高考数学难点大全深度解析

难点1集合思想及应用

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和

理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观

点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

・难点磁场

(★★★★★)已知集合4={。,)州2+“状一)，+2=0},8={。,)，)卜一)，+1=0,且0WxW2},如果AA

求实数机的取值范围.

・案例探究

［例I］设4={(x,y)ly2—x—l=0},B={(x,y)l4.J+2x—2y+5=0},C={(x,y)l)=自+6},是否存在k、

bGN,使得(AUB)nC=0,证明此结论.

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨

出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(AU3)nC=0转化为4CC=0且8CC=0,这

样难度就降低了.

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内

涵，因而可能感觉无从下手.

技巧与方法：由集合4与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行

限制，可得到仄k的范围，又因从kGN,进而可得值.

解：,..(4UB)nC=0,...ACC=0且BCC=0

:""+1l^x2+(2bk—l)x+b2—1=0

y=kx+b

VAQC=0

・・・4=(2尿一1)2—4后(序—1)<0

・・.4炉一4尿+1<0,此不等式有解，其充要条件是16廿一16>0,即房>1①

・・知2+2工-2)，+5=0

.<

y=kx+h

4X2+(2——2^)X4-(5+2/?)=0

2

'：BQC=0,：.zl2=(l-Z：)-4(5-2Z?)<0

：.^-2k+^>b-19v0,从而8b<20,即b<2.5②

由①②及bGN,得b=2代入由/I<0和/2<0组成的不等式组，得

4k2-诙+1<0,

*

k2-2k-3<0

,k=l,故存在自然数k=l力=2,使得(AUB)CIC=0.

［例2］向50名学生调查对A、8两事件的态度，有如下结果：赞成力的人数是全体

的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B

都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和

都不赞成的学生各有多少人？

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考

生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

知识依托：解答木题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.

错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.

解：赞成A的人数为50X±=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图，记50名学生组

5

成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合4赞成事件B的学生全体为集合8

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对•A、B都不赞成的学生人数为2+1,赞成A而

3

不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-X.

Y

依题意(30—x)+(33-x)+x+(-+1)=50,解得x=21.

3

所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

•锦囊妙计

I.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用

描述法给出的集合{xlxdP},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重

视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

2.注意空集。的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，

如A=8,则有A=0或AW0两种可能，此时应分类讨论.

・歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★堞合用={如=幺+二人GZ},N={xb匚竺+工,keZ}JUJ()

2422

A.M=NB.庐NC.M^ND.MAN=0

2.(****)已知集合A={xL2WxW7},8={xm+l<r<2m-l}且BW0,若AUS=A,则

()

A.—B.—3V加v4

C.2<机<4D.2VmW4

二、填空题

3.(***娟已知集合A={xGRIax2_3x+2=0,aGR},若A中元素至多有1个，则a的取

值范围是.

4.(★★★GR^4={(x,y)lx2+y2=1},B={(x,y)l—--=l,a>0力>0},当APlB只有一个元

ab

素时，。力的关系式是.

三、解答题

5.(*'^'^**)集合4=3冗2—〃1+。2—19=0},B={xllog2(x2—5x+8)=1},C={x\x2+2x—8=0},

求当〃取什么实数时，AG3呈0和AAC=0同时成立.

6.(*****)已知{%}是等差数列，d为公差且不为0,由和［均为实数，它的前〃项

S1

和记作&,设集合A={3DI〃GN*},8=3)1：/-7=1,x.yeR).

n4

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

(2)AAB至多有•个元素；

(3)当可并0时，一定有

7.d十玄幻已知集合A={zllz-2W2,zGC},集合B={wM，=Lzi+"hGR},当AC8=8时,

2

求b的值.

%.('k'k'k'k)'^.f{x}-］C+px+qA-{x\x-j{x}},B-{x\fEy(x)］=x}.

⑴求证：AqB;

(2)如果A={-l,3},求8.

参考答案

难点磁场

•2

.x+mx-y+2=0

解:由《得f+Q”—l)x+l=0①

x-y+1=0(04x42)

'：AQB^0

二方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解.

首先，由/=(»?—I)?—420,得加23或/nW—1,当机23时，由X\+X2=~(m-1)<0及

X|X2=l>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当〃?W—1时，由XI+X2=—(加一1)>0及X|X2=l>0知，方程①只有正根，且必有一根在区

间(0,1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0,2］内.

故所求相的取值范围是mW—1.

歼灭难点训练

JT

一、L解析:对M将一分成两类:攵=2及或攵=2〃+1(〃£Z),M={Mr=〃Z}U{Hr=

4

n，"WZ},对N将A分成四类，k=4n或女=4〃+l.k=4〃+2#=4〃+3(〃eZ),N={xlx=〃^+―,n

42

WZ}U{xLv=n^+―,/t^Z)U{x\x=n"+肛〃£Z}U{x\x=n-^+―,n^Z}.

44

答案：C

9

2.解析：：AUB=Af:・B三人又B半0,

in4-1>-2

即2V〃zW4.

m+1<2"?—1

答案：D

9

二、3.a=0或心一

8

4.解析：由AAB只有1个交点知，圆f+y2=i与直线2-2=］相切，则1=就_

abJ/+-

即ab=4a2+r.

答案：ab=da2+b2

三、5.解：log2(^2—5x+8)=l,由此得/—5X+8=2,.,.8={2,3}.由尤2+2¥—8=0,/.C={2,一

4},又AGC=0,・・・2和一4都不是关于x的方程，-ox+k—19=0的解，而AGB学0,即A

ABW0,

.*.3是关于R的方程19=0的解，，可得a-5或a=~2.

当。=5时，得4={2,3},：.AQC={2}9这与AGC=0不符合，所以〃=5(舍去)；当e

—2时，可以求得人={3,—5},符合AGC=0,AC\B^0,a=~2.

6.解：(1)正确.在等差数列{%}中，/=〃(、+“")，则鼠=,(8+册),这表明点。“,呈)

2n2n

\Q11

的坐标适合方程〉=上。+。1),于是点伍〃，、)均在直线y=-x+-ai上.

22

(2)正确.设(x,y)e408,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组，的解，由方程组消

—X

4

去y得：2〃]X+oJ=-4(),当。[=0时;方程()无解，此时AC8=0；当rWO时;方程()

42',

只有•个解入仁土4一，此时，方程组也只有一解，为，故上述方程组至多有一解.

2%a.2-4

y=—

[4«|

至多有一个元素.

C

(3)不正确.取0=10=1,对一切的犬右2有知=«+(”-1)"=">0,">0,这时集合A中的

元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a产1W0.如果ACBW0,那么据(2)

的结论，AQB中至多有一个元素(X。,%)，而刖=土尤=-2<0,加=生也=3<0,这样

2a,524

的(xo,yo)eA,产生矛盾，故©=l,d=l时AC1B=0,所以0之0时，一定有AC8W0是不正

确的.

7.解：由w=1zi+b得z=―~—，

2i

♦.,zGA,.\上一2IW2,代入得Ia————21<2,化筒得lw—S+i)lW1.

i

二集合A、8在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2,0)为圆心,

半径为2的圆面，集合B表示以点(41)为圆心，半径为1的圆面.

又AC1B=B,即B=A,.,.两圆内含.

因此J(b-2)2+(1-0)2W2-lW(b-2)2W0,：.b=2.

8.(1)证明：设均是集合4中的任一元素，即有刖丘人

"：A=[x\x^f(x)},：,xa=f(xtt).

即有/[兀⑹]Mxo)=x°,.•.须GB,故Aa8.

(2)证明：,；A={-1,3}={x\x2+px+q=x},

二方程/+(/7—1.+4=0有两根一1和3,应用韦达定理，得

_]+3=_(p_W=7

(-1)x3=q=1=_3

^•f(x)=x2—x—}/.

于是集合B的元素是方程/DU)]二苍也即(?一九一3)2—(f—x—3)—3=x(*)的根.

将方程(')变形，得(f—L3)2-X2=0

解得犬二1,3,百，一V3.

故B={—6，—1，百，3).

难点2充要条件的判定

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论

q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定

给定的两个命题的充要关系.

・难点磁场

(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程/+狈+/；=()有两个实数根。、£,证明：|

a|<2且I£1<2是2\a\<4+b且历1<4的充要条件.

・案例探究

Y—1

[例1]|_4口p：11—\IW2,q:f-2x+l—"/WOQ"〉。),若[J是F的必要而不充分条件，

求实数小的取值范围.

命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了

充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.

知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生

对充要条件的难理解变得简单明了.

错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题,

学生本身存在着语言理解上的困难.

技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，

再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.

解：由题意知：

命题：若「0是f的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要

条件.

Y1Y,-1X1

p:ll———IW2n—2W........-1W2n—1<-------<3=-2WxW10

333

^:x2—2x+l—[x—(1—m)]]/—(1+m)]W0*

•・・p是夕的充分不必要条件，

不等式II一日」IW2的解集是，-2x+l一机2wo(心0)解集的子集.

3

又

・,•不等式*的解集为1—

\-m<-2m>1

=<.•・加29,

1+A?2>10m>9

.,•实数机的取值范围是［9,+8).

［例2］已知数列｛册｝的前n项S产p"+g(pWO,pWl),求数列｛%｝是等比数列的充要条件.

命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.

知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前〃项和与通项之

间的递推关系，严格利用定义去判定.

错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视

充分性的证明.

”关系式去寻找为与。向的比值，但同时要注意充

技巧与方法：由卬=■

⑸-S“_］(〃22)

分性的证明.

解：a\=S\=p+q.

1

当"22时，a„=Sn—5„।=p(/?-1)

•pw],・・—--；-----------p

pl(p-l)

若｛册｝为等比数列，则”=巴包=〃

%%

・p(p-l)

.・-----------=p,

p+q

・•・pWO,:・p——l=p+q,q=­I

这是｛斯｝为等比数列的必要条件

下面证明q=-l是似“｝为等比数列的充分条件.

当q=-1时,：.S〃=p"—I(pWO,pr1),a\=S]=p~1

当〃22时，%=Sn—Sn—尸p"—p"T=p〃7(p—1)

H1

**-an=(p—1)p~(pX0,1)

不=p为常数

an-\

：.q=~\时.，数列｛对｝为等比数列.即数列｛为｝是等比数列的充要条件为q=f.

・锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

⑴要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则g”形式的命题为真时，就记

作pnq,称p是的充分条件，同时称q是。的必要条件，因此判断充分条件或必要条件

就归结为判断命题的真假.

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“o”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”,

“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念

的判断依据，又是概念所具有的性质.

(4)从集合观点看，若A=B,则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B,贝

B互为充要条件.

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆

命题成立(即条件的必要性).

・歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)函数式x)=xk+“l+6是奇函数的充要条件是()

A.ab=OB.a+b=OC.a=bD.a2+/>2=0

2.(****)%=1”是函数)-=cos2«x-sin2ax的最小正周期为“万”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件

二、填空题

3.(★★★★)a-3是直线ax+2y+3a-0和直线3x+(a-1)y=a—7平行且不重合的

★★偷题A：两曲线Rx,)，)=O和G(x,y)=O相交于点P(xo,yo),命题B：曲线F(x,y)+

XG(x,y)=O(X为常数)过点尸(沏而,则A是B的条件.

三、解答题

5.(****加设。，尸是方程ax+b=O的两个实根，试分析。>2且6>1是两根。、

£均大于I的什么条件？

6.(*****)已知数列｛““｝、也｝满足：勾=%+2a2+…+"%,求证:数列｛斯｝成等差

1+2+3+…+”

数列的充要条件是数列｛4｝也是等差数列.

7.(*****)已知抛物线C：产一/+〃吠一1和点4(3,0),8(0,3),求抛物线C与线

段AB有两个不同交点的充要条件.

8.(★★★★★)/?：-2<机<0,0<"<1；4：关于x的方程f+wx+nR有2个小于1的正根，试

分析p是q的什么条件.(充要条件)

参考答案

难点磁场

证明：(1)充分性：由韦达定理，得协1=1。•尸1=1•I⑶<2X2=4.

设/(犬)=/+以+"则危)的图象是开口向上的抛物线.

又I例<2,；.大士2)>0.

,,[4+2tz+b>0

即有《n4+b>2a>-(4+b)

[4-2a+6>0

又依V4n4+b>0n2\a\<4+b

(2)必要性：

由2同<4+8=.八±2)>0且./(x)的图象是开口向上的抛物线.

二方程兀0=0的两根。，闭司在(-2,2)内或无实根.

尸是方程Ax)=0的实根，

:.a,£同在(一2,2)内,即I。1<2且l£l<2.

歼灭难点训练

一、1.解析：若/+//=0,即a=b=0,此时次一x)=(—x)k+0l+0=­x•Lxl=—(xk+01+b)

=—(xlr+a\+b)=~f(x).

.,./+//=0是/(x)为奇函数的充分条件，又若无)=xlr+4l+/7是奇函数，即x)=

(一》)1(一》)+。1+匕=一/(；0,贝1」必有a=b=0,即a2+b2=0.

：.a2+b2^0是_/(x)为奇函数的必要条件.

答案：D

2.解析：若”=1厕产cos%—sin:mcosZx,此时y的最小正周期为".故a-\是充分条件，

反过来，由尸cos%—sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为〃，则a=±1,故a=l不是必要

条件.

答案：A

二、3.解析：当。=3时，直线/|：3x+2)，+9=0;直线/2：3x+2y+4W.；/|与/2的4：4=%：8尸1：

1,而G：C2=9：4W1,即CiWC2,；.a=3o>〃/2.

答案：充要条件

4.解析：若P(x(),yo)是F(x,y)=0和G(x,)，)=0的交点,则F(xojo)+.G(xoJo)=O,即F(x,y)+

4G(x,y)=0,过产(无0,九)；反之不成立.

答案：充分不必要

三、5.解：根据韦达定理得。=。+£力=。£.判定的条件是「:[">2结论是4：[a>1(注

[b>i[/?>1

意p中〃、匕满足的前提是/=『—4620)

,\a>1…

⑴由/?]'得〃=£>2,b=。£>l,.・.gnp

(2)为证明/用夕,可以举出反例：取。=4,£=；，它满足〃+£=4+g>2/=。£=4X

；=2>1,但q不成立.

综上讨论可知a>2,b>\是尸>1的必要但不充分条件.

6.证明：①必要性：

设｛恁｝成等差数列，公差为4・・,｛〃〃｝成等差数列.

.〃|+2%+—・+呵/(I+2+…+〃)+d[l・2+2・3+…+(〃-1)〃]/(、2,

/.b=----------------------=-----------------------------------------------------------=a,+(n-l)--d

n1+2+3+・••+〃1+〃H-----\-n3

222

从而。〃+1-b“=ai+〃•—d—a\—(n—1)—d=-d为常数.

333

2

故仍“｝是等差数列，公差为:d.

②充分性：

设｛儿｝是等差数列，公差为力，则九=3—1)力

丁1+2+…+〃)=a।+2生+…+〃%①

。”-1(1+2+…1)=。1+为2+…+(〃—1)。〃②

①一②得：“为=吟。女一号2"皿

a„=+(”-2)/]=仇+(n-l)-1</r,

从而得az—。“=三/为常数，故｛”“｝是等差数列.

2

综上所述，数列｛知｝成等差数列的充要条件是数列｛儿｝也是等差数列.

7.解：①必要性：

由已知得，线段AB的方程为)=-x+3(0WxW3)

由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，

2

所以方程组口=一、+mjc~]*有两个不同的实数解.

y=-x+3(0<x<3)

消元得：x2—(/??+1)x+4=0(0^x^3)

设J(x)=x2—(m+l)x+4,则有

△=(m+1)2-4x4>0

/(0)=4>0

/(3)=9-3(/n+l)+4>0=>3<m<y

八m+1C

0<----<3

2

②充分性：

当时,

3

"2+1—一16〉机+1—J(加+I)20

1[(~~77此+1+、("+1)2-16

_m++-163V3

x<-)=&J

222

二方程?-(/«+l)x+4=0有两个不等的实根片,孙且0<修<必0,方程组*有两组不同的

实数解.

因此，抛物线产一f+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件

8.解：若关于x的方程jC+mx+n=G有2个小于1的正根，设为xg.

则0<X|<1,0<初<1,有0<X|+X2<2且0<7初<1,

根据韦达定理：上+'2f得卜F<2

区乂2=n[0<»<1

有一2<机<0;0<”<1即有q=>p.

反之，取m=——,n=—,x2-—x+—=0,A=--4x—<0

323292

方程x2+mx+n=0无实根，所以旧为

综上所述，p是4的必要不充分条件.

难点3运用向量法解题

平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大

了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问

题.

・难点磁场

(★★★★★)三角形48c中，A(5,-1),6(-1,7)、C(l,2),求：(1)8C边上的中线

4M的长；(2)/C4B的平分线4。的长；(3)cos48c的值.

・案例探究

[例1]如图，已知平行六面体ABC。-4BGU的底面

D

4BCO是菱形，且/C|C8=NGCD=/8CD

(1)求证：C1C±BD.

(2)当日的值为多少时，能使AQ，平面GBD?请给出证明.

命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体儿何图

形的解读能力.

知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体儿何中的垂直问题，这就使儿何问题

代数化，使繁琐的论证变得简单.

错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就

是要清楚己知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.

技巧与方法：利用•)=()来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数

量积为零即可.

(1)证明：设而3=瓦西N,依题意，lal=lbl,CD,CB,西中两两所成夹

角为心于是丽=而一方=a—力，CQ-'BD=c(.a-b)^c•a-c•b^\c\•lalcos0-\c\•IMcos

(2)解：若使AC_L平面C|B。，只须证A^CLDC\,

由西•而=(以+无不).(丽一百)

=(a+b+c)•(a—c)=lal2+a•b~b,c—lcl2=lal2_lcl-+l&l,lalcosS—\b\•Id•cos。=0,得

当1«1=历1时,A.ClDCp同理可证当lal=ld时,A^CLBD,

CD

：.——=1时，A|C_L平面C]8D

CCI

［例2］如图，直三棱柱ABC—4底面AABC中，

CA=CB=1,ZBCA=90°,AAj=2,M、N分别是A|B|、AM的中

点.

⑴求丽的长；

(2)求cosv两，西〉的值;

(3)求证：A|B_LGM

命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属

★★★★级题目.

知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系。一孙z,进而找到点的坐标

和求出向量的坐标.

错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.

技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及

方向来找出其他的点的坐标.

(1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系。一盯z.

依题意得:8(0,1,0),N(l，0,1)

AlBN1=J(l-0)2+(0-1)2+(1—0)2=V3.

(2)解：依题意得:4,(1,0,2),C(0,0,0),Bi(0,1,2).

.•.两=(1,-1,2),西=(O,I,2)

两•国=1X0+(-l)X1+2X2=3

I两1=J(l-0)2+(0-l)2+(2-0)2=V6

222

ICB{h7(0-0)+(1-0)+(2-0)=75

^7*BA,CB,3V30

cos<BA,,CBi>=.—“・=-7=—产=-----.

IBq1-ICB)IV6-V510

(3)证明：依题意得：G(o,0,2),

22

-----11-►

qw=(-,-,0),^5=(-1,1-2)

/.=(-l)xl+lx1+(-2)x0=0,.-.

•锦囊妙计

1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地

进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转

化和密切结合的思想.

2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直

角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题;利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直

线的夹角和两点间距离的问题.

3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：

(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未

知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？

(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？

・歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)设4、8、C、D四点坐标依次是(一1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四

边形ABCD为()

A.正方形B.矩形

C.菱形D.平行四边形

—•15

已知△ABC中，AB=a,AC=b,a-b<0,SZMBC=—,3=3,则=5,则a与b

的夹角是()

A.30°B.-1500C.15O0D.30°或150°

二、填空题

3.(★★★★★)将二次函数尸f的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x—5

的图象只有一个公共点(3,1),则向量a=.

4.(★★★★)等腰△ABC和等腰RtZ\A8O有公共的底边A8,它们所在的平面成60°角,

若AB=16cm,4C=17cm,则CD=.

三、解答题A

5.(*****)如图，在△ABC由设而=«,元=b,AP=c,//\

AD=Aa,[0<^<l),AE=〃伙0<〃<1),试用向量a,b表示c.

6.(****)正三棱柱48c~4B|G的底面边长为a,侧棱长为BFC

y[2a.

⑴建立适当的坐标系，并写出A、B、4、G的坐标;

⑵求4G与侧面AB8A所成的角.

★★旧知两点加(一1,0),N(l,0),月.点尸使而•加，丽•丽，丽•而成

公差小于零的等差数列.

(1)点尸的轨迹是什么曲线？

(2)若点P坐标为(xo,yo),。为丽与丽的夹角，求tan

8.(*****)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABC。的边AB、BC、CD、D4的

中点.

(1)用向量法证明E、F、G、”四点共面；

(2)用向量法证明：BD//平面EFGH；

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O,有加^-(OA+OB+0C+0D}.

参考答案

难点磁场

_117+299

解：(1)点M的坐标为血=----+-=0;)%=——=-,.-.M(0,-)

2222

••.IAM1=^(5-0)2+(-1-1)2=

(2)I'AB1=7(5+l)2+(-l-7)2-10,1AChJ(5-l)2+(-l-2)2=5

。点分部的比为2.

.-1+2x117+2x211

,・3f=户=下1~=5

IAD1=J(5-1)2+(-l-^-)2若亚.

V333

(3)NA8C是位与前的夹角，而就=(6,8),BC=(2,-5).

BABC6x2+(-8)x(-5)522629

cosABC=

丽•屁I一后+(—8)2.百+(-5产・1。咽一145

歼灭难点训练

一、1.解析：AB=(1,2),DC=(1,2),/.AB=DCf：.AB//DC,又线段A5与

线段。C无公共点，.•.A8〃QC且L48=IDCI,...ABC。是平行四边形，又I方1=逐，AC=(5,

3),llci=734,：.\^B\^\AC},：.A8C£>不是菱形，更不是正方形；又就=(4,1),

二1•4+2•1=6六0,AB不垂直于BC,J.ABCD也不是矩形，故选D.

答案：D

2.解析：•.•丝=工•3•5sin。得sin，则。=30°或。=150°.

422

又；a•b<0,：.。=150°.

答案：C

二、3.(2,0)4.13(m

三、5.解：•.•丽与港共线，丽=加族=加(族一赢)=m(〃b-a),

AP=AB+BP=a+m(Pb—a)=(\—m)a+niub

又而与丽共线，.•.而=〃而=〃(标一元)=〃(4a-Z>),

；・AP=AC+CP=b+n(^a-b)=n4。+(1—n)b②

由①②，得(1—加)a+mb=/?«+(1—n)h.

・.・Q与〜不共线，.・.(即4③

["m=l-n[〃+/Mn-1=0

解方程组③得:〃?=1二=上吆■代入①式得c=(i—〃2+加〃》=」_[，a—〃w+

1-2//1-2//1一叩

4(1—4)A].

6.解：(1)以点A为坐标原点。，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以

经过原点且与平面ABB0I垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.

由已知，得A(0,0,0)18(0,a,0)^4|(0,0,A/2ti),C|(—~——a,—,>/2(/).

22

(2)取4S的中点M,于是有M(0,-,V2a),连AM,MC”有国=(一±“,0,0),

22

且而=(0,。,0)，词=(0,0五a)

由于用G•A8=0,Mg'441=0,所以MOL面AB8A，与AM所成的角就

是AG与侧面ABBXAX所成的角.

AC?=(--a,-,y/2a),AM=(0,-,y/2a),

222

-----*---->a29

:.AC,AM=0+—+2?/=-

144a

92

―■——4a6

・\cos<AG,AM>=--~~--=——

2

2

所以4cl与AM所成的角,即4cl与侧面A88A所成的角为30°.

7.解：⑴设P(x,y),由M(—l,0),N(l，0)得，PM=一MP=(~Lx,—y),PN=-NP

=(}-x-y),MN=-W=(2,0),.\MP•MN=2(l+x),PM•P/V=x2+y2-l,W-AT=2(1

一x).于是，丽•丽，丽丽，丽7•标是公差小于零的等差数列，等价于

22

x+y-1=1[2(1+x)+2(1-%)]x2+y=3

即《

x>0

2(1—%)—2(l+x)<0

所以，点尸的轨迹是以原点为圆心，6为半径的右半圆.

(2)点P的坐标为(沏,如)

122

PM-PN=x0+y^-l=2,\PM\-\PN\=7(l+x)+y0-J(1-才+升

=](4+2%)(4-2%)=26-x02

c~PM~PN1

COS6=....-=r=.-

IPMI/N@Y

0<Xo<6,：.；<COS。<l,0<<y,

2

sin6=yl1-cos0-1-----------tan^=领吆=x(；=1yQI

\4-x0cos，

,,..I,,,,,,.

8.证明：(1)连结BG,贝I]EG=EB+BG=EB+-{BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH

1►-----»

由共面向量定理的推论知：E、F、G、，四点共面，(其中一8O=E4)

------*------*-----*1-----*1,1------------1------

(2)因为EH=A4-AE=—A。一一AS=—(A£>-A8)=—8。.

2222

所以又EHu面EFGH,BDU面EFGH

所以BD〃平面EFGH.

(3)连。M,OA,OB,OC,OD,OE,OG

由(2)知EH=-8£>,同理FG=-B。，所以EH=FG,E”3FG,所以EG、FH交

22

于一点M且被仞平分，所以

OM^-(OE+OG)=-OE+-OG^-[-(OA+OB)]+-[-(dC+OD)]

2222222

^^(OA+OB+OC+OD).

难点5求解函数解析式

求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解

函数定义的基础上，掌握求函数解析式的儿种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和

解决实际问题的能力.

・难点磁场

(★★★★)已知42—cosx)=cos2x+cosx,求於-1).

・案例探究

［例1］⑴已知函数段)满足川og#=-^—(X-3(其中a>0,aWlK>0),求危)的表达

a-1x

式.

⑵已知二次函数/Ef+bx+c满足叭1)|=我-1)|=叭0)|=1,求危)的表达式.

命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能

力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.

知识依托：利用函数基础知识，特别是对“广的理解，用好等价转化，注意定义域.

错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.

技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.

解：(1)令t=log/(a>l,r>0;0<a<l,y0),贝ijx=a'.