（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 14.4 用样本估计总体【附答案解析】

14.4用样本估计总体【考点梳理】考点一、用样本估计总体的集中趋势参数1.平均数(1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。(2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为x=1nx1+x2(3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。(4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。2.众数一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。3.中位数一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。技巧归纳：平均数、中位数和众数的特点(1)平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.容易受极端值的影响；(2)中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中（数据个数为奇数或数据个数为偶数且中间两数相等），也可能不在所给的数据中（数据个数为偶数且中间两数不相等）。当一组数据的个别数据变动较大时，可以用中位数描述其集中趋势(3)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有多个数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。4.频率直方图中的数字特征(1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。(2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积相等”来求出。(3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。考点二、用样本估计总体的离散程度参数1.极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。2.方差和标准差假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。3.总体方差(标准差)和样本方差(标准差)①如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称为总体方差，S=S②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为(i=1，2，…，k)，则总体方差为。如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为样本方差，s=s2为样本标准差。3.标准差因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。4.一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，，则其方差为p1x1−2+p5.分层抽样数据的方差一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，样本方差为sj2，=1,2，……，k。记。考点三、百分位数1.k百分位数的特点一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列；第2步，计算k⋅第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·100位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；第4步，如果k⋅n3.四分位数常用的分位数有25百分位数，50百分位数(即中位数)和75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数。【题型归纳】题型一、平均数、中位数、众数的应用1．（2022·天津市第四中学高一期中）体育王老师记录了名同学各次投篮的命中次数，记录如下表命中次数命中人数则这名同学投篮数据中（

）A．众数为 B．中位数为C．中位数为 D．平均数为2．（2022·全国·高一）如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数、中位数与平均数分别为（

）A．、、； B．、、；C．、、； D．、、.3．（2022·江西·南昌十中高一期中）某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（

）A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人B．这100名学生成绩的众数为85C．估计全校学生成绩的平均分数为75D．这100名学生成绩的中位数为题型二、极差、方差、标准差的计算与应用4．（2023·全国·高一）高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A．， B．， C．， D．，5．（2022·全国·高一单元测试）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续日，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为，中位数为；

乙地：总体平均数为，总体方差大于；丙地：中位数为，众数为；

丁地：总体平均数为，总体方差为．则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（

）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地题型三：总体百分数的估算6．（2022·全国·高一）某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（

）A．70，75 B．70，50C．75，1.04 D．65，2.357．（2023·山西朔州·高一期末）对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（

）A． B．C． D．8．（2023·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是（

）A． B． C． D．9．（2023·广东揭阳·高一期末）已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（

）A．平均数第60百分位数众数 B．平均数第60百分位数众数C．第60百分位数众数平均数 D．平均数第60百分位数众数题型四：各数据加减乘除对方差、平均数的影响10．（2023·全国·）某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A．， B．，C．， D．，11．（2020·辽宁大连·高一期末）如果的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（

）A．5，5 B．5，4 C．4，3 D．4，212．（2023·全国·高一）若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是A．平均数为20，方差为8 B．平均数为20，方差为10C．平均数为21，方差为8 D．平均数为21，方差为10题型五：频率分布直方图中的方差、标准差13．（2023·全国·高一专题练习）如图是某工厂对一批新产品长度(单位:)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为()A．22.5

20 B．22.5

22.75 C．22.75

22.5 D．22.75

2514．（2023·全国·高一）在2019年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的物成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（

）A．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人B．若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分C．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为70D．该省考生物理成绩的中位数为75分15．（2023·全国·高一）甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（

）A． B．C． D．题型六：用样本估计总体的综合问题16．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）某超市有甲、乙两家分店，为调查疫情期间两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：(1)比较甲乙两店日销售额的平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：(2)若规定分店一年（按360天计算）中日销售额不低于55万的天数不少于120天为运转良好，请结合上图，分析甲店上个年度运转是否良好？(3)如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．（不需要计算，只需要说清楚理由）17．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）南京市某报社发起过建党周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：(1)求频率分布直方图中的值；(2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数；(3)根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和百分位数（结果保留一位小数）．18．（2022·北京通州·高一期中）某校为了解学生对2022年北京冬奥会观看的情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，如下：(1)随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，求此次测试分数在的学生人数；(2)估计随机抽取的学生测试分数的%分位数；(3)观察频率分布直方图，判断随机抽取的学生测试分数的平均数和中位数的大小关系.（直接写出结论）【双基达标】一、单选题19．（2022·甘肃·兰州一中高一期中）下列命题中是真命题的有（

）A．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；B．有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30；C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为4．20．（2022·天津市第四中学高一期中）某校高一年级个班参加庆祝建党周年的合唱比赛，得分如下：、、、、、、、、、、、、、、，则这组数据的分位数、分位数分别为（

）A．、 B．、 C．、 D．、21．（2022·天津南开·二模）为了解某地区老年人体育运动情况，随机抽取了200名老年人进行调查．根据调查结果绘制了下面日均体育运动时间的频率分布直方图，则日均体育运动时间的众数和中位数分别是（

）A．35，35 B．40，35 C．30，30 D．35，3022．（2022·全国·模拟预测）为贯彻落实“十九届六中全会精神”，某机关单位对全体工作人员组织进行了一次学习考试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若成绩不高于60分的人数是15，则该单位的人数是（

）A．40 B．50 C．60 D．7023．（2022·云南曲靖·二模（文））北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会、南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，之前，为助力冬奥，增强群众的法治意识，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户，某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：.并绘制了如图所示的频率分布直方图.估计被抽取的1000名市民作答成绩的中位数是（

）A．40 B．30 C．35 D．4524．（2022·北京昌平·二模）为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（

）A． B． C． D．25．（2022·云南昆明·模拟预测（理））为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对体育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级某次体育测试成绩的样本频率分布表：500名高三学生体育成绩的频率分布表分组频率该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间（

）A． B． C． D．26．（2022·天津北京师范大学静海附属学校高一期中）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：空气质量指数（）[0，50](50，100](100.150](150.200](200.250]空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数.27．（2022·全国·高一专题练习）某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导，对该校名老师进行考试，并将考试的分值（百分制）按照、、、分成组，制成如图所示频率分布直方图．已知，分值在的人数为．(1)求图中、、的值；(2)若思想道德分值的平均数、中位数均超过，则认为该学校老师思想道德良好，试判断该学校老师的思想道德是否良好．【高分突破】一：单选题28．（2022·天津·二模）耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（

）A．直方图中的值为0.004B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人C．估计全校学生的平均成绩为84分D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分29．（2022·辽宁辽阳·二模）为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（

）A．40% B．50% C．60% D．65%30．（2022·江西赣州·二模（文））2022年4月8日，北京冬奥会冬残奥会总结表彰大会在北京隆重举行．在本届冬奥会、冬残奥会中，中国体育代表团首次全项参赛，创造了我国参加冬奥会、冬残奥会的历史最好成绩，实现了运动成绩和精神文明双丰收．下表为冬奥会金牌总数前九名的奖牌榜，则这组数据的方差为（

）国家挪威德国中国美国瑞典荷兰奥地利瑞士俄罗斯金牌数16129888776A．9 B． C． D．31．（2022·全国·高一课时练习）设样本数据x1，x2，…，x2020的方差为4，若yi＝2xi＋4(i＝1，2，…，2020)，则y1，y2，…，y2020的方差为（

）A．13 B．14 C．15 D．1632．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则数据，，，…，，，，，…，的平均数为（

）A． B．C． D．33．（2022·贵州·遵义四中高一期末）2022年北京冬奥会将于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬奥会新增7个小项目，女子单人雪车为其中之一．下表是某国女子单人雪车集训队甲、乙两位队员十轮的比赛成绩，则下列说法正确的是(

)队员比赛成绩第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮第八轮第九轮第十轮甲1分51秒741分51秒721分51秒751分51秒801分51秒901分51秒811分51秒721分51秒941分51秒741分51秒71乙1分51秒701分51秒801分51秒831分51秒831分51秒801分51秒841分51秒901分51秒721分51秒901分51秒91A．估计甲队员的比赛成绩的方差小于乙队员的比赛成绩的方差B．估计甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数C．估计甲队员的比赛成绩的平均数大于乙队员的比赛成绩的平均数D．估计甲队员的比赛成绩的中位数大于乙队员的比赛成绩的中位数34．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（

）A．， B．，C．， D．，35．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（

）A．2 B．4 C．6 D．36．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：则下列结论中不正确的是（

）A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙二、多选题(共0分)37．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（

）A．设，则样本数据，，…，的平均数为B．设，，则样本数据，，…，的标准差为C．样本数据，，…，的平均数为D．38．（2022·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了10个用户的满意度评分，评分用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.用户对产品的满意度评分如下:7，8，9，7，5，4，10，9，4，7.则下列说法正确的是（

）A．这组数据的众数为7 B．这组数据的第75百分位数为8C．这组数据的极差为6 D．这组数据的方差为4039．（2022·全国·高一专题练习）（多选题）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（

）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D．甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差40．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）下列叙述中，正确的是（

）A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样本进行调查.已知该校一､二､三､四年级本科生人数之比为8：5：4：，若从四年级中抽取75名学生，则C．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是6D．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现641．（2022·江西·南昌十中高一期中）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（

）A．这10天日均值的80%分位数为60B．从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C．从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差D．这10天中日均值的平均值是5042．（2022·江西宜春·高一期末）已知数据的平均数为，标准差为，则（

）A．数据的平均数为，标准差为B．数据的平均数为，标准差为C．数据的平均数为，方差为D．数据的平均数为，方差为43．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量（单位：），得到数据如下.则下列说法不正确的是（

）猕猴桃

柚子A．每克柚子维生素含量的众数为B．每克柚子维生素含量的分位数为C．每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数D．每克猕猴桃维生素含量的方差高于每克柚子维生素含量的方差44．（2022·安徽蚌埠·高一期末）某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法、讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校名学生的得分情况进行了统计，按照、、、分成组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（

）A．图中的值为B．这组数据的平均数为C．由图形中的数据，可估计分位数是D．分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有人获得该称号三、填空题(共0分)45．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）某班学号的学生铅球测试成绩如下表：学号12345678成绩9.17.98.46.95.27.18.08.1可以估计这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为___________.46．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）某学习兴趣小组学生一次测验成绩如下：130，135，126，123，145，146，150，131，143，144，则这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位数是_________.47．（2022·湖南岳阳·三模）已知一组数据：的平均数是5，方差是4，则由，，和这四个数据组成的新数据组的方差是（

）A．16 B．14 C．12 D．1148．（2022·广东·广州市第八十六中学高一期中）若样本数据的方差为8，则数据的方差为________．49．（2022·吉林·一三七中学高一期中）某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．50．（2022·全国·高一课时练习）为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3000，4000）（单位：元）内的应抽取________人.51．（2022·甘肃·兰州一中高一期中）已知数据的方差为8，则数据的方差为_______.52．（2023·河北省博野中学高一开学考试）菲尔兹奖(FieldsMedal)被视为数学界的诺贝尔奖，每次在国际数学大会上颁给2~4位有卓越贡献的年轻数学家.于1936年首次颁发，截至2020年，世界上共有60位数学家获得过菲尔兹奖，其中2位为华裔数学家，分别是1982年获奖的数学家丘成桐和2006年获奖的数学家陶哲轩.从年龄的维度统计，菲尔兹奖获奖者人数的折线图如下图所示，则获奖者年龄数据的中位数为_____.

四、解答题(共0分)53．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）2021年新冠疫情仍未平息，接种疫苗是防止新冠疫情最有效的手段今年5月，某地区疫苗接种出现了排长队现象，为了了解该地区接种人群的等待时间（从到达接种点到接种完成，不包括接种后的观察时间），随机调查了该地区某天接种的100人，制成了如下频率分布直方图．(1)求样本中等待时间大于60分钟的人数；(2)根据频率分布直方图，估计这100名接种者等待时间的平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）．54．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期中）2021年开始，甘肃省推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，由于受疫情影响，多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(3)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）55．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期中）某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，.(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.分数段56．（2022·全国·高一专题练习）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；(3)根据该大学规定，把百分之15的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.57．（2022·辽宁·高一阶段练习）某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中的值；(2)求月平均用电量的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，并从抽取的户中任选户参加一个访谈节目，求参加节目的户来自不同组的概率．参考答案：1．D【解析】【分析】根据表格数据计算得到众数、中位数和平均数即可判断出结果.【详解】对于A，名同学中，命中次的人数最多，则众数为，A错误；对于BC，数据由低到高排序，第和第位同学的命中次数均为次，则中位数为，BC错误；对于D，平均数为，D正确.故选：D.2．C【解析】【分析】本题可通过频率分布直方图中数据求出众数、中位数与平均数.【详解】众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，则众数是，中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线的横坐标，第一个矩形的面积是，第三个矩形的面积是，故将第二个矩形分成即可，中位数是，平均数为，故选：C.3．C【解析】【分析】A由直方图求区间上的样本数量；B由频率的大小确定众数的位置；C、D根据频率直方图求出平均数、中位数.【详解】A：由直方图知：内的学生有人，正确；B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；C：全校学生成绩的平均分数为，错误；D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.故选：C4．C【解析】【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．D【解析】【分析】通过反例可知甲乙丙三地均不符合没有发生大规模群体感染的标志；假设丁地某天数据为，结合平均数可知方差必大于，由此知丁地没有发生大规模群体感染.【详解】对于甲地，若连续日的数据为，则满足平均数为，中位数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；对于乙地，若连续日的数据为，则满足平均数为，方差大于，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；对于丙地，若连续日的数据为，则满足中位数为，众数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；对于丁地，若总体平均数为，假设有一天数据为人，则方差，不可能总体方差为，则不可能有一天数据超过人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.故选：D.6．B【解析】【分析】由数据可知平均分不变，结合方差公式，写出更正前和更正后的方差表达式，即可求出更正后的方差.【详解】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，由题意得，s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有：75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.故选:B.7．A【解析】【分析】由频率分布直方图计算可得小于的百分比为，可直接得到结果.【详解】电子元件寿命小于的百分比为，则这批电子元件中寿命的分位数为.故选：A.8．C【解析】首先将15个数据按照从小到大的顺序排列，再按照百分位数公式计算.【详解】这15个数据按照从小到大排列，可得168,169,169，170,172,173,173,174,175，175,175,176,177,179,182，，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即.故选：C9．D【解析】从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.【详解】解：平均数为，，第5个数50即为第60百分位数.众数为50，它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.故选：D.【点睛】本题主要考查平均数、百分位数、众数的求法，属于基础题.10．D【解析】【详解】试题分析：均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.11．B【解析】【分析】的平均数为，的方差为，代入已知计算可得答案．【详解】的平均数，的平均数为的方差，的方差为故选：B【点睛】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质的合理运用．12．A【解析】【分析】利用和差积的平均数和方差公式解答.【详解】由题得样本的平均数为，方差为.故选A【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13．C【解析】【详解】由题意，这批产品的平均数为，其中位数为.故选C.14．D【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解．【详解】解：对于，90分以上为优秀，由频率分布直方图得优秀的频率为，从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试生约有：人，故正确；对于，由频率分布直方图得，的频率为，，的频率为：，若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分，故正确；对于，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为：分，故正确；对于，，的频率为：，，的频率为，该省考生物理成绩的中位数为：分，故错误．故选：．【点睛】本题考查频数、合格分数线、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．D【解析】【分析】先分别求出甲，乙，丙三名运动员射击成绩的平均分，然后根据方差公式求出相应的方差，比较大小可得标准差的大小.【详解】甲的平均成绩为,其方差为乙的平均成绩为,其方差为丙的平均成绩为其方差为.所以故选：D16．(1)(2)甲店运转良好(3)我选乙店，理由见解析【解析】【详解】（1）解：估计算甲店的日销售额平均数为估计算乙店的日销售额平均数为．．（2）解：日销售额超过55万的天数占比不少于，甲日销售额不低于55万的概率约为，甲店运转良好．（3）解：答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知．甲店的销售额方差明显低于乙店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；答案二：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店．17．(1)(2)人(3)，第百分位数为【解析】【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果；（2）根据年龄在的人数对应频率和分层抽样原则直接计算即可；（3）利用频率分布直方图估计平均数的方法可直接计算得到；设第百分位数为，由百分位数的估计方法可直接构造方程求得结果.(1)，.(2)应从选出参加座谈会的人数为：人.(3)由题意得：；假设第百分位数为，则，解得：，即第百分位数为.18．(1)（人）(2)(3)【解析】【分析】（1）先求出测试分数不低于分的频率，从而可求抽取人数，故可求给定范围上的学生人数.（2）根据直观图可判断出%分位数一定位于内，根据%分位数的意义可求该数.（3）根据公式可求两数，从而得到它们的大小关系.(1)由图知，学生测试分数不低于分的频率.所以抽取的学生人数为（人）.所以测试分数在的学生人数为（人）.(2)由图可知，测试分数在分以内的学生所占比例为:.所以分位数一定位于内.所以.所以估计随机抽取的学生测试分数的%分位数约为.(3)由频率分布直方图可得，而前4组的频率之和为，而前5组的频率之和为，故中位数在第5组，故中位数，则，故，故.19．A【解析】【分析】对于A，直接求出平均数，众数和中位数即可判断；对于B，利用分层抽样直接求出样本容量即可判断；对于C，计算出乙组数据的方差，利用方差的意义即可判断；对于D，直接求出该组数据的分位数即可判断.【详解】A选项：平均数为，众数为，将数据从小到大排列为中位数为，A正确；B选项：根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为，B错误；C选项：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，C错误；D选项：该组数据共个数，由，则该组数据的分位数为，D错误.故选：A.20．A【解析】【分析】将数据由小到大排列，利用百分位数的定义可求得结果.【详解】将数据从小到大排列可得、、、、、、、、、、、、、、，由，则分位数为，由，则分位数为，故选：A．21．D【解析】【分析】根据频率分布直方图可得众数，求出前三位的频率之和后可求中位数.【详解】由频率分布直方图可得第四组的频率最大，故众数为35，前三组的频率之和为，故中位数为30，故选：D22．B【解析】【分析】根据与组距的关系，可得频率，再通过频率与样本容量的关系可求解.【详解】由频率分布直方图可知，成绩不高于60分的频率是，所以该单位的人数是，故选：B.23．C【解析】【分析】求出频率分布直方图中频率0.5对应的分数即为中位数．【详解】由频率分布直方图知得分在的频率是，得分在上的频率是，，因此中位数在上，设中位数是，则，解得，故选：C．24．D【解析】【分析】根据频率分布直方图可知样本频率，由样本频率来估计总体的概率，概率乘以总量即为所求.【详解】由频率分布直方图可知:数据落在的频率为，故该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为故选:D25．C【解析】【分析】设中位数为，易得中位数在区间内，从而有，解之即可得解.【详解】解：设中位数为，因为，所以中位数在区间内，则，解得，所以该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间.故选：C.26．(1)，，频率分布直方图如下(2)平均数为95，中位数为87.5【解析】【分析】（1）可得空气质量指数在的频数和频率，即可求出，进而求得，则可得出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图直接计算即可.(1)由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以，所以，则可得频率分布直方图如下：(2)由频率分布直方图可得平均数为，因为的频率，的频率，所以中位数在内，设为，则，解得.27．(1)，，(2)良好【解析】【分析】（1）根据题中数据可求得的值，再由以及所有矩形面积之和为可求得、的值；（2）根据频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，结合题意可得出结论.(1)解：因为分值在的人数为，，因为，且，所以，解得，．(2)解：这组数据的平均数为，这组数据的中位数满足，解得，所以该学校老师思想道德良好．28．C【解析】【分析】根据学生的成绩在50分至100分之间的频率和为1可求得的值，就可以判断A；计算成绩在区间的学生频率，然后计算在该区间的学生数，以此判断B；按照频率分布直方图中平均数算法计算可判断C，按照频率分布直方图中百分位数的计算方法计算可判断D【详解】由直方图可得：，解得，故A错误，在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为人，故B错误估计全校学生的平均成绩为分，故C正确全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故D错误故选：C29．C【解析】【分析】利用直方图求频率即得.【详解】依题意可得及格率为.故选：C.30．B【解析】【分析】先计算9个数的平均数，再根据方差公式求方差即可.【详解】这组数据的平均数，所以这组数据的方差，所以，故选：B.31．D【解析】【分析】所有的数据同时加减一个常数，不改变方差的大小，所有的数据同时乘以一个常数c，方差变为原来c的平方倍.或由方差的计算公式计算可得.【详解】y1，y2，…，y2020的方差为22×4＝16.故选：D.32．D【解析】【分析】利用平均数的计算公式计算.【详解】由题意得：，，所以故选：D33．B【解析】【分析】根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较．根据中位数、平均数、方差的计算方法求出中位数、平均数、方差比较即可得到答案．【详解】根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较，作茎叶图如图：由图可知，甲的成绩主要集中在70－75之间，乙的成绩主要集中在80－90之间，∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C错误；由图可知甲的成绩中位数为74.5，乙成绩的中位数为83，故甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的中位数，故D错误；甲队员比赛成绩平均数为：，乙队员比赛成绩平均数为：，∴甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数，故B正确；甲队员的比赛成绩的方差为：＝57.41，乙队员的比赛成绩的方差为：＝46.61，∴甲队员的比赛成绩的方差大于乙队员的比赛成绩的方差，故A错误．故选：B．34．C【解析】【分析】根据图中实线与虚线的走势，即可直接求解．【详解】由题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，，显然实线中的数据波动较大，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方程，即.故选：C．35．C【解析】【分析】利用数据的均值、方差的线性运算直接求得.【详解】因为数据，，，…，的标准差为2，所以方差为4．由题意知，得到的新数据为，，，…，，这组新数据的方差为，标准差为6．故选：C36．B【解析】【分析】对于A：直接求出中位数；对于B：求出乙的星期三和星期四步数，计算可得；对于C：分别计算出甲、乙平均数，即可判断；对于D：分别计算出甲、乙方差，即可判断；【详解】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位数是11600.故A正确；对于B：乙的星期三步数7030，星期四步数12970.因为，所以没有增加1倍上.故B不正确；对于C：，.所以.故C正确；对于D：所以.故D正确；故选：B.37．AD【解析】【分析】A选项，利用平均数计算公式进行元素；B选项，利用求方差公式求解公差，进而求出标准差；C选项，举出反例；D选项，利用求解方差公式推导出答案.【详解】A选项，由题意得：，则，A正确；B选项，数据，，…，的平均数为，所以，则标准差为，B错误；C选项，可以举出反例，比如1,2,3的平均数为2，而1,4,9的平均数为，显然样本数据，，…，的平均数不一定是，故C错误；D选项，，D正确.故选：AD38．AC【解析】【分析】把这组数从小到大排列后，再根据相关数字特征的定义求出众数、百分位数、极差和方差.【详解】对A，这组数从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10.这组数的众数为7，A正确；对B，因为10×75%=7.5，且第8个数为9，所以这组数据的第75百分位数为9，B错误；对C，这组数据的极差为10-4=6，C正确；对D，这组数据的平均数，则这组数据的方差，D错误.故选：AC.39．BCD【解析】【分析】利用条形图，根据平均数、百分位数、极差的概念可得答案.【详解】由图可得，,,故A项错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数，乙的成绩的第80百分位数，所以二者相等，所以C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确．故选：BCD.40．BD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式判断A，根据分层抽样的定义判断B，根据中位数、众数、平均数、方差的定义判断C、D；【详解】解：对于A：学号为04的学生被抽到的可能性为，故A错误，对于B：抽样比为，，故B正确，对于C：数据1，4，4，，7，8（其中的中位数为，众数为4，，，该组数据的平均数是，故C错误．对于D：若这组数据有6，则方差，故D正确，故选：BD41．BC【解析】【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可.【详解】由图知：从小到大为，而，所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误；前5天极差为，后5天极差为，B正确；前5天平均值为，后5天平均值为，所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正确；故选：BC42．BC【解析】【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.【详解】，，对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；对于C，，，故正确；对于D，数据的平均数为，方差为，故错误.故选：BC.43．BC【解析】【分析】利用众数的概念可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，每克柚子维生素含量的众数为，A对；对于B选项，每克柚子维生素含量的分位数为，B错；对于C选项，每克猕猴桃维生素含量的平均数为，每克柚子维生素含量的平均数为，C错；对于D选项，每克猕猴桃维生素含量的方差为，每克柚子维生素含量的方差为，D对.故选：BC.44．BC【解析】【分析】由直方图的面积之和为可判断A选项；求出平均数可判断B选项；求出分位数可判断C选项；计算出该校获得金牌小卫士称号的人数可判断D选项.【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，解得，A错；对于B选项，这组数据的平均数为，B对；对于C选项，，，所以，设这组数据分位数为，则，则，解得；对于D选项，由频率分布直方图可知，该校获得金牌小卫士称号的人数为人，D错.故选：BC.45．【解析】【分析】利用百分位数的计算方法即可求解.【详解】将以上数据从小到大排列为，，，，，，，；%，则第25百分位数第项和第项的平均数，即为.故答案为：.46．145【解析】【分析】将10个测试成绩从小到大排成一列，根据百分位数的定义，即可求解.【详解】将10个数据从小到大排成一列：123，126，130，131，135，143，144，145，146，150，其中，所以测验成绩的第75百分位数是145.故答案为：145.47．C【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得；【详解】解