、引入课题

复习初中已经遇到过的对应：

1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应；

2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

3.对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯•确定的座位与它对应；

5.函数的概念.

十七、新课教学

1.我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的•种对应，若将其中的条件“非

空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元

素之间的对■应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）.

2.先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系

（1）开平方；

（2）求正弦

（3）求平方;

（4）乘以2；

3.什么叫做映射？

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于

集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就

称对应f：A-»B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）.

记作“f：AfB”

说明:

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其

中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述.

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

4.例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={PIP是数轴上的点},B=R,对应关系f：数轴上的点与它所代表的实

数对应；

（2）A={PIP是平面直角体系中的点},B={（x,y）IxSR,y6R},对应关

系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形},B={xlx是圆},对应关系f：每一个三角形都对应它的内切

圆；

（4）A={xlx是新华中学的班级},B={xlx是新华中学的学生},对应关系f：

每一个班级都对应班里的学生.

思考：

将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应

关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：BfA是从集合B到集合

A的映射吗？

5.完成课本练习

十八、作业布置

补充习题

课题：§122函数的表示法

教学目的：(1)明确函数的三种表示方法；

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

(4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函

数的表示及其图象.

教学过程：

十九、引入课题

5.复习：函数的概念；

6.常用的函数表示法及各自的优点：

(1)解析法；

(2)图象法；

(3)列表法.

二十、新课教学

(-)典型例题

例1.某种笔记本的单价是5元，买x(xd{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试

用三种表示法表示函数y=f(x).

分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，

可以是图象，也可以是对应值表.

解：(略)

注意：

①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意

判断一个图形是否是函数图象的依据；

©解析法：必须注明函数的定义域；

③图象法：是否连线；

④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

巩固练习：

课本P27练习第1题

例2.下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班

级及班级平均分表:

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王伟988791928895

张城907688758680

赵磊686573727582

班平均分88.278.385.480.375.782.6

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分

析？借助什么工具？

解：（略）

注意：

①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成

绩的变化特点；

©本例能否用解析法？为什么？

巩固练习：

课本P27练习第2题

例3.画出函数y=IxI.

解:（略）

巩固练习：课本P27练习第3题

拓展练习：

任意画一个函数y=f（x）的图象，然后作出y=lf（x）l和y=f（1x1）的图象，并尝试

简要说明三者（图象）之间的关系.

课本P27练习第3题

例4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）.

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点

站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并回出函数

的图象.

分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站

才能停车，所以行车里程只能取整数值.

解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，

如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车

行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{xeN'lxW19}.

由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：

20<x<5

515<x<19

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示:

九

5-

4-

3-

2-......

1-

615101519X

注意：

①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；

②本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？

实践与拓展：

请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票

价.（可以实地考查一下某公交车线路）

说明：象上面两例中的函数，称为分段函数.

注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的

表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

二十一、归纳小结，强化思想

理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示

函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法.

二十二、作业布置

课本P28习题1.2（A组）第8—12题（B组）第2、3题

课题：§131函数的单调性

教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意

义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.

教学重点：函数的单调性及其几何意义.

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.

教学过程：

二十三、引入课题

1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

®函数图象是否具有某种对称性？

2.画出下列函数的图象，观察其变化规律:y]

1-

—I-------------------------1--------------------->

-11X

1.f(x)=X

①从左至右图象上升还是下降?

②在区间上，随着X的增

大，f(x)的值随着.

y，

2.f(x)=-2x+l

①从左至右图象上升还是下降?1-

©在区间上，随着X的增---j----------J--------►

大，f(x)的值随着.-1-

3.f(x)=X2yA

①在区间±,f(x)的值随

着X的增大而.1-

®在区间上，f(x)的值随-----------；-------->

着x的增大而.

二十四、新课教学

(-)函数单调性定义

1.增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X”X2,当X《X2

时，都有f(X|)<f(X2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasingfunction).

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量XI,X2；当X]VX2时，总有f(X])Vf(X2).

2.函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)

在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3.判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取X],X26D,且X]<X2；

②作差f(Xi)-f(X2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

@定号(即判断差f(X1)-f(X2)的正负);

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(-)典型例题

例1.(教材P34例1)根据函数图象说明函数的单调性.

解：(略)

巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2.(教材P34例2)根据函数单调性定义证明函数的单调性.

解：(略)

巩固练习：

①课本P38练习第3题；

②证明函数'=》+!在(1,+8)上为增函数.

X

例3.借助计算机作出函数y=-x2+21x1+3的图象并指出它的的单调区间.

解：(略)

思考：画HI反比例函数y=工的图象.

x

①这个函数的定义域是什么？

②它在定义域/上的单调性怎样？证明你的结论.

说叨：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象.

二十五、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助

计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步:

取值一作差一变形f定号f下结论

二十六、作业布置

1.书面作业：课本P45习题L3(A组)第1-5题.

2.提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y),

①求f(0)、f(l)的值；

②若f(3)=L求不等式f(x)+f(x-2)>l的解集.

课题：§1.3.2函数的奇偶性

教学目的：(1)理解函数的奇偶性及其几何意义；

(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

(3)学会判断函数的奇偶性.

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义.

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式.

教学过程：

二十七、引入课题

1.实践操作：(也可借助计算机演示)

取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象

的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

①以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形

的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个

函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应

的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；

(2)若点(x,f(x))在函数图象上，则相应的点(一x,f(x))也在函数

图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标•定相等.

②以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面(即第三

象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个

函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应

的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；

(2)若点(x,f(x))在函数图象上，则相应的点(一x,-f(x))也在函

数图象匕即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也•定互为相

反数.

2.观察思考(教材P39、P40观察思考)

二十八、新课教学

(-)函数的奇偶性定义

象上面实践操作①中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作②中的图象

关于原点对称的函数即是奇函数.

1.偶函数(evenfunction)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就

叫做偶函数.

(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2.奇函数(oddfunction)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意•个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就

叫做奇函数.

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性

质；

©由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域

内的任意一个X,则一X也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

(-)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称.

(三)典型例题

1.判断函数的奇偶性

例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的

奇偶性.(本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤)

解：(略)

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(—X)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(-x)=f(x)或f(一X)—f(x)=0,贝ljf(x)是偶函数；

若f(一X)=—f(x)或f(—x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

巩固练习：（教材P4I例5）

例2.（教材P46习题1.3B组每1题）

解:（略）

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函

数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函

数是非奇非偶函数.

2.利用函数的奇偶性补全函数的图象

（教材P4I思考题）

规律：

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称.

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据.

巩固练习：（教材P42练习1）

3.函数的奇偶性与单调性的关系

（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象

判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征.

例3.已知f（x）是奇函数，在（0,+8）上是增函数，证明：f（x）在（一8,0）上也

是增函数

解：（由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤）

规律：

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.

二十九、归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法

和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关

于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的

图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.

三十、作业布置

3.书面作业：课本P46习题1.3（A组）第9、10题，B组第2题.

2.补充作业：判断下列函数的奇偶性：

②/(x)-Xs—lx;

③/(x)=a(xG/?)

cr，、J"。—%)x>0,

[x(l+x)x<0.

3.课后思考：

已知/(x)是定义在R上的函数，

3)=『"—，)，〃(X)=/”(T)

①试判断g(x)与应X)的奇偶性;

©试判断g(x),/z(x)与/1(X)的关系；

®由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由.

课题：§1.3.1函数的最大(小)值

教学目的：(1)理解函数的最大(小)值及其几何意义；

(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义.

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

教学过程：

三十一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

(1)/(x)=-2x+3(2)f(x)--2x+3xe[-1,2]

(3)/(x)-x2+2x+1(4)f(x)-x2+2x+1xe[-2,2]

三十二、新课教学

(-)函数最大(小)值定义

1.最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为1,如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xGI,都有f（x）WM；

（2）存在x°e/,使得f（x（））=M

那么，称M是函数y=f（x）的最大值（MaximumValue）.

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f（x）的最小值（MinimumValue）的

定义.（学生活动）

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在使得f（x0）=M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xG7,

都有f（x）WM（f（x）2M）.

2.利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

©利用图象求函数的最大（小）值

③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c|上单调递减则函数y=f（x）

在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y=f（x）

在x=b处有最小值f（b）；

（-）典型例题

例1.（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值.

解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立

适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值.

巩固练习：如图，把截面半径为/

25cm的圆形木头锯成矩形木料，/|「刁\

如果矩形一边长为x,面积为yI/］

试将y表示成x的函数，并画出\）

函数的大致图象，并判断怎样锯

才能使得截面面积最大？

例2.（新题讲解）

旅馆定价

一个星级旅馆有150个标准房，经过•段时间的经营，经理得到一些定价

和住房率的数据如下：

房价（元）住房率（％）

16055

14065

12075

10085

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之

间，房价与住房率之间存在线性关系.

设），为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当

X

房价为（160—x）元时，住房率为（55+——10）%,于是得

20

X

y=150•（160-x）-（55+--10）%.

Y

由于（55+/」0）%W1,可知0WxW90.

因此问题转化为：当0WxW90时;求y的最大值的问题.

将y的两边同除以,个常数0.75,得.产一x2+50x+17600.

由于二次函数y।在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值,

此时房价定位应是160—25=135（元），相应的住房率为67.5%,最大住房总收

入为13668.75（元）.

所以该客房定价应为135元.（当然为了便于管理，定价140元也是比较合

理的）

2

例3.（教材P37例4）求函数y=——在区间［2,6］上的最大值和最小值.

x-1

解:（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式.

巩固练习：（教材P38练习4）

三十三、归纳小结，强化思想

函数的单调性•般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助

计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明•般分五步:

取值f作差f变形f定号f下结论

三十四、作业布置

4.书面作业：课本P45习题1.3（A组）第6、7、8题.

提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方

向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h,已知AC=150km,

经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？

课题:数

教学目的：⑴掌握根式的概念号一

（2）规定分数指数塞1箴义；

（3）学会根式与分数揩.塞之间的相互转化；

（4）理解有理指数基的含义及其运算性质；

（5）了解无理数指数基的意义

教学重点：分数指数基的意义，根式与分数指数嘉之间的相互转化，有理指数幕的

运算性质

教学难点：根式的概念，根式与分数指数新之间的相互转化，了解无理数指数累.

教学过程：

三十五、引入课题

1.以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性

2.由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；

3.复习初中整数指数基的运算性质；

（十）"="""

[ab）n=anbn

4.初中根式的概念；

如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立

方等于a,那么这个数叫做a的立方根；

三十六、新课教学

(-)指数与指数幕的运算

1.根式的概念

一般地，如果那么x叫做a的〃次方根(nthroot),其中〃>1,

且“GN".

当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.此

时，。的〃次方根用符号板表示.

式子夜■叫做根式(radical),这里“叫做根指数(radicalexponent),a叫做被

开方数(radicand).

当〃是偶数时，正数的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数。的

正的〃次方根用符号后表示，负的〃次方根用符号一折表示.正的〃次方根与负

的〃次方根可以合并成土加(«>0).

由此可得：负数没有偶次方根：0的任何次方根都是0,记作“5=0.

思考：(课本P58探究问题)万一定成立吗？.(学生活动)

结论：当〃是奇数时，笳

当〃是偶数时，叱

-a(a<0)

例1.(教材P58例1).

解：(略)

巩固练习：(教材P58例1)

2.分数指数基

正数的分数指数基的意义

规定：

in____

an=y[a^(a>0,/n,nGN\n>1)