秘籍03 导数及其应用-2021年高考数学抢分秘籍（新高考地区专用） (解析版)

秘籍03导数及其应用

1.曲线f(x)=上也竺在点P(l,/(1))处的切线I的方程为

X

A.x+y—2=0B.2%+y—3=0

C.3x+y+2=0D.3x+y—4=0

【答案】D

__.x_(l_21nx)__3+21nx

【解析】/(x)=-------

则/，(1)=一3,又=故切线/的方程为：y-l=-3(x—l),即3x+y-4=0.

故选D.

保分秘籍

求曲线y=_/U)的切线方程的类型及方法

(1)已知切点P(xo,")，求y=/(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率/(xo),由点斜式写出方程；

(2)已知切线的斜率为k,求y=/(x)的切线方程：设切点P(xo,yo)，通过方程％=:(必)解得xo，再由点

斜式写出方程；

(3)已知切线上一点(非切点)，求y=/(x)的切线方程：设切点P(xo,yo)，利用导数求得切线斜率/(xo),

再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得xo,最后由点斜式或两点式写出方程.

(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，

再由k=/'(xo)求出切点坐标(xo,yo)，最后写出切线方程.

(5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P,P不

一定是切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上.

2.若函数倍在(1,+8)上单调递减，则称f(x)为P函数.下列函数中为P函数的序号为

①/'(X)=1②f(X)=X③f(X)=;@f(x)=V%

A.①②④B.①③

C.①③④D.②③

【答案】B

【解析】①，若f(x)=1,则假=高在(1,+8)上单调递减，满足题意，即①为P函数，排除D；

②，若/Xx)=x,则震=急，构造函数g(©=丘,求导可得g(x)在(l,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增,

即②非P函数，排除A；

③，若f(幻=；则僵=焉在(L+8)上单调递减,即③为P函数；

④，若f(x)=五，则号=高，构造函数g(x)=高，求导可得g(x)在(l,e2)上单调递减，在92,+8)上单调

递增,即④非P函数，排除C.

故选B.

函数的单调性与导数的关系

一般地，在某个区间(。力)内：

①如果/'(x)〉0,函数〃x)在这个区间内单调递增；

②如果/'(x)<0,函数/(x)在这个区间内单调递减；

③如果/'(x)=0,函数/(x)在这个区间内是常数函数.

3.若/(外=一5/+㈤2在(1,+8)上是减函数，则加的取值范围是

A.[l,+oo)B.(l,+oo)

C.(-oo,l]D.(-oo,l)

【答案】C

2X+m

【解析】f(x)=-^-x+m\wc,f'(x)=-x+—^~,

2xx

因为/(x)在(1,+00)上单调递减，所以一V+机<0在xe(l,+8)上恒成立，即加<》2,

因为％2>1，所以“241,相的取值范围是(一8,1].

故选C.

由函数/(X)的单调性求参数的取值范围的方法

(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上广。巨0(或尸(x)V0)(T(x)在该区间的任意子区

间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是r(x)>0(或/(x)<0)在该区间上存在解集，这样就

把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

(3)若已知f(x)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出了(X)的单调区间，令/是其单调

区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

m

4.设函数/O)=lar+—，mGR.

x

(1)当帆=e(e为自然对数的底数)时，求/(%)的极小值；

(2)若/(划在(0,+8)上为单调增函数，求机的取值范围.

ex—e

【解析】(1)当m=e时，/(x)=lax+-,则/'(»=——(x>0),

XX

当X£(o,e),r(x)<0,/(©在(0,e)上单调递减；

当“£(e,+8),fr(x)>0,/(尢)在(e,+oo)上单调递增，

故当x=e时，/(x)取得极小值,/(e)=lne+-=2,

e

・・・/(X)的极小值为2.

(2)因为/⑴在(0,+8)上为单调增函数，所以r(x)=0在(0,+oo)上恒成立，

X

印机WX对于(0,+8)恒成立，贝!J〃2<0,

故相的取值范围是(-8,0].

函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)求函数/⑴极值的方法

①确定函数f(x)的定义域.

②求导函数f(x).

③求方程尸(x)=0的根.

④检查尸㈤在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得

极大值，如果左负右正，那么，(x)在这个根处取得极小值，如果尸(x)在这个根的左右两侧符号不

变，则/(x)在这个根处没有极值.

(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f(x),求方程/(无)=0的根的情况，得关

于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的值或取值范围.

5.对于任意玉，XjG[1,+OO),当马>玉时，恒有Hn迨<2(/-玉)成立，则实数a的取值范围是

%

A.(—8,0]B.(―℃>,1]

C.(—00,2]D.(—oo,3]

【答案】c

【解析】对于任意X]，x,G[1,+OO),当马>不时，恒有aln上<2(乙一%)成立，

%

即«lnx2—2X2<alruj—2%成立，

令f(x)=alnx-2x,则)</'(%),

•••/(x)在工+oo)上单调递减，则f\x)=--2<0在工+oo)上恒成立，

X

...a<2x在口,+8)上恒成立，

:当xNl时，2x22,

二实数a的取值范围为(一心2].

故选C.

利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，

根据要求得所求范围.一般地，/（x）Na恒成立，只需/（X）疝n2。即可；/（幻《。恒成立，只需

/（x）maxWa即可.

（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值）,

然后构建不等式求解.

6.曲线y=直线丁=%-2及），轴所围成的封闭图形的面积为.

【答案】—

3

\r

【解答】由，‘一=解得x=4,y=2,

y-x-2

故所求的面积为Jo（«-x+2）dr=+

7.如图，在长方形0ABe内随机撒一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率为.

【答案】——

3

【解析】阴影部分的面积S=j：e*dx=e'|[=e-1,长方形045。的面积S=1x3=3,

e—1

则点P落在阴影部分内的概率P=——.

利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略

（1）利用定积分求平面图形面积的步骤

①根据题意画出图形；

②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

④计算定积分，写出答案.

(2)知图形的面积求参数

求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数,

由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值.

(3)与概率相交汇问题

解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.

抢高分

1.设定义在(0,+8)上的函数/(x)的导函数/'(X)满足>1,则

A./(2)-/(I)>ln2B.f(2)-/(1)<ln2

C./-(2)-/(1)>1D./(2)-/(1)<1

【答案】A

【解析】令函数g(x)=f(x)--

Vxf'Cx)>l,x>O,；.g'(x)-x'>0,

函数g(x)在(0,+8)上是增函数，5(2)>g(l),

即/⑵-ln2>/(I)-Ini,A/(2)-/(I)>ln2.

利用导数研究函数综合问题的一般步骤

(1)确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点.

(2)进行合理转化，构造函数关系，进行求导.

(3)利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论.

(4)利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论.

(5)反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性.

2.已知函数/(x)=——ax,曲线y=/(x)在尤=1处的切线经过点(2,—1).

x

(1)求实数。的值；

(2)设〃>1,求/(x)在区间J,加上的最大值和最小值.

h

1nx

【解析】⑴/(X)的导函数为尸(X)J_["2,

则:⑴=l^Z£=l-a,

/(l)-(-l)-a+\

依题意，有八/、即^——-=\-a,解得a=l.

1-21-2

(2)由(1)得f'(x^~,

当0<尤<1时，I-/〉。，-inx>0,

.•..f(x)>0,故/(x)在(0,1)上单调递增；

当x>l时，1一％2<0,-lax<o,

.­./(x)<0,故/(x)在(l,+o。)上单调递减,

.•./(£)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减,

V0<|<1<&,.-./(x)的最大值为/(1)=-1.

设/e\nb-b+^,其中匕〉1,

则"(6)=(1—如昉>0,

故〃(»在区间(L+w)上单调递增，

当0-1时，〃伍).0，//9)>0,则/优)>/1)，

故/(x)的最小值为O=-bln。-；

求函数/(x)在团,用上最值的方法

(1)若函数/(x)在3向上单调递增或递减，/(a)与/(b)一个为最大值，一个为最小值.

(2)若函数,(X)在[a⑸内有极值，先求出函数f(x)在团⑶上的极值，与『伍)、/3)比较，其中最大的一

个是最大值，最小的一个是最小值.

(3)函数"X)在伍⑼上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点.

注意：(1)若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.

(2)极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值

也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

3.定义在R上的函数/'(X)满足/⑴=1,且2f'(x)<1,当x6[0,2司时,不等式f(2cosx)<2cos2|-1的解集

为

A.(-沅)B.(一徐)

C.[0*)U(*,2司D.[0,=)U(^,2n]

【答案】D

【解析】由题意得/'(2cosx)<2cos21-|=cosx+1,

令t=2cosx,则/'(t)<1+

构造函数g(t)=/(t)->纲g(l)=/(1)-|-i=o,g'(t)=f(t)-1,

因为2/'(x)<1,所以g'(t)=/'(t)—：<0,即函数g(t)单减,

不等式转化为g(t)=/(t)<o=g(l),所以t=2cosx>1,得cosx>

而xe[0,2伺，求得xe[0,^)U(y,2w].

即不等式f(2cosx)<2cos2；-抽解集为[0,$u(y,2n].

选D.

4.己知函数/(x)=e'—⑪一l(aeR).

(1)当。>0时，求函数/(x)的单调区间；

(2)若/(x)20对任意x20恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)由/(x)=e*—5—1，得/'(x)=e*—a.

由f'(x)>0,得x>Ina；由fix')<0,得x<Ina,

所以函数/(x)的单调增区间为(Ina,y),单调减区间为(ro』na).

(2)Ell/(x)=ev-ax-1,得r(x)=e“—a.

当a41时，对VxNO,有/'(x)>(),

所以函数/(x)在区间(O,+x>)上单调递增，

又〃0)=0,即〃力>/(0)=0对Vx20恒成立.

当a>l时，由(1)知“X)的单调递增区间为(Ina,+8),单调递减区间为(—o,Ina),

若/(x)NO对任意x20恒成立，只需/(x).=/(lna)=a-alna-120,

令g(a)=a—alna—l(a>1),g'(a)=l-lna—l=_lna<0,

即g(a)在区间(1,+8)上单调递减，

又g(l)=0,故g(a)<0在(I,一)上恒成立，

故当a>1时:满足a-alna-lNO的a不存在.

综上所述，。的取值范围是

5.已知函数/'(久)=ax-be"且函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为a—1.

(1)求b的值，并求函数/(x)的最值；

(2)当aE［1,1+e］时，求证:f(%)<x.

【解析】(1)由题得，一加工

根据题意，得尸(0)=。一。=。一1,・・・力=1,

，/'(%)=a—ex.

当a40时，f(x)<0,f(x)在R上单调递减,/(%)没有最值；

当Q>0时，令［(x)vO,得不>Ina,令((%)>0,得％VIna,

/(%)在(一8,Ina)上单调递增，在(Ina,+8)上单调递减，

・•・/(%)在％=Ina处取得唯一的极大值，即为最大值，且/(%)max=/(Ina)=alna-a.

综上所述，当a40时，/(%)没有最值；

当a>0时,f(%)的最大值为alna—a,无最小值.

x

(2)要证/(%)<%,即证(Q—l)x<ef

令5(x)=ex—(a—l)x,

x

当Q=1时，F(x)=e>0,，(a—l)x<e”成立；

xxInax

当1<Q41+e时，FfM=e-(a-1)=e-e<-^

当％<ln(a-l)时，Fz(x)<0；

当%时，Fz(x)>0,

.•・/7(%)在(一8』口(。-1))上单调递减，在(ln(a-1),+8)上单调递增，

/.F(x)>F(ln(a-1))=e,n(a-1)—(a—l)ln(a—1)=(a-1)[1—ln(a—1)].

V1<a<14-e,

.*.a-1>0,1—ln(a-1)>1—ln[(l+e)—1]=0,

/.F(x)>0,即(a-l)xWe、成立，

故原不等式成立.

用导数证明不等式的方法

(1)利用单调性：若/(x)在[a向上是增函数，则①VxG[a,b],则〃a)W/(x)Wf(b),②对Vxi，*2可。力],

且X1<X2,则/(X1)</(X2).对于减函数有类似结论.

⑵利用最值：若/(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对VxCD,则f(x))M(或f(x)之m).

(3)证明f(x)<g(x),可构造函数F(x)=/(x)-g(x),证明F(x)<0.

6.如图，在直角坐标系中，过坐标原点。作曲线旷=/的切线，切点为P,过点P分别作轴的

垂线，垂足分别为48,向矩形OAP8中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为

e—2e—1

A.-----B.----

2e2e

e—2c—1

c.D.

ee

【答案】A

【解析】设切点P（x0,e%）,y=e\所以切线方程为y-e%=e%（x—毛），

又因为过原点，所以0-e~=e'1b（0—玉）），解得与=1,所以P（l,e）,

因为y=e'与x轴在[0,1]围成的面积是J；e'dx=e-l,

则阴影部分的面积为e-l—£=£-l,

22

而矩形0AP8的面积为e,

£,1_

故向矩形。4PB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为2—=竺2.

e2e

故选A.

几何概型的概率计算公式中的''几何度量''可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与大

小有关，与形状和位置无关.解题的步骤为冼求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量"N（A）,再求出总的

基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P（A）=MA）;N求解.

IT

L【2020•湖北省高三其他（理）】已知函数f（x）=a'+2sinqx）-xlna（a>0,awl）,对任意再，G[0,1],

6

不等式I/®）-"玉）|,,“-2恒成立，则实数。的取值范围是

A.[e2,+8)B.[e,-HO)

C.(e,e2]D.(e,e2)

【答案】A

【解析】结合题意，显然a.2,

JT7T

f\x)—lna(a*—1)+—cos(—x),

36

7TJT

由xe[O,1],a..2,得lna>0,ax-1..0,-cos(—x)>0,

36

故/'(x)>0,f(x)在[0,1]递增，

故/⑴由=/(1)=a+\-lna,=/(0)=1,

对任意再,x2e[0,1],不等式I/®)—/a)|,,a-2恒成立，

即F(x\T(x)加，，“一2,

:.a+\-lna-\,,a-2,即Ina.2,解得：a..e2,

故选：A.

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性

问题，属于中档题.

2.12020・四川省南充高级中学高三月考(理)】已知尸是曲线G：y=e”上任意一点，点。是曲线G：

>=?上任意一点，则|PQ|的最小值是

,In2,In2

A.1-----B.1+——

22

C.2D.y/2

【答案】D

【解析】曲线G：y=e",求导得y'=e",易知£在点4(0』)处切线方程为y=x+l.

下面证明e*2x+l恒成立.

构造函数〃x)=eX-x-l,求导得r(x)=e'-l,则xe(3,0)时，/彳x)<0,/(x)单调递减；

xe(0,+。。)时，/<x)>0,/(x)单调递增.

故函数“X)之"0)=0,即e*Wx+l恒成立.

又G：>=—，求导得''=1詈，当x=l时，y'=i，且G过点8(1,0),故。2在点。，0)处的

切线方程为y=x-l.

Iny

下面证明无一IN—在(0,+?)上恒成立.

X

人口/\21m.iL”\△112元2—%—](2x+l)(x—1)

令JF(X)=X-x-lnx,则/'(九)=2%一1——=----------------------L,

xxx

当Ovxvl时，F(x)<0,/(%)单调递减；当x>l时，F(x)>0,*x)单调递增，

所以尸(人,=*1)=°，即尸(力"(1)=0，

InX

则f—x-mxzo,即x_i»丁一在(0,+?)上恒成立.

2

因为恒回=炉工=应，且平行线y=x+i与y=x-l之间的距离为双=夜，所以|P。的最小值

为VL

故选：D.

【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的

计算求解能力与推理论证能力，属于难题.

3.【2020・河南省高三月考(理)】设函数/'(X)是函数/(x)(xwR)的导函数，当X70时，

/'⑴+乜®<0,则函数g(x)=/(%)--的零点个数为

X元

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】设产(力=只/X。-1,则尸'(1=%7'(司+3//(力=%3/，(%)+

当XHO时，,『(x)+"iD<o,

当x〉0时，d>0,故尸(x)<0,所以，函数y=b(x)在(0,+8)上单调递减;

当x<0时，％3<(),故尸(力>0,所以，函数)=尸(x)在(.0)上单调递增.

所以口(力烟uEeb-ic。，所以，函数^=尸(%)没有零点,

故g(x)=/(x)4="：)也没有零点.

故选：D.

【点睛】本题考查函数零点个数的判断，解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分

析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中

等题.

4.12019・河北省高三月考(理)】若函数〃x)=；x2—2x+alnx有两个不同的极值点，则实数。的取值

范围是

A.a>1B.-1<6Z<0

C.a<1D.0<a<1

【答案】D

【解析】/(x)的定义域是(0,+8),

、-ax-2x+a

f(x)=x-2+—=-----------------

XX

若函数/(x)有两个不同的极值点，

则g(x)=f—2x+a在(0,+8)由2个不同的实数根，

A=4-4a>Q

故《2-V4-4«，解得：

<1,

X.=---------------->0

r2

故选D.

【点睛】本题考查了函数的极值问题,考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题.

5.【黑龙江省2020届高三理科5月数学模拟试卷】已知定义域为R的函数/(x)满足

=1UH©〉。，其中f(x)为/(x)的导函数，则不等式/(sinx)-cos2xN0的解集为

A.------1~2&兀，—卜，AwZB.—+2火兀，—F2&兀9ZcwZ

L33J66_

Kc2兀_.K_,5K_,R

C.—1~2左f兀,---F2ZCTI，左wZD.-----F24F兀，ksZ

一33_[66」

【答案】D

【解析】设g(x)=f(x)+2x2-1,：.g'(x)=f(x)+4x>0在R上恒成立，

:.g(x).在R上单调递增，不等式/(sinx)-cos2x=f(sinx)+2sin2x-1,且g(g)=0,

不等式/(sinx)-cos2x>0,，g(sinx)>g(y),sinx>,

7X5TT一

—F2kx<x------F2%兀，kez.故选：D.

66

6.【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试(三诊)数学(理科)试题】已知函数/(x)=e*(f-3x+l),

则关于光的方程"(x)[2+〃*x)-5e=()(meR)的实根个数为

A.3B.3或4C.4或5D.3或5_

【答案】A

【解析】♦.•函数/(犬卜-任―3x+l)

人力=*幺—3x+l)+e'(2x_3)=e'(f—x—2)=e'(x+l)(x—2),

令/'(x)=。得：x=-1或x=2,

.♦.当时，r(x)>。，函数/(x)单调递增；当x«—l,2)时，r(x)<0,函数/(X)单

调递减;当XG(2,+OO)时,r(x)>0,函数/(x)单调递增，

又〃T)=j，〃2)=-e2,

函数/(x)大致图象，如图所示：

令"X)=/,则关于x的方程/(x)=e、(f—3X+1)变为“+皿-5e=0，

A=/n2+20e>0,・••方程产—5e=0有两个不相等的实根.设为々，弓

由韦达定理得：Zj+/2=-m,txt2=-5e<0,不妨设4>0,r2<0,

①当时，♦.R2=-5e,^=-e2,此时关于x的方程［“切2+〃矿（犬）-56=0的实根个数为3

个，

②当0<%（一，，.R2=—5e,与〈^,此时关于x的方程［/⑴］2+时（x）-5e=0的实根个数为

3个，

③当♦.♦不2=-5e，二-62<芍<0,此时关于％的方程［/（x）了+何'（x）-5e=0的实根个数为

3个，

综上所述，关于X的方程［/（》）了+，4（X）-56=0的实根个数为3个，故选：A.

7.【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测（理）］已知a=41n3%b=31n4*，c=41n/,

则a,b,c的大小关系是

A.c<b<aB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】B

【解析】对于a,b的大小：«=41n3,t=ln34,I=7tln81.=ln43"=7tln64.明显。>6：

对于a,c的大小：构造函数/（为=生土，则=—少，

XX

当xe（0,e）时，f\x）>0J（x）在（（）,e）上单调递增，

当xe（e,+co）时，f\x）<0,/（x）在（e,+8）上单调递减，

•.•兀>3>e,.1/（兀）</（3）,即^31n7t<7rln3,.,.In7t3<In3",」.7t3<3n,：.a>c,

713

对于"c的大小：b=31n4"=1116染，c=41n7t3=ln［（7t）4］\64n<［（n）4］\c>b,

故选：B.

【点睛】将。，"C两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可

以通过构造函数来比较大小，此题是一道中等难度的题目.

8.【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试（理）】设定义在R上的函数/（X）的导函数为了'（X）,

若〃x）+/'（x）>2,/（0）=2020,则不等式e"（x）>2e*+2018（其中e为自然对数的底数）的

解集为

A.(0,+oo)B.(2018,4W)

c.(2020,用)D.(-oo,0)U(2018,+oo)

【答案】A

【解析】设g(x)=e"(x)—2e1

则g，(x)=e"(x)+e/(x)-2e，=e[/(x)+r(x)-2],

v/(x)+r(x)>2,e*>0,

,g<x)=e*[/(x)+/，(x)-2]>(),

.••g(x)是R上的增函数,

乂g(O)=/(。)—2=2018,

/.g(x)>2018的解集为(0,+8),

即不等式e"(x)>2ev+2018的解集为(0,4w).

故选A.

【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数g(x)是解题的关键.

9.【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学（理）试题】已知函数〃x）=aT+iog“x（其中。＞0且

awl）有零点，则实数。的最小值是.

【答案】e-

【解析】由/（%）存在零点，即函数＞=（£（'与的图象有公共点・

当时，两图象显然有公共点；当0＜。＜1时，由图可知，a最小时，

两图象均与直线y=x相切，此时，设切点坐标为（玉）,％）,

f1¥°

%=-।11

Inx。=x0In—,

则上=尤0,a

।1,

x0In—=1.

\斗a)LaLaa

・・.lnxo=l,.,・/=e,.・.ln'=L・•・〃_，.故答案为：

rtCl-C匕

10.12020・湖北省高三其他（理）】函数/（x）=xe'（其中e=2.71828…）的图象在（0,0）处的切线方程是

【答案】x-y=0

【解析】由f（x）=xe\得f\x）=ex+xex,所以切线的斜率％=/'（0）=e°=l,

所以切线方程为丁一0=%-0，即x-y=0.

故答案为：x-y=0

【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，

属于基础题.

11.【2020•广西壮族自治区高三其他（理）】函数y=lnx在处的切线在y轴上的截距为

【答案】-2

【解析】对函数y=lnx求导得y'=,，

X

所以，函数y=lnx在（/,一1）处的切线方程为y+l=e（x—g,即y=ex-2,

因此，函数y=lnx在（：,一1）处的切线在y轴上的截距为—2.

故答案为：-2.

【点睛】本题考查直线在》轴上的截距的求解，考查了利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，

属于基础题.

12.12019•天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知/（无）=14,则方程/（力=以恰有2个不

Inx,x>1

同的实根，实数。取值范围.

【答案】匕)

4e

【解析】问题等价于当直线、=分与函数y=F(x)的图象有2个交点时，求实数a的取值范围.

作出函数y=/(x)的图象如下图所示：

先考虑直线＞=ax与曲线y=lnx相切时，a的取值，

设切点为(div),对函数y=lnx求导得＞'=：,切线方程为y—=—

1{t=e

即y=-x+lnf-l,则有，解得＜1.

,［lnI=O卜

由图象可知，当。=!■时，直线丁=内与函数y=/(x)在(―8,1］匕的图象没有公共点，在(1,e)有

一个公共点，不合乎题意；

当:时，直线了=内与函数y=f(x)在(-8,1］匕的图象没有公共点，在(1,40。)有两个公共

点，合乎题意；

当0＜a＜；时，直线y=数与函数y=/(x)在上的图象只有一个公共点，在(1,一)有两个公

共点，不合乎题意：

当a=0时，直线N=〃与函数y=f(x)在(一8』上的图象只有一个公共点，在(1,—)没有公共点,

不合乎题意.

实数〃的取值范围是［’()'故答案为［,J

综上所述,

【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量

分离转化为参数直线＞=。与定函数y=g(x)图象的交点个数问题，若转化为直线(不恒与y轴垂直)

与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分

析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题.

I,

13.【2020•天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数/(x)=xsinx+cosx+/ax2,^^一兀,兀]

(1)当。=0时，求的单调区间；

(2)当。>0,讨论/(x)的零点个数；

【解析】：f(-x)=f(x)：,f(x)为偶函数,

只需先研究xe[0,7t],

/(x)=xsinx+cosx,

f\x)=sinx+xcosx-sinx=尤cosx,

兀71,

当xe0,—,f'(x)>0,当xe—,K,/'(x)<0.

TTIT

所以/(X)在xe0,-单调递增，在xe—,兀，单调递减，

2]12一

所以根据偶函数图象关于轴对称，

得/(x)在九£一兀，一不单调递增，在X6—77，°单调递减，

_2]L2

.故“X)单调递减区间为：一厘,0,p7l;单调递增区间为：一国一^,。弓.

(2)f\x)=xcosx+ax=x(cosx+a),

①a21时，/'(x)=x(cosx+a)NO在XG[0,K|恒成立，

f(X)在XG[0,7l]单调递增

又y(o)=i,所以〃x)在XG[-兀，兀]上无零点

②0<a<l时，*€(0,71),

使得玉)(cos&+a)=0,即cosx0=-a.

又cosx在(0,兀)单调递减，

所以X€(0,』)，f\x)>0,X€(5,7l),f'(x)<0

所以xe(O,x()),f(x)单调递增，xe(x(),兀)，/1)单调递减，

又/(0)=1,/(兀)=；加2T

12

(i)—an9''-1>0,即一7<。<1时

2兀~

/(幻在。司上无零点，

又/(幻为偶函数，所以“幻在［-兀兀］上无零点，

I2

(ii)—4兀2-1K0,即OcaK-y.

271-

f(x)在［0,兀］上有1个零点,

又/(X)为偶函数，所以/(X)在［-兀，兀］上有2个零点，

综上所述,当0<aK—•时,/(x)在［一兀，兀］上有2个零点，当。>=时，/(力在［-兀，兀］上无零点.

兀-71~

【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉

及分类讨论的思想，属于中档题.

14.【2020•福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数/(x)=elnx-or,g(x)="-

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若存在直线y=/?(%)，使得对任意的xe(0,-Hx)),h{x}>/(x),对任意的xeR,g(x)>h(x),

求。的取值范围.

【答案】⑴当a40时，“X)在(0,+8)上单调递增；当a>0时，/(x)在上单调递增，在

'e)「、

一,+8上单调递减；(2)«G［1,+OO).

I。)

【解析】⑴函数"X)的定义域为((),”).

，/、ee-ax

f(x)=——Q=-----

xx

(/)若aVO,则/'(X)>O；

(。)若a>0,则由/”(x)>0得x<£,由/'(x)<0得x>2：

综上：当a40时，/(x)在(0,+oo)上单调递增;

当a>0时，/(x)在上单调递增，在+8)上单调递减.

(2)设存在直线)，=匕+人满足题意.

22

(/)由5―xNAx+O,即3-(左+1)尤一bNO对任意的xeR都成立，得A=(A++2》40,

所以8K—但Wig。,

2

(//■)令/(1)=©1111一(々+攵)%—〃,

，/、e/八e-(Q+2)X

F(x)=一(a+k)=—l1一

①若a+ZWO,则/'(x)>0,厂(%)单调递增，b(e)=e—(a+Qe—〃>。，不合题意;

②若a+上〉0,贝iJF(x)在(0,—e、

上单调递增，在，+8上单调递减,

a+k7

ee

所以歹(")2=/=eln------e-0=-eln(〃+Z)-。,

a+ka+k

所以一eIn(Q+2)-/?<(),即eln(a+^)>-Z?,

由⑴得eln(a+1)2，

HIJ(」+l]

1〃2-Z+e2e'

(Hl『("])2*]

令(p(k)=—k+e2e，。(攵)=_]+e2e-——

("1)22gif<

k+1

，(k)=e2e|+e2。」>o,所以夕'(左)单调递增,

e

乂因为-1)=0,所以9(X)在卜8,正-1)是单调递减，(正-1,+8)是单调递减，所以

9(x)min="(&_1)=L所以ae[l,+»).

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题.

15.【2020•广西壮族自治区高三其他(理)】设函数f(x)=alnx+x2+ox,tzeR.

（1）讨论/（x）的单调性;

（2）若/（x）存在极值，对于任意xw（0,+8）,都有/（x）NO恒成立，求。的取值范围.

【答案】（1）答案见解析：（2）—14a<0.

2

，〃力士匚Y/［、£，/、〃△2x+ax+a八

【fi件机】（1）f（x）=—F2x+a=--