高考数学 真题分类汇编 概率与统计（含解析）

概率与统计

1.(2012•辽宁高考卷•T5•5分)•排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起,

则不同的坐法种数为

(A)3X3!(B)3X(3!)3(C)(3!)4(D)9!

【答案】C

【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭

共有3!x3!x3!=(3炉种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。因此不同的坐法种数

为(3!):答案为C

【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。

2.(2012•辽宁高考卷•T10•5分)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领

边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为

1124

(A)-(B)-(0-(D)-

6335

【答案】C

【解析】设线段AC的长为xcm,则线段CB的长为(12-x)cm,那么矩形的面积为

x(12—x)cm',

由x(12—x)<32,解得x<4或x>8。又0<x<12,所以该矩形面积小于32cm?的概率为

士2，故选C

3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的

能力，属于中档题。

3.(2012•上海高考卷•T17•5分)设10<》2</<》44IO"，%=1°，，随机变

量。取值芭、X2、》3、匕、35的概率均为02，随机变量么取值

-、*4；/、石产的概率也均为0.2,若记。多分别为

八星的方差,则()

A.。刍>。幺B.D*=DJ

C.。。<呢D.与。与的大小关系与西、》2、七、的取值有关

【答案】A

【解析】由随机变量的取值情况，它们的平均数分别为：

玉=-(x,+x2+x3+x4+x5),

1(X)+x2*%2+%3+七++匕।无5+斗

刈2=再，

2222

且随机变量。看2的概率都为02,所以有.故选择A.

【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提

和基础，本题属于中档题.

4.（2012•湖北高考卷♦T8•5分）如图,在圆心角为直角的扇形048中,分别

以0/1,仍为直径作两个半圆.在扇形物8内随机取一点，则此点取自阴影

部分的概率是（）

兀兀

【答案】A

【解析】如下图所示.，设04的中点为。1,05的中点为。2,半圆已与半圆。2的交点分

别为0,F，则四边形。01f。2是正方形.不妨设扇形0A8的半径为2，记两块白色区域的

面积分别为S15S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4.

则OqA

S]+S2+S3+S4=S南形OAB=4"x2-=%，①

而S]+S3=-7TX1"—4,S,+S3=/%x1~=/7T,即S]+S?+2邑=），②

由①-②,得S3=&.

又由图象观察可知，$4=S扇形048-S扇形。2万一S扇形5"—S正方形00即2

=zrxl2--^-xl2--^-xl2-xl2=—^-xl2-I2=—^--1.

4422

故山几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率

0S+S2s4万一22

r=-:3------4=--------=-----=11----.

S扇形Q4BS而形0A871n

【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,

即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际

生活中的应用.

5.（2011年湖北）.如图，用K、4、4三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作

且4、A?至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、4、为正常工作的概率依

次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为

-------14）-------

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

B

6.（2011年湖北）.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，

则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为.（结果用最简分数表示）

28

145

7.（2011年湖北）.给〃个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当〃W4时，在所有不

同的着色方案中，黑色正方形耳不相邻的着色方案如下图所示：

■

由此推断，当〃=6时，黑色正方形耳不利邻的着色方案共有种，至少有两个

黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）

答案：21,43

8.（2011年湖南）.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下

的列联表：

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

“W-bcf算得,.110x(40x30-20X20)；7"

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)''60x50x60x50

0.0500.0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是

A.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

答案：C

9.（20H年江苏）.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一

个的两倍的概率为

答案」

3

10.（2011年安徽）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个

人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再

派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别

p”P2，P3,假设Pi，0"%互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个

人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(II)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为%,%,其中

5，%，%是Pl，P2，P3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数

字期望)EX；

(III)假定1>P|>P2>P3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员

数目的均值(数字期望)达到最小。

分析：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知

识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，

分类读者论论思想，应用意识与创新意识.

解：(I)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是

(1-0)(1-P2)(1-P3)，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,

并等于

1-(1-乃)。-〃2)(1-〃3)=P1+〃2+，3-〃招2-，2,3-P3Pl+PlP2P3,

(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为名,%,%时，随机变量X的分布

列为

X123

P(1-(1-

所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是

EX=%+2(1-0)%+3(1-%)(1-%)=3-2%-%+/%.

(III)(方法一)由(II)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,

EX=3-2/?1-p2+p,p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明：对于P1,P2，P3的任意排列?，。2，%，都有

3-2%-q2+%%23-20-/72+P1P2,.................(*)

事实上，A=(3-2^1-q2+qu2)一(3-2pI-P2+P1P2)

=2(P|一%)+(「2一42)一。W2+夕闯2

=2(P|-0)+(。2-/)。2-%(。2-％)

=(2-P2)(P|-5)+(1-%)((。2-%)

2(1-%)[(PI+%)-(/+。2)]

>0.

即(*)成立.

（方法二）（i）可将（II）中所求的所改写为3—（名+/）+%。2一%，若交换前两

人的派出顺序，则变为3-（%+%）+%%-%，•由此可见，当%〉名时，交换前两人的

派出顺序可减小均值.

（ii）也可将（II）中所求的ET改写为3-20-%+%%，或交换后两人的派出顺

序，则变为3-2%—的+%%.由此可见，若保持第一个派，出的人选不变，当%>/时，

交换后两人的派出顺序也可减小均值.

综合（i）（ii）可知，当（%,%,%）=（P］，P2，P3）时，用达到最小.即完成任务概

率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

11.（2011年北京）

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无

法确认，在图中以X表示。

甲组乙组

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（II）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树

Y的分布列和数学期望。

（注：方差/=池-胡+”）2+...+&-X）］,其中X为玉，x2,...xn

的平均数）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,

所以平均数为

-8+8+9+1035

x=------------二一；

44

方差为

21r/o35、，35、2/c35235、2111

S=:［（8—二）一+（8-二）-+（9—二）-+Z（11A0-丁）-］=；7.

4444416

（II）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组

同学的植树棵数是：9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，

共有4X4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,

18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选

21

出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=—=

168

同理可得p（y=18）=j；p（y=19）=-；p（y=20）=-；p（y=21）=-.

4448

所以随机变量Y的分布列为:

Y1718192021

]_]_

P

84448

EY=17XP(Y=17)+18XP(Y=18)+19XP(Y=19)+20XP(Y=20)+21XP(Y=21)

=17X-+18X-+19X-+20X-+21X-

84448

=19

12.(2011年福建).

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,……,8,其中X25

为标准A,X2为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；

乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合

相应的执行标准

(I)已知甲厂产品的等级系数先的概率分布列如下所示：

5678

王

P0.4ab0.1

且Xi的数字期望EXi=6,求a,b的值;

(H)为分析乙厂产品的等级系数先，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级

系数组成一个样本，数据如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数儿的数学期

望.

(III)在(I)、(II)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更

具可购买性？说明理山.

产品的等级系数的数学期望

注:(1)产品的"性价比”

产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性.

分析：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用

意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想。

解：(I)因为EX1=6,所以5x0.4+6a+7/?+8x0.1=6,即6a+7b=3.2.

又由Xi的概率分布列得0.4+a+6+0.1=1,即a+b=0.5.

6a+~lb=3.2,a-0.3,

解得

a+b=0.5.b=0.2.

(ID山已知得，样本的频率分布表如下:

345678

X]

0.30.20.20.10.10.1

f

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数x2的概率分布

列如下:

345678

X?

p0.30.20.20.10.10.1

所以

EX2=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+1P(X2=7)+8F(X2=8)

=3x0.3+4x0.2+5x0.2+6x0.1+7x0.1+8x0.1

=4.8.

即乙厂产品的.等级系数的数学期望等于4.8.

（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6,价格为6元/件，所以其性价比为2=1.

6

因为乙厂产吕的等级一系数的期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为”48=1.2.

4

据此，乙厂的产品更具可购买性。

13.（2011年广东）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽

出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的

5件产品的测量数据：

编号12345

X169178166175180

y7580777081

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y满足x》175,且y275时，该产品为优等品。用上述样本

数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数J的

分布列极其均值（即数学期望）。

98

解：（1）—=7,5x7=35,即乙厂生产的产品数量为35件。

14

（2）易见只有编号为2,5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品士2，

5

2

故乙厂生产有大约35x—=14（件）优等品，

5

（3）&的取值为0,1,2o

P(*0)=,=/,%=1)=^^4尸("2)=务=(

所以4的分布列为

012

P361

101010

3314

故J的均值为EJ=0X3+1X±+2X-!-+=?.

14105105

(2012•安徽高考卷•T17•12分)某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若

调用A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道8类型试题入库，

此次调题工作结束；若调用

的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有〃+，"道

试题，其中有〃道A类型试题和机道8类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试

题库中4类试题的数量.

(I)求X=〃+2的概率；

(H)设机=〃，求X的分布列和均值(数学期望).

【解题指导】本题考查基本事件概率，条件概率，离散型随机变量及其分布列均值等基础知

识，考查分类讨论思想和应用创新意识.

【解析】(I)X=〃+2表示两次调题均为A类型试题，概率为

n*«+1_«(«+1)

m+nm+n+2(/n+??)(m+n+2)

(H)用=〃时，每次调用的是A类型试题的概率为7?=1,随机变量X可取〃，〃++2.

P(X=n)=(\-p)2=-,P(X=〃+l)=2p(l-p)=』，P(X=n+2)=p2=~.

424

Xn〃+1〃+2

]_]_]_

P

424

EX.=nx—+(〃+1)x—++2)x—=n+1.

Hn4-1

答：(I)X=〃+2的概率为‘一X—^―；

m+nm+n+2

(IDX的均值为〃+l.

【易错警示】本题在求解时，注意第一次取出不同试■题之后，放回的试题不一样，这样在

第二次取试题的时候，背景就改变了，究竟第二次取试题是在什么样的背景下，要紧密关联

第一次取试题的结果，如果割裂开两次取试题之间的关系，就会出现错误.

15.（2012•湖南高考卷•T17•12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的

100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数(人)X3025y10

结算时间(分钟/人)11.522.53

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

(I)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(II)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)

【解析】(I)由已知得25+y+10=55,x+y=35,；.x=15,y=20,该超市所有顾客一

次购物的结算时间组成个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为••个容量

为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值

为：

1x15+1.5x30+2x25+2.5x20+3x10,，八“、

---------------------------------------------------------=1.9(分钟).

100

(n)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A，4,A3分别表示事

件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为L5分钟”，

“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

…、153303…、251

P(A)=-----=—,P(A,)=------=—,P(4)=-------=­•

11002021001031004

••・A=4UU且4，4，是互斥事件，

3317

P(A)=P(AlUA2UA})=P(Al)+P(A2)+P(A3)=—+-+-=-.

7

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为一.

10

【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计

表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%,知

25+y+10=100x55%,x+y=35,从而解得,再用样本估计总体，得出顾客一次购

物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得

一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.

16某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六

月份是我降雨量X(单位：毫米)有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10,Y增加

5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,

160,200,140,110,160,220,140,160.

(I)完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量70110140160“200220

频率142

202020

（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为

概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万

千瓦时）的概率.

解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200

毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量70110140160200220

134732

频率

202020202020

（II）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）

=P（Y<490或丫>530）=P（X<130或X>210）

=P（X=70）+尸（X=110）+P（X=220）

1323

-202020-10,

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的

概率为士3.

10

17（2011年湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量（件）0123

频数1595

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件,

当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将

频率视为概率。

（I）求当天商品不进货的概率；

（H）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。

解（I）P（“当天商品不进货”）=尸（“当天商品销售量为0件”）+尸（“当天商品

153

销售量为1件”）202010

（H）由题意知，X的可能取值为2,3.

a」

P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）204,

P（X=3）=P（"当天商品销售量为0件"）+P（“当天商品销售量为2件"）+P

1953

=--1---1--=-・

（“当天商品销售量为3件”）2020204

故X的分布列为

X23

13

p——

44

EX=2x-+3x-=—.

X的数学期望为444

18.（2011年安徽）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个

人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完

成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成

任务的概率分别四’小，"3,假设P”小，P3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件

相互独立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人

被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（H）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为％'%'%,其中%，%，%

是P”P2，P3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX.

（III）假定1>Pl>P2>P3,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数

目的均值（数字期望）达到最小。

解：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，

考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者

论论思想，应用意识与创新意识.

解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是

（1-A）（1-02）（1-，3）,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，

并等于

1一（1-，]）（1一，2）（1一，3）=Pl+P2+，3-Pl〃2—P2P3-P3“l+P/2,3・

（ID当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为%时，随机变量x的分布

列为

X123

P%(1-%)%

所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

EX=%+2（1—（7]）q2+3（1—<7,）（1—^,）=3-2%—%

（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,

EX=3-2p{-p2+p1p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明:对于P”“2，P3的任意排列4国2，%,都有

3—2%—42+4闯2»3—2〃|一〃2+〃］，2,................（*）

事实上，△=（3一2%+%%）-（3_2〃］_.2+P1P2）

=2（0-％）+（。2+4闯2

=2（Pi-%）+3-42）一（P1一夕1）。2-413一42）

=（2-P2）（PI-5）+（1-5）（（。2-％）

2（1-%）［（P1+。2）-@+%）］

>0.

即（*）成立.

（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为3-（/+%）+4U2-/，若交换前两人的

派出顺序，则变为3一（孙+42）+5%—%，.由此可见，当“2>41时，交换前两人的

派出顺序可减小均值.

（ii）也可将（II）中所求的EX改写为3-或交换后两人的派出顺序，

则变为3—2%一私+4%.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当的>%时,

交换后两人的派出顺序也可减小均值.

序综合（i）（ii）可知，当（/，劭，。3）=（。1，%，外）忖，EX达到最小.即完成任务

概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

19.（2011年北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一

个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

甲组乙组

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（H）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树

Y的分布列和数学期望。

§2=!「（当一可2+（4一号,+…+（x“一I/1-

（注：方差"I、7V'/」，其中X为玉，々，……X"

的平均数）

解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,

所以平均数为

-8+8+9+1035

X=--------=—；

44

方差为

/f8-乡2+仁苧+。弓＞+（io—%=*

4444416

（II）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组同学的植树

棵数是：9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4X4=16种可

能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”

等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可

2__j_

能的结果，因此P(Y=17)=168

P(Y=18)=1;P(Y=19)=J;P(Y=20)==21)=

同理可得4448

所以随机变量Y的分布列为：

Y1718192021

11111

P

84448

EY=17XP(Y=17)+18XP(Y=18)+19XP(Y=19)+20XP(Y=20)+21XP(Y=21)

11111

=17X8+18X4+19X4+20X4+2ix8

=19

20.（2011年福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,……，8,

其中X25为标准A,X2为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/

件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合

相应的执行标准

（1）已知甲厂产品的等级系数XI的概率分布列如下所示:

5678

玉

P0.4ab0.1

且XI的数字期望EX1=6,求a,b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系

数组成一个样本，数据如下:

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更

具可购买性？说明理由.

产品的等级系数的数学期望

注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价；

（2）“性价比”大的产品更具可购买性.

解：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,

考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。

初用心EX1=6,所以5x0.4+6a+7b+8x0.1=6,即6a+7b=3.2.

J0T：<1）内刃

又由XI的概率分布列得04+a+b+0.1=1,即a+〃=05

6a+7b=3.2,AR,a[a=0.3,

〈解得〈

山[a+b-0.5.[b=0.2.

（ID由已知得，样本的频率分布表如下：

345678

X]

0.30.20.20.10.10.1

f

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如

345678

X?

P0.30.20.20.10.10.1

所以

EX2=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+8P(X2=8)

=3x0.3+4x0.2+5x0.2+6x0.1+7x0.1+8x0.1

=4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.

（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

6

因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6,价格为6元/件，所以其性价比为7

因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为4

据此，乙厂的产品更具可购买性。

21.（2011年广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产

的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下

表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号12345

X169178166175180

y7580777081

(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

(2)当产品中的微量元素x,y满足x2175,且y275时，该产品为优等品。用上述样本数

据估计乙厂生产的优等品的数量；

(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数4的分

布列极其均值（即数学期望）。

—=7,5x7=35

解:（1）14,即乙厂生产的产品数量为35件。

2

（2）易见只有编号为2,5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品

35x2=14

故乙厂生产有大约5(件)优等品,

（3）4的取值为0,1,2o

，2

.C3

相二°）=#方%=1）

所以4的分布列为

012

P.361

1010To

J的均值为EJ=0X2+1X3+2X1+=4

故105105

22.（20H年辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品

种家和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小

块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.

（I）假设n=4,在第•大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学

期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上