浅谈第五公设的产生及其对数学影响

第五公设的内容及背景1.1主要内容:若是两条直线都能与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，那么这两条直线在这一边必定相交[1]。1.2产生背景：几何学是最先能被应用在土地测量，这种计算和测量土地的方式被引到希腊时，希腊人就把它抽象成了一种学科.希腊哲学家亚里士多德（aristole）,在公元前3世纪的时候就将古代的知识逻辑开始总结了起来，运用辩证方式来进行演绎说证，公理是完整的三段论，利用其推导得出其他所有的方法。他提出来的这三段论法，是历史上第一个推陈出新的公理系统.著名的数学家欧几里得在几何学当中使用其和演绎法，并且站在巨人的肩膀上总结出实际的应用经验和在生活中所感知到的数学知识，有的系统的得到基础的数学概念及定义。其中含有5公设和9公理如下：（1）任意的两个点可以通过一条直线连接[3]. （2）任意的线段能无限延伸成一条直线[3].（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆[3].（4)所有直角都全等[3].（5）若两条直线都能与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，那么这两条直线在这一边上必定相交[3].此外，第五公设还有一个平行公设，其来源于在《几何原本》第5个公设，并由此得到了名字，它与其他公理并不相同，是比较特别的。相比前面四条来说较为复杂并且不适用.第一，语言叙述冗长，不像其他的公理一样述说了真理，表达直观，并且阐述明显清楚易懂，第二，这个公设还定义了直线能够进行无限延长，但在古希腊的数学体系里，尽量不使用直线的无限延长这个定义。第三，在实际应用中，欧几里得自己也对其有所怀疑，虽然把它写在了《几何原本》这本书中，但他本人却不用它去解决问题，在与第五公设接近的问题中也不用它来证明，但在卷Ⅰ命题29这个问题中用其他方法无法证明，最后用来第五公设来证明。因此，古希腊以及其他地方的人们从那时候开始，就期待有人可以用其他方法来证明此公设，或者对它的定义有更合适的概述，以此将其从公设中移除。在1800年往前的2000多年里，大量的数学家和神学家都产生过各种各样的关于第五公设的思路和想法，他们在这方面投入大量的时间和精力。使欧氏几何的地位更加理想化，也更加完善是这些科学家和学者们的愿望。数学家们则是更希望几何体系的逻辑性能够更加完整.2第五公设的历史证明因欧几里得的第五公设叙述不够简单明了，而且也不如其他公设一样，能够直观看出，第五公设更像一条定理，吸引了人们更多的注意力.从古希腊时代往后的两千多年里，数学家们锲而不舍的研究第五公设，期望尽早使这个难题得到解决。经过数学家们呕心沥血的研究，推出了两个证明方法，其中一个方法就是找出一个能够替换该公设的定理，比第五公设更加紧扣重心，另一个方法是尝试从欧几里得其他9条公理和公设将平行公设推导出来.2.1普罗克鲁斯的试证公元前五世纪普罗克斯用第一种方法对第五公设提出证明，证明过程如下:设共面的两条直线与被第三条直线所截，在直线的一侧构成同侧内角α和β，并且（表示直角），求证直线和直线相交.证明：如图2-1所示，通过直线与的交点B作直线，使得与成并且有，根据平行线的判定定理得，有.因为（表示直角），继而证明直线与直线不重合.又因为，则直线通过的内部.若设与两条直线构成，则.在直线上取一点，并使点沿直线运动与点的距离无限远.若记点到直线为,则点在移动过程中，必有一点，使得等于直线与直线之间的距离，这时点将落在直线上，即点是直线和直线的交点.这样就证明了直线与直线必相交，并且交点在被第三条直线所截的同侧内角之和小于两直角的一侧.普罗克鲁斯在证明中作了两个假设：当点沿直线无限运动远离点时，距离，必将会无止境的增大.（2）两条平行线之间的距离都是有限的，并且处处相等.经实践（1）是对的，它可利用《几何原本》中的公设4和公理5推导并证明，然而（2）是错的，它仅仅只是一个与第五公设所表达含义相同的命题，显而易见，普罗克鲁斯的“证明”没有达到他想要的结果.还有一个著名的数学家，他的名字是普雷菲尔，他在1975年做出的定理是：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线相平行”，该公理被后人广泛学习和应用，它还被中学数学课本所收录，以供学生学习，但事实上，早在公元5世纪，就有人对这个公理进行描述，他就是普罗克鲁斯，一个优秀的古希腊数学家。就已经描述过它的含义.图2-12.2萨凯里的试证在18世纪，对此公设的证明获得了巨大进展，由方法二得出。一个意大利著名学者，名为萨凯里，他利用反证法，从“萨凯里从四边形”得到启发，对第五公设做出自己的论证，他的证明过程被收录到《欧几里得无懈可击》之中。萨凯里对第五公设的试证过程:萨凯里考虑底边上两底角都是直角，并且两条侧边和相等的平行四边形（图2-2）.他首先证明和的中点连线与上下两底边垂直，并且两个底角,这时有三种可能：（1）和都是钝角（钝角假设）（2）和都是直角(直角假设）（3）和都是锐角（锐角假设）其中，和都是钝角可以直接被否定，而和是直角可推导出第五公设成立，那么只需否定和都是锐角成立而引出矛盾.即使萨凯里在和都是在锐角的设定下，获得了许多的理论结果，由于在当时的背景下，理论知识和经验的严重缺失，导致他在最后关头放弃了最后的总结论述．虽然萨凯里在最后也没有得出结论，但是他为非欧几何的创立，在客观上提供了具有举足轻重的地位和价值的思想方法，帮后人找出了一条不同于前人的新道路．图2-22.3兰伯特的试证瑞士数学家兰伯特，所研究的方向与萨凯里几乎相似．兰伯特在他1766年发表的《平行线理论》中提到，思考如果其中三个内角为直角的平行四边形，如果按照第四个角（）是钝角、直角，还是锐角来进行分析并作出了三个假设：假设即直角假设，直角假设等于第五公设，锐角假设即为锐角与公设4、公理5相互矛盾；由于为钝角会造成矛盾，因此他不再继续证明下去。从萨凯里与兰伯特的验证结果来看，两者是不一样的，并且兰伯特反驳萨凯里验证得到的结论。因为他觉得锐角假设所得出的结果并不会造成相互矛盾的局面，而且若属于三种假设中的一种假设没有矛盾，那就会有其它的可能性出现。当然，这种可能性属于几何学范围。在此种逻辑下，无矛盾的几何学道路被提出了，并且是基于对平行公设的替换的思路。2.3其他数学家的试证法国的著名数学家勒让德，对平行公设问题也十分关注，并且他花了20年的时间来证明，得出定理，其内容为：“三角形内角之和不能大于两直角”，鉴于此，意味着可能存在一种新的几何。此思想被来自于德国的数学家萨外卡特在19世纪初那段时间运用得更加清晰透彻。在1816年萨外卡特的一部分备注记录中，对于辨别两者进行了详细的描述。并且，他认为这种几何在星空内成立的可能性非常之大，所以他把这种几何命名为“星空几何”.以上所有人尤其是兰伯特在非欧几何领域都是极其优秀的数学家们，遗憾之处是新的几何没有被他们正式确立、或者发表出来，更不用说一个新几何的系统理论被创建。但另一群著名的数学家，如高斯、罗巴切夫斯基、波尔约等等，他们的做法不同于前者，不但提出了新的几何，而且创建了新的几何。故此他们成为了伟大的非欧几何领域创始人。创始人之一的高斯，最早提出欧几里得第五公设是独立的。1792年，创建一种逻辑几何学的思路在他头脑中出现，并且欧几里得的第五公设在此逻辑学中是不成立的。1974年，在高斯的几何逻辑中，对于四边形的面积和其他2个平角与四边形内角和的差这两者之间是成正比关系，由此推出了：不管三角形顶点之间的间隔是多少，三角形的面积都不能超出一个常数。他开始重新对新几何学说进行分析，并重新定义为非欧几何。他认为新几何学的结构是正确的，而且在逻辑结构上也没有问题，这些都是在实际中存在的，可以应用到生活中的。所以他开始用三座大山组成的三角形内角的数据来证明他的观点，他始终相信内角和的亏量只存在于很大的三角形中才能够展示出来。但他的测量最终没能完成，因为仪器存在的偏差而导致失败。令人感到遗憾的是在高斯生前，他没有发表过任何与非欧几何相关的著作，关于现在所知道的他对非欧几何的看法和研究结果全都是人们在他逝世后，从他与朋友来往信件交谈中所得知的.3欧几里得第五公设对数学的影响3.1非欧几何的创立罗巴切夫斯基是俄国喀山大学著名教授，他在十九世纪二十年代，也着手对第五公设进行研究。他选择使用反证法来证明自己结论，即命题“同一条直线的垂线和斜线必相交”的否定命题。可是得到的这些结论却全部都能表明，两个命题没有任何的矛盾。罗巴切夫斯基在得出的报告中说到，他曾对非欧几何进行的分析以及他对此的看法，于是这一天就成了非欧几何的出生日。后来他发表了“第五公设不可以有别的公理中得到”的结论。同时，他在文章中也援用到第五公设，等价命题相矛盾命题：“通过直线外一点，在、、三点所决定的平面上，可作出无穷多条的直线，他们都与直线不相交”，以它代替第五公设，并保留欧几里得其他公设，由此得到一个全新的公理体系.在这个不同于以前的公理体系中,开始进行别的一系列的推理证明，得出了很多全新的定理，在结构上也可以说明且不会互相矛盾的新定理，以此来得到了不同的理论.众所周知，历史上首次提出的非欧几何学叫做罗氏几何。欧氏几何理论和他的理论基本相同，他还有另一个名称—罗氏几何。此几何学是几何学中公认的具有完善、严密的结构体系。我们能在罗巴切夫斯基在创建非欧几何学的历程中，学到一个特别值得研究并且被大众承认的结论：假如两个假设没有逻辑上的冲突，那么他们都有机会得出一种全新的几何学。来自匈牙利的著名数学家波尔约曾在罗巴切夫斯基揭示并且建立非欧几何学说的之后紧接着得到了和有关于新平行线理论的结论，就是在他父亲于1832年出版的一本书中，在附录中提出，并且发表了他的研究成果《绝对空间的科学》，文中论述的“绝对几何”即非欧几何,但由于他的研究得不到，同时代数学家的理解和支持，之后他放弃了数学研究.在十九世纪初，“数学王子”高斯也曾经尝试并证明第五公设，在证明过程中，他也发现了第五公设并不能被证明，还对非欧几何进行了深入研究.由于高斯深知教会信仰的可怕，他害怕发表和公开非欧几何的研究结果会遭到当时教会信仰的打击和迫害，所以只是把自己的观点和研究结论以书面的途径，和朋友进行交流。与此同时，他也不敢在公众面前表明自己赞同的新理论.4非欧几何的分支及发展4.1罗氏几何学罗氏几何学的公理体系总体上和欧式几何学有着明显的差别，它只是在欧式几何学的平行公理的基础上运用了“从直线外的一点出发”，相对于其他的就没有什么大的差别了。在推理中，和平行公理相比较而言，他的不同性在于提出的相关的几何问题。罗氏几何公理和欧式几何的公理在一定程度上有着统一性，因此，欧式几何和罗氏几何不提及平行公理时，在所在的领域和理论上都是正确的。相同的道理，二者通过一定的相关联性要能够新的形式表达出来。这也才可称为正确的。罗氏几何的定理如下：1、同一直线的垂直线与并斜线不一定会相交[8].2、两条线垂直于同一条线之后，当两端开始延伸时，就会离散到无穷远.3、没有相似的但不完全相同的多边形[8].4、如果穿过其它三个不在同一条线上的点，那么可能就不能完成画圆了.（如图4-1）图4-14.2黎曼几何在欧氏几何和罗氏几何中，有相同性，又不同性，平行公理体现着不同性，而组合公理、序列公理等体现着相同性。欧氏几何中有这么一个公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”.此种说法在罗氏几何中也确有存在相同的，罗氏几何中也有“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”这一公理.那么问题来了，对于“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”这一问题，是否存在有着很大的争议？黎曼几何就是问题答案所在。黎曼几何是著名的德国数学家提出的，1851年黎曼发表了一篇论文——《论几何学作为基础的假设》，在这篇论文中清晰明确的指出黎曼几何的独特性，与其他几个学有着不一样的存在形式，她的论述可谓是为今后的几何学开出了一条崭新的、广阔的道路。黎曼几何在数学界更是体现出了重要的影响，并大规模的应用。爱因斯坦的《广义相对论》指出，空间几何学在时空均匀性上的提出是错误的，要想时空均匀得以实现，需要时间和空间的条件来满足。纵观整体，整个时空是不均匀的。物理学家爱因斯坦的这种解释与黎曼几何的概念提出可以说是完全一样。.此外，黎曼几何作为数学应用的重要工具，在某些复杂的数学方程或是微分领域中应用的十分广泛，其中尤属微分几何应用最为基础。罗氏几何中的命题：命题1：同一直线的相同垂线和斜线不一定能相交[2].命题2：垂直于同一直线，中的两条直线，两端开始延长的时候，离散即能达到无穷.命题3：不存在相似的多边形.命题4：过不三个在同一直线上的三点，并不一定能够做一个圆.以上的4个命题分析可得，，罗氏几何由于自身的原因不太容易被人接受，欧氏几何的表现形象比较接近我们平常，相比而言就比罗氏几何在人们应用中的活跃度高，但是，经过大量的研究，数学家们提出，用欧式几何学中的几何事实以直观的“模型”表现出来，罗氏几何的表述事实上还是是正确的.人们也一直承认欧几理和非欧几何是没有矛盾的，.渐渐地，非欧几何不断地获得学术界的认可和注意并且在某些学术中也展开了深入的研究，具有独创性的罗巴切夫斯基的研究，不仅得到了学术界的高度评价和认可，本人也被称之为“几何学