方程知识点总结

方程知识点总结目录方程基本概念一元一次方程一元二次方程分式方程方程组求解方程应用拓展方程基本概念01方程定义含有未知数的等式称为方程。方程分类根据未知数的个数和次数，方程可分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等。方程定义与分类方程中用字母表示的待求解的数。未知数满足方程的未知数的集合，也称为方程的解。解集未知数与解集等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立。在解方程时，需要遵循等式的性质，对方程进行变形和化简，最终求出未知数的值。常用的运算规则包括加法、减法、乘法、除法等。等式性质与运算规则运算规则等式性质一元一次方程02一元一次方程的一般形式$ax+b=0$，其中$aneq0$。解一元一次方程的基本步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。一元一次方程形式与解法实际问题中，常常需要将问题转化为数学模型，即建立一元一次方程。建立方程的关键是找出等量关系，设未知数，列方程。解方程后，需要进行检验，确保解符合实际问题的要求。实际问题建模与求解例题1某数的5倍比它的3倍多10，求这个数。分析设这个数为$x$，根据题意列方程$5x-3x=10$，解得$x=5$。例题2甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米；一列快车从乙地出发，每小时行90千米。两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车可以追上慢车？分析设$x$小时后快车可以追上慢车，根据题意列方程$90x-60x=240$，解得$x=8$。01020304典型例题分析一元二次方程03$ax^2+bx+c=0$，其中$aneq0$。一元二次方程的一般形式通过配方将方程转化为完全平方形式，然后求解。配方法利用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$直接求解。公式法将方程左边因式分解，然后求解。因式分解法一元二次方程形式与解法010204判别式与根的关系判别式$Delta=b^2-4ac$，用于判断方程的根的情况。当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根。当$Delta=0$时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）。当$Delta<0$时，方程无实数根，但有两个共轭复数根。03审题明确问题中的已知量和未知量，理解问题的实际意义。设元根据问题中的数量关系，设出未知数，并用字母表示。列方程根据问题中的等量关系，列出含有未知数的等式，即一元二次方程。解方程利用一元二次方程的解法，求出未知数的值。检验将求得的未知数的值代入原方程进行检验，看是否符合问题的实际意义。作答写出答案，并注明单位（如果有）。实际问题建模与求解例题一某商品原价为100元，经过两次降价后的价格为81元，求平均每次降价的百分率。分析设平均每次降价的百分率为$x$，则经过两次降价后的价格可以表示为$100(1-x)^2$。根据题意，这个表达式等于81，因此可以列出一元二次方程$100(1-x)^2=81$。解这个方程可以得到$x$的值，从而求出平均每次降价的百分率。例题二某果园今年栽种果树200棵，计划今后每年栽种的果树都比上一年增加相同的百分率，这样经过4年（包括今年）的总栽种果树数为1324棵。求这个百分率。分析设每年增加的百分率为$x$，则第一年栽种$200$棵，第二年栽种$200(1+x)$棵，第三年栽种$200(1+x)^2$棵，第四年栽种$200(1+x)^3$棵。根据题意，这四年的总栽种果树数为$1324$棵，因此可以列出一元二次方程$200+200(1+x)+200(1+x)^2+200(1+x)^3=1324$。解这个方程可以得到$x$的值，从而求出每年增加的百分率。典型例题分析分式方程04

分式方程形式与解法分式方程的一般形式$frac{a}{x}+frac{b}{x+c}=frac{d}{x+e}$，其中$a,b,c,d,e$为常数，$x$为未知数。解法步骤去分母，将分式方程转化为整式方程；解整式方程；验根，将解代入原方程检验是否满足原方程。注意事项在解分式方程时，需要确保分母不为零，否则方程无解。在解分式方程时，可能会得到一些不满足原方程的解，这些解称为增根。增根的出现通常是由于去分母时忽略了某些限制条件。增根当分式方程中的某些项无法消去时，或者经过计算发现整式方程无解时，原分式方程也无解。无解情况在求解分式方程后，需要进行验根操作，排除增根和无解的情况。处理方法增根与无解情况处理03求解方法将实际问题转化为数学问题，利用分式方程的解法进行求解。01实际问题中的分式方程在解决实际问题时，经常会遇到分式方程。例如，工程问题、行程问题、经济问题等。02建模方法根据问题的实际情况，设立未知数，建立分式方程模型。实际问题建模与求解例题1：某工程需在规定时间内完成，若甲队单独做，则刚好在规定时间内完成；若乙队单独做，则要超过规定时间3天。现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程再由乙队单独做，恰好在规定时间内完成。求规定的时间是多少天？分析：设规定的时间为$x$天，则甲队单独完成需要$x$天，乙队单独完成需要$x+3$天。根据题意列出分式方程并求解即可。例题2：某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销此种商品的利润率是多少？分析：设原进货价为$a$元，原利润率为$x\%$，则原售价为$a(1+x\%)$元。根据题意列出分式方程并求解即可。典型例题分析方程组求解05通过加减消元或代入消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程进行求解。消元法矩阵法图像法利用矩阵的运算性质，将二元一次方程组表示为矩阵形式，通过矩阵的初等变换求解。在平面直角坐标系中，分别画出两个方程的图像，联立求解交点坐标。030201二元一次方程组求解方法通过加减消元或代入消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程进行求解。消元法利用矩阵的运算性质，将三元一次方程组表示为矩阵形式，通过矩阵的初等变换求解。矩阵法将三元一次方程组表示为向量形式，通过向量的线性组合求解。向量法三元一次方程组求解方法换元法通过引入新的变量，将高次方程转化为低次方程进行求解。因式分解法将高次方程因式分解为低次方程，分别求解低次方程的解，再组合得到高次方程的解。判别式法利用高次方程的判别式性质，判断方程的解的情况，进而求解。高次方程组降次处理技巧123二元一次方程组的应用题，如“鸡兔同笼”问题。通过分析问题中的数量关系，建立二元一次方程组进行求解。例题1三元一次方程组的求解问题。通过消元法或矩阵法将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程进行求解。例题2高次方程的求解问题。通过因式分解法、换元法或判别式法将高次方程降次处理，进而求解。例题3典型例题分析方程应用拓展06不等式与方程都是描述数学关系的重要工具，它们之间有着密切的联系。通过解不等式，我们可以找到满足条件的未知数的取值范围；而通过解方程，我们可以找到未知数的确切值。不等式与方程的联系在解决某些方程问题时，我们可以利用不等式来确定未知数的取值范围，从而简化问题或找到问题的解决方案。例如，在解决一元二次方程时，我们可以利用判别式的不等式来判断方程的根的情况。不等式在方程中的应用不等式（组）与方程关系及应用函数和方程都是描述数学关系的重要工具。函数是一种特殊的对应关系，它描述了自变量和因变量之间的关系；而方程则是一种等式关系，它描述了未知数之间的关系。在某些情况下，函数和方程可以相互转化。函数与方程的联系在解决某些方程问题时，我们可以利用函数的性质来找到问题的解决方案。例如，在解决一元二次方程时，我们可以将其转化为一个二次函数，并利用二次函数的性质来求解。函数在方程中的应用函数与方程关系及应用数列与方程的联系数列是一种特殊的数学对象，它由一系列按照一定规则排列的数组成。在数列中，我们可以利用方程的思想来解决某些问题。例如，在求解等差数列或等比数列的通项公式时，我们可以将其转化为一个一元一次方程或一元二次方程来求解。方程在数列中的应用在解决某些数列问题时，我们可以利用方程的思想来找到问题的解决方案。例如，在求解数列的递推公式时，我们可以将其转化为一个差分方程或微分方程来求解。数列中的方程思想及应用典型例题分析某工厂生产A、B两种配套产品，其中每天生产x吨A产品，