解析2021届新疆乌鲁木齐地区高三三模数学（理）试卷

绝密★启用前

2021届新疆乌鲁木齐地区高三三模数学（理）

试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答

案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合4={（乂丁）|f+y2=4},B=MM|y=x-I},则集合4nB的真子集的个数为

（）

A.3B.4C.7D.8

答案：A

由题意得，直线y=x-1与圆V+y2=4有2个交点，由此能求出的真子集的个数.

解：圆心（0,0）到直线y=x-l的距离为d=~^===¥<2，

即直线与圆相交，直线与圆有2个交点，AflB中元素的个数为2个，

所以集合AD8的真子集的个数为3个，

故选：A.

71

2.下列函数中，周期为一的是（）

2

x元

A.y=sin—B.y=cos2xC.=tan—D.y=tan2x

答案：D

根据三角函数的性质和周期的计算公式，逐项判定，即可求解.

Y

解：对于A中，函数y=sin一的最小正周期为7=4万，不符合题意；

2

对于B中，函数y=cos2x的最小正周期为7=乃，不符合题意；

X

对于C中，函数y=tan一的最小正周期为丁=2乃，不符合题意；

2

对于D中，函数y=tan2x的最小正周期为了二卷，符合题意.

故选：D.

3.已知复数z的模为2,则|z-i|的最小值为（）

A.1B.72C.V3D.2

答案：A

利用复数的几何意义可知复数z所对应的点(x,y)的轨迹为圆，根据圆上的点到定点距离的最值问

题可得结果.

解：设2=%+加，其对应的点为

因为忖=2,所以/+卜2=4,

即(x,y)对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，

|z—i|=1)2表示(x,y)到点(0,1)的距离，

其最小值为2—1=1，

故选：A.

4.下列说法错误的是()

A.“若XH3,则2x—300”的逆否命题是“若幺―2尤—3=0,则x=3"

B."VX€R,X2_2X_3RO”的否定是叼/eR芯-2/-3=0”

C."％>3"是"/—2尤—3>0”的必要不充分条件

D.“工<-1或%>3"是"》2_2》—3>0”的充要条件

答案：C

利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.

解：对于A,“若尤。3,则d一21一3。0”的逆否命题是“若2x—3=0,则x=3"，正

确；

对于B,“VxeR,x2—2x—3H0”的否定是W5eR,4一2%-3=0”，正确；

,^2,

对于C,x-2x-3>0,等价于“》<-1或x>3",

/.“x>3"是"V—2犬—3>0”的充分不必要条件，错误；

对于D,“》<一1或x>3"是"f—2》—3>0”的充要条件，正确.

故选：C

5.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分5分，分值高者为优)，绘制如图所

示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述

正确的有几个（）

①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

②甲的数学建模能力指标值优于乙的数学建模能力指标值

③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

④甲的数学运算能力指标值优于乙的数学运算能力指标值

A.1B.2C.3D.4

答案：C

根据雷达图，读取数据，进行比较即可.

解：对于①甲的逻辑推理能力指标值为4,乙的逻辑推理能力指标值为3,故①正确；

对于②甲的数学建模能力指标值为3,乙的数学建模能力指标值为4,故②错误；

对于③乙的六维能力指标值的平均值为5+4+3+5+4+3=4,甲的六维能力指标值的平均值为

6

4+3+4+5+4+323,,

-----------------=一，故③正确&；

66

对于④甲的数学运算能力指标值为4,乙的数学运算能力指标值为3,故④正确.

故选：C

11

D.

~2

答案：B

利用微积分的基本定理求解.

解:["一5卜

故选：B

7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自

半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的。、b分别为5、

2.则输出的及=().

♦

/输入/

A.3B.4C.5D.6

答案：B

按照程序框图执行，直到满足判断框里的条件就退出循环，输出〃即可得解.

解：模拟程序运行，可得：a=5、b=2,

n=l,a=M，b=4,不满足aVZ7,执行循环，

2

45.一

n=2,a=—,b=8,不*两足执行循环，

4

135

〃=3,«=—,人=16,不满足〃<b,执行循环，

O

405

〃=4,a=——,方=32,满足。工力，退出循环，输出〃的值为4，

16

故选：B

8.已知sin[不一aJ=§+cosa,贝"os[2a+]J=()

7R4G7

D.-------------D.

9c.竽9

答案：D

根据条件利用正弦的和差化积公式展开化简得到sin。+看=-1，再利用二倍角公式化简求值

即可.

解：:sin--OL=-+cosa,所以sin—・cosa-cos—・sina=-+cosa,

16)3663

即」cosa一=-+cosa，

223

3smc+、°sa=-Lsin(a+「

223I6j

故选：D.

点评：关键点睛：本题考查三角恒等变换，解题关键是熟练掌握两角和差的正弦公式以及公式的逆

用、余弦二倍角公式及角的变换，属于常考题.

9.过双曲线5一今=1（。＞0,。＞0）的右焦点厂作一条渐近线的垂线，垂足为A,交另一条渐

近线于8点，且丽=2两，则该双曲线的离心率为（）

A.空B.72C.D.述

32

答案：A

计算出|4理、|。4|、|0回，利用二倍角的正切公式可求得：，再利用离心率公式e=Jl+（2、

可求得结果.

be

解：设点A在第一象限，则点F到直线第-冲=。的距离为|AF|=-/,：=b,

7b-+a

由勾股定理可得|。4|=拒讦不讦=&-护=a，

-BF=2FA'则|即|=%，|45|=3〃，

\AF\b

由于。/为NAO3的角平分线，则均11/4。产=蜀=一，

\0A\a

2b

八八八八，，CL2tanZAOF

hilltanZAOB=tan2ZAOF-----------；----------

71一tan?NAOE|0A|J叫=丁

故选：A.

点评：方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、C的值，根据离心率的定义求解离心率e的值;

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、C的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

10.等差数列｛4｝中，4=16,%=8,S“是数列｛a.｝的前〃项和，则数列的前〃项和最大

时，〃=()

A.20B.21C.20或21D.21或22

答案：C

根据题意求得等差数列的公差d=-2,求得S“=〃(21-〃)，得到」L=(21-〃)，进而求得数列

n

｛1｝的前〃项和何时取得最大值，得到答案.

解：设等差数列｛4｝的公差为d,

因为%=16,。7=8,可得d=4_幺=§J9=-2,贝iJq=20,

7—34

所以=20+(〃-1)x(-2)=22—2n,

川(20+22-2〃)S

所以S〃二=n(21-n),可得二=(21-〃)，

2n

ssS

可得当〃<21,〃GN+时，翌〉0；当〃=21时，j=0；〃>21,〃eN+时，翌<0,

nnn

所以当〃=20或力=21时，数列*的前〃项和取得最大值.

n

故选：C.

11.抛物线y2=2px(p>0),过抛物线的焦点且倾斜角为45。的直线交抛物线于A、8两点，以

AB为直径的圆与y轴交于A/、N两点，且|肱v|=万，贝|”=()

17

A.—B.1C.一D.2

24

答案：B

本题首先可根据倾斜角为45。的直线过抛物线的焦点得出直线的方程为y=x-日，然后联立直线

方程与抛物线方程，得出芭+々=3八%+必=2八|A3|=4p,再然后求出以4?为直径的

圆的方程，最后令x=o,根据|MN|=J7即可求出P的值.

解：抛物线y2=2〃x的焦点为25°/

因为倾斜角为45。的直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为y=x-日，

y2=2Px2

联立《n,整理得/一3庶+2=0,A>0,

y=x4

2

设A(玉,%)，3(毛,%)，则%+々=3°，

y+%=玉+w-p=2p,|阴=%[+%2+〃=4〃,

故圆心坐标为：£P，P,半径为=2p,方程为;g-gp+(y-p)2=4〃2.

+()-=4〃2,解得y=2^p+p或_2^p+p,

当X=()时,

则|MN|=々，=b,p=i,

故选：B.

点评：关键点点睛：本题考查抛物线与圆、直线的相关问题的求解，能否求出以AB为直径的圆的

方程是解决本题的关键，考查韦达定理以及抛物线定义的应用，考查计算能力，是难题.

12.意大利画家列奥多•达芬奇(1452.4-1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的

黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出，固定项链的两端，使其在重

力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人给出了悬链

线的函数解析式：/(x)=«cosh—,其中。是悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其表达式

a

为coshx=g>+—,相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx=.若直线》=机与双曲余弦

22

函数C和双曲正弦函数分别交于A,B两点，曲线C,在点A处的切线与曲线C2在点3处的切线

A.cosh2x+sinh2x=1

B.cosh(x+y)=coshxcoshy-sinhrsinhy

c.忸”随优的增大而减小

D.△PA8的面积随机的增大而减小

答案：D

根据题意，得到cosl？x+sinYx的表达式，结合指数事的运算，即可判断A的正误；根据题意,

得至ijcoshxcoshy-sinhxsinhy的表达式，化简整理，可判断B的正误；设出A、B坐标，利用导数

求得A、B处切线的斜率，进而可得A、B处切线方程，联立求得P点坐标，表示出忸尸|和△Q48

的面积，根据对勾函数、指数函数的性质，可判断C、D的正误，即可得答案.

解：对于A：

cosh2.r+sinh\H1,故

4

A错误;

对于B：coshxcoshy-sinhvsinhy=

22

e、+y+e-r+e"-ev-v+e-f)e">+/一工

cosh(x-y),故B错误;

42

对于C：设Am,

T7/\，

乂(coshx)

,nm

e-e-

所以线G在点A处斜率k[=-——

m.—?wm_-/n

所以曲线G在点A处切线方程为y---=—^—{x-m).

g，，+g

同理,曲线C2在点B处的切线为——

两式联立可得P（机+l,e"'）,

22

所以忸用=1+（e,n-m~-mA=1+i—-~人，所以忸p|=Jl+i—_,_-mL\.

根据对勾函数的性质可得忸4随Bl的增大，先减小后增大，故C错误；

对于D：S.%8=g|A8|xl=ge-m,所以△B4B的面积随加的增大而减小，故D正确.

故选：D

点评：解题的关键是理解题中所给函数，根据指数基运算性质，进行化简运算，考查导数的几何意

义，考查分析理解，运算化简的能力，属中档题.

二、填空题

13.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容

量为28的样本，需抽出的男运动员的人数为.

答案：16

解：分析：先求男运动员在全体运动员中的比例，再按照比例确定需抽出的男运动员人数.

详解：•.•田径队有男运动员56人，女运动员42人

，对应比例为5二6=—4

423

4

抽取一个容量为28的样本，其中男运动员应抽取的人数为「x28=16.

3+4

故答案为16.

点睛：本题考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键.

14.在AABC中，NA=90，AB=2,M是8C中点，则画了.通=.

答案：2

分别以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，分别求出应和而的坐

标，然后计算求值即可.

解：分别以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，如下图：

所以8（2,0）,设C（0,y）,所以等），即加（1，1

所以赤=卜,力，罚=（2,0）,所以褊.丽=1x2+•|x0=2.

故答案为：2.

点评：方法点睛：解决向量数量积的问题，通常有两种思路，第一种思路是用定义，第二种是用坐

标法，把向量用坐标去表示，使问题简单化.

15.等比数列｛q｝中，S“为数列｛4｝的前"项和，S6=5S3,则&=

答案：4

由56=5邑，根据等比数列的求和公式，求得/=4,再由泡=/,即可求解.

。6

解：由题意，公比不等于1,设等比数列的公比为4,

因为S6=5&,可得—-'),即1_/=5(1-d),

\-q\-q

所以1+不=5,解得43=4,所以£="=4.

故答案为：4.

16.如图，边长为1的正方形ABC。所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M、N分

别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a(0<a(后］则下列结论：

①MN长度的最小值为也；

2

②当a=J•时，ME与CN相交；

2

③MN始终与平面BCE平行；

④当a=时，A—MN—3为直二面角.

2

正确的序号是.

答案：①©

以点8为坐标原点，BA、BE、8c所在直线分别为％、>、z轴建立空间直角坐标系，利用空

间中两点间的距离公式、二次函数的基本性质可判断①的正误，证明CM、CN、CE不共面可判

断②的正误，利用空间向量法可判断③的正误，利用二面角的定义可判断④的正误.

解：因为平面平面43EF,平面ABNCOfl平面ABEF=AB，BC1AB,BCu平面

ABCD,.,.BC_L平面AREF,

因为3ELAB，以点B为坐标原点，BA、BE、BC所在直线分别为》、V、z轴建立空间直角

坐标系，

则A（1,O,O）、5（0,0,0）、C（0,0,l）、D（l,0,l）,石（0,1,0）、F（1,1,0）,M^-a,0,1-^-a

N巴,&。]

I22J

亿+1"用—+"Lz"

对于①，|MN|=

W2J22

当且仅当a=变时，等号成立，①正确:

2

,N

—(0一(五母、一，、

CM=丁0,一彳，CN=彳,7-1,CE=(0,l,T),

OV2

—m=—

44

V2

设函=加函+九法，即,n=—,该方程组无解，所以，②错误;

4

------m—1=-1

4

MN-[a,a-1

,平面BCE的一个法向量为而=(1,0,0),

I22J

MN-n=Q＞则丽J.肩，:MNU平面BCE,MN〃平面BCE,③正确;

对于④，当。=也时,

2

设平面AMN的法向量为〃]=（X],y,zJ,=f--,0,—LAN=j—,0

\乙乙J\乙乙

11八

----X|H----Z|=0

n.­AM=0

由_一，得，j;，取玉=1,可得）=（1』」）,

”1•AN=0

~2X，+2y，=°

设平面8MV的法向量为n,=(%2，%，22)，6M，有MJ/，/，。

11,、

-x+-z=0

IX•丽=022

由《二一，得Jj，取々=1,可得%=（1,一1,—1）,

[n.BN=0

~xz+~y->=0

12-2-

所以，勺•心=1—1—1=—1w0,此口寸，二面角A—MV—3不是直二面角，④错误.

故答案为：①③.

点评：结论点睛：利用空间向量法处理平行与垂直问题：设直线4、4的方向向量分别为

a=(xl,y,,zl),B=(X2，%，Z2)，平面a、’的法向量分别为“=(七，％，23)，v=(x4,y4,z4).

(1)/J/'=a〃Boa=/Bo(X]，x，zJ=/l(/,y2，Z2)oX[=义工2，%=几，2，

Z]=2Z2；

(2)IJ/a=a_L〃=a-w=00%毛+y%+*=0；

(3)a"B=ullv=u=卬=%=y3=〃/Z3=；

(4)1}±/2=0_1^=。石=0。玉%+乂M+2仔2=0：

(5)///a=a〃”oa=0“0%，y1-(py3,z}-(pz3；

(6)a!^<^>w±v<^>w-v=0<=>+y3y4+z3z4=0.

三、解答题

17.在AAHC中，内角A,8,C所对的边长分别为a*,c,土是1和四”■的等差中项.

btanfi

(1)求角A；

(2)若Nfi4c的平分线交5c于点。，且AO=百,BC=2,求AABC的面积.

答案：（1）A=y;（2）S.ABC=6-

（i）根据:是i和码4的等差中项得到华=i+¥吧，再利用正弦定理结合商数关系，两角和

btanBbtanB

与差的三角函数化简得到25后。以%4=5皿（4+8）求解；

（2）由S4"=L/?csinA=3反和£4叱=54.,+5"。求得b,c的关系，再结合余弦定理求

解即可.

解：（1）由已知得主=1+”上，

btanB

在AA6c中，由正弦定理得网g=l+皿，

sinBtanB

化简得2sinCcosA=sin（A+8）,

因为A+3=%-C,

所以cosA=—,

2

TT

所以A=一；

3

（2）由正弦定理得SA“='/?csinA=@0c，

△A"（_2।

又5tMic=S^BD+"D=；6csin.+g麻sin芸乎0+c）=日历，

即be=b+cy

由余弦定理得COSA=」="-4=（"+c『―,

22bc2bc

所以hc=4,所以5M8c=G.

点评：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都

要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑

用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不

明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

18.如图，四棱锥P—A8CD的底面为正方形，所有棱长都是1，E，F，G分别是棱尸8,PD，

8c的中点.

(1)求过E，F,G三点的平面截棱锥所得截面的面积；

(2)设过E，F，G三点的平面为a,求心与平面a所成角的大小.

答案：(1)述；(2)

166

(1)设过E，F,G三点的平面为。，得到。与平面ABC。有一个公共点G,取CO中点”，

连接”G,BD，得到E尸〃G”，设平面。与交于点N,得到过E，F，G三点的平面截棱

锥所得截面为EGH/W,结合S面EGHFN=ZSISEGMN，即可求解；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

解：(1)设过E,F，G三点的平面为由已知得平面a与平面ABC。有一个公共点G,则

平面a与平面A8C。有且只有一条过点G的交线，取CO中点”，

连接“G，因为E，F，G分别是棱P8，PD，BC的中点，连接30，

得EFHBD,GHHBD,所以EF//GH,

所以G”是平而a与平而A8CD的唯一一条交线，设平面a与Q4交于点N,

所以过E，F,G三点的平面截棱锥所得截面为EGMV，

因为ABCO为正方形，所有棱长都是1,所以FH=lpC=l,

22

设G〃,AC交于点加，则MN〃PC,且MN=3尸C=3,

44

1050

所以S面EGHFN=25面EGMN=2X

2(24；416

/

(2)建立如图的空间直角坐标系，则P,B0,一孚。I*,孑亭

2JI44J

小亭号G仔邛斗得:丽=1冬一野丽+冬)

底手。「用，

设平面a的法向量为〃=(x,y,z)，则，万-E两F=_O0，得.〃-=。，，0-，1、)，

I——-I

设P8与平面a所成角为e,则sine」"叫一E—1，

|哪|1x722

点评：方法点睛：立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之

重，其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作一一证一一解”的顺序进行；其

一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档

题.

19.某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正

常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成

绩如下：

摸底成绩(X)50354055806065359050

期末成绩(y)53515668877146317968

1010

并计算得：=36220,=34400.

i=li=l

(1)画出散点图;

y

100-

90-

80-

70-

60-

50-

40-

30-

20-

10-

।।।।।ii।।.

O102030405060708090100X

(2)建立一个回归方程，用摸底考试成绩》来预测期末考试成绩y(精确到0.1)；

(3)如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得

某课程结业.

^x^-nxy

(附：占=号---------,a=y-bx)

x-)-nx—~9

E(=1

答案：(1)作图见解析；(2)》=0.7x+22.9；(3)预测摸底考试成绩低于53分学生将不能获得

某课程结业.

(1)根据所给数据画出散点图；

(2)计算元=56,9=61,根据参考数据及公式求出Aa0.68,4a22.92即可求解；

(3)根据回归直线方程当y=60解得x=53.

解：⑴

.V八

100

M-•

♦♦♦

网

*

••

*

40--

20--

6一t十一一~iIfA

SO1Wx

(2)由已知计算得亍=56,9=61,

一阿

36220-WX56X61

则3=丹---------%()68

V"'2—234400-10x562

)M-nx~

/=1

4=》—扇=61—0.68*56=22.92,

所以回归方程为9=0.7x+22.9；

（3）由（2）知，当y=60时，0.7x=60-22.9,解得x=53,

即如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于53分学生将不能获得某课

程结业.

20.已知椭圆E:4+A=1（。＞。〉0）的离心率为巫，左，右焦点分别为《，鸟，在椭圆上有

a2

一点P,满足尸6人尸鸟，且△。耳用的面积为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点Q（l,0）的直线与椭圆交于两点，在x轴上是否存在一个定点/«,（））,使得

而•福为定值？若存在，求出点以的坐标；若不存在，说明理由・

答案：（1）土+乙=1；⑵存在；M-,0.

42U）

（1）由代_1相2，△尸耳用的面积为2.利用椭圆的定义，由

（2耳+桃）2=尸耳2+巴;；2+22耳,用得到4,c的关系，再由e=£=』Z求解：

a2

（2）①当直线AB与x轴不重合时，设直线43的方程为％=〃9+1,4（%1，,）,3（%2，%），由

22

%=阳+1与土+匕=1联立，然后利用数量积运算求解；②当直线AB与x轴重合时，直线43

42

的方程为y=0,然后利用数量积运算求解；

解：（1）因为PK居，

所以2k+2//:公?，

又因为耳弱的面积为2.

所以Pf；，E=4,

由椭圆的定义得：尸耳+尸6=2。，

=4C，2

所以（助+9）2=PF^+PF^+2PFX-PF2=4片+8,

又因为e=£=Y2，

a2

解得C2=2,/=4,

X2y2

所以椭圆E的方程为2-+匕=1；

42

（2）①当直线AB与％轴不重合时，设直线AB的方程为％=加了+1,4（石,弘）,3（工2，%），

22

将x=my+1代入土+匕=1得（加？+2）J+2my—3=0,

42''

b-2m—3

所以M凹•%=-^，

m+2m+2

由题意得M4・MB=（x—，）（％—/）+%%=玉%2T（N+%2）+产+M%,

—2m—3

将玉=my+l,x=my+1,+y=——•%=1一~二，代入上式得

x222疗+2777+2

m2（/—4）+2/2—4f—1

MAMB=[<-要使得宓.丽为定值，

m2+2

即〃H厂―4）+2厂—4―1为定值,即2（/-4）=2/一4—1,解得「=1，

m2+24

7----------15

即/=一时，MAMB=一—为定值，

416

②当直线A3与8轴重合时，直线43的方程为y=0,A（—2,0）,8（2,0）,加[（,0）,

----------15

MAMB=-一成立

16

所以存在定点使得祝5.丽为定值―匕.

点评：方法点睛：（1）求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与

变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.已知函数/（%）=%-In（办+1）（。>0）.

(1)讨论/(x)在区间［0,+8)上的单调性；

(2)证明：当时，ex+(2-e)x>xln(x+l)+l.

答案：(1)答案不唯一，具体见解析；(2)证明见解析.

(1)对函数进行求导，根据导函数的零点的正负性进行分类讨论即可；

(2)根据(1)问题转化证明x»0时，e'+(2-e)x>x2+l,利用二次求导法进行证明即可.

解：(1)因为/'(x)=l--—=-^+1—,其中办+1>0,

6ZX+1OX+1

①当0<a«l时，1一口之0,xe［0,+8)时r(x)20,所以在［(),+<*)上单调递增，

②当4>1时，令/'(力=0,得％=幺'，所以时/'(》)<0,%€(与1+8)

时/'(力>0,所以“X)在［0,一｝上单调递减，在(?,+8)上单调递增，

综上所述，当0<a«l时，/(X)在［0,+8)上为增函数，

当时，“X)在［0,?｝上为减函数，在(—,+oo)上为增函数；

(2)由(1)知当a=l时，/(x)=x-ln(x+l)在［0,+8)上为增函数，

所以xe［0,+oo),

/(%)>/(0)=0,而ln(x+l)Wx,

所以x20时，A：ln(x+l)+l<x2+1,

即只需证xNO时，e*+(2-e)xN尤?+1,

令g(x)=e*+(2—e)x-x2-i,

则g'(x)="+2-e-2x,令〃(x)=e*+2-e-2x,

//(x)=e*—2,//(x)=0,x=ln2,

所以xw(0,ln2),hi(x)<0,xe(ln2,+<x?),”(x)>0,

所以〃(x)在(0,ln2)上为减函数，在(ln2,+o。)上为增函数，

/?(0)=l+2-e>0,/?(ln2)=eln2+2-e-21n2=4-e-21n2<0,/z(l)=0

所以存在％«0,ln2),使得〃(xj=o,

则当XW(0,XJ51,+8)，MX)>0,

当xw(x”l),/z(x)<0,

即g(x)在(0,%)和(,+8)上为增函数,在(为,1)上为减函数，

所以xw[0,xJ时，g(x)2g(0)=0,xw[玉,+8)时，g(x)2g(l)=0,

即xNO时，g(x)»O,所以当时，e'+(2-e)x>xln(x+l)+l.

点评：关键点睛