工程数学概率(一)

工程数学概率(一)CONTENTS概率论基本概念条件概率与独立性一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律与中心极限定理概率论基本概念01在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。在每次试验中都一定发生的事件。在每次试验中都不可能发生的事件。随机现象的某些基本结果组成的集合。随机现象随机事件必然事件不可能事件随机现象与随机事件随机现象所有可能基本结果组成的集合。样本空间的某些子集组成的集合类，满足一定条件。包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。样本空间事件域事件的关系与运算样本空间与事件域概率定义在相同条件下进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。概率性质非负性、规范性、可加性。概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。概率定义及性质古典概型01如果每个样本点发生的概率相等，则称这种概率模型为古典概率模型，简称古典概型。几何概型02如果每个样本点发生的概率只与其几何度量（如长度、面积、体积等）成比例，则称这种概率模型为几何概率模型，简称几何概型。古典概型与几何概型的区别与联系03主要区别在于样本点的选取方式和概率计算方式不同；联系在于它们都是描述随机现象的模型，且在某些情况下可以相互转化。古典概型与几何概型条件概率与独立性02在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。条件概率定义及计算条件概率的计算公式条件概率定义乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，用于计算两个事件同时发生的概率。全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意一个事件A，有P(A)=ΣP(Bi)P(A|Bi)，其中i从1到n求和。乘法公式与全概率公式贝叶斯公式及其应用贝叶斯公式P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/ΣP(Bj)P(A|Bj)，其中i,j从1到n求和，用于计算条件概率。贝叶斯公式的应用在已知某些条件下，预测另一事件的发生概率，如垃圾邮件分类、疾病诊断等。事件独立性的判断方法通过比较P(AB)与P(A)P(B)是否相等来判断两个事件是否独立。事件独立性的应用在复杂系统中，通过判断事件的独立性来简化概率计算，如赌博游戏中的策略制定、通信网络中的可靠性分析等。事件独立性定义如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。事件独立性判断及应用一维随机变量及其分布03随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量的定义随机变量具有可测性、单调性和有界性等基本性质。随机变量的性质随机变量定义及性质离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个可能值的概率。分布律的定义离散型随机变量的分布律可以用概率质量函数或概率分布表来表示。分布律的表示二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型随机变量分布离散型随机变量分布律分布函数的定义连续型随机变量的分布函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率。常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。分布函数的性质连续型随机变量的分布函数具有单调不减、右连续等性质。连续型随机变量分布函数均匀分布均匀分布是一种连续型随机变量分布，它在某个区间内的取值概率是相等的。指数分布指数分布是一种连续型随机变量分布，它描述了一些具有无记忆性的随机现象，如电子元件的寿命等。二项分布和泊松分布二项分布和泊松分布是离散型随机变量中常见的两种分布，分别描述了n次独立重复试验中成功次数的概率分布和单位时间内随机事件发生的次数概率分布。正态分布正态分布是一种连续型随机变量分布，它具有钟形曲线的特点，且均值和标准差决定了曲线的位置和形状。常见一维随机变量分布多维随机变量及其分布04描述多维随机变量取值情况的函数，表示所有随机变量同时取某组值的概率。离散型多维随机变量的联合分布律用概率质量函数表示，连续型多维随机变量的联合分布律用概率密度函数表示。非负性、规范性、可加性。联合分布函数定义联合分布律联合分布性质多维随机变量联合分布边缘分布多维随机变量中，某一随机变量的分布律，即固定其他随机变量的取值后得到的该随机变量的分布律。条件分布在多维随机变量中，当已知部分随机变量的取值时，剩余随机变量的分布律。条件分布反映了在已知某些信息的情况下，剩余随机变量的不确定性。边缘分布与条件分布独立性定义若多维随机变量的联合分布律等于各边缘分布律的乘积，则称这些随机变量是相互独立的。独立性判断通过比较联合分布律与边缘分布律的乘积来判断多维随机变量的独立性。若两者相等，则随机变量独立；否则，随机变量不独立。多维随机变量独立性VS在矩形区域内，二维随机变量的概率密度函数为常数，且在该区域外为零。二维正态分布二维随机变量的概率密度函数呈钟形曲线，且其等高线为椭圆形。二维正态分布具有许多良好的性质，如可加性、独立性和稳定性等。在实际应用中，许多自然现象和社会现象都服从或近似服从二维正态分布。二维均匀分布常见多维随机变量分布随机变量数字特征05描述随机变量取值的平均水平，是概率加权下的平均值。线性性质、常数性质、独立性、单调性等。二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等。数学期望定义数学期望性质常见分布的数学期望数学期望定义及性质方差定义方差、标准差和协方差描述随机变量取值与其数学期望的偏离程度，是各数值与其平均数差值的平方和的平均数。标准差定义方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。衡量两个随机变量的总体误差，反映两个变量线性相关的程度。协方差定义相关系数和矩、协方差矩阵反映两个随机变量线性相关程度的统计量，取值范围为[-1,1]。矩定义描述随机变量分布形态的特征数，包括原点矩和中心矩。协方差矩阵定义描述多个随机变量间相关关系的矩阵，对角线元素为各随机变量的方差，非对角线元素为两两随机变量间的协方差。相关系数定义03特征函数与母函数关系特征函数是母函数的连续化推广，母函数是特征函数在离散情况下的特例。01特征函数定义用于描述随机变量概率分布的函数，包括概率密度函数、分布函数、特征函数等。02母函数定义一种描述离散随机变量概率分布的函数，其自变量为离散随机变量的取值，函数值为该取值的概率。特征函数和母函数大数定律与中心极限定理06大数定律内容及意义大数定律是描述随机现象平均结果稳定性的定理，即当试验次数足够多时，随机事件的频率趋于一个稳定值。内容大数定律为概率论提供了坚实的理论基础，使得我们可以从频率的角度去理解和定义概率。同时，在实际应用中，大数定律也为我们提供了估算和预测随机事件概率的方法。意义中心极限定理是指，当随机变量的数量足够多时，这些随机变量的均值分布将趋近于正态分布，无论这些随机变量本身服从什么分布。中心极限定理是概率论和数理统计中的重要定理之一，它揭示了大量随机变量和的分布规律。在实际应用中，中心极限定理为我们提供了分析和处理大量随机数据的理论依据和方法。内容意义中心极限定理内容及意义设随机变量序列{Xn}和随机变量X分布在相同的概率空间上，如果对于任意正数ε，有lim(n→∞)P(|Xn-X|≥ε)=0，则称{Xn}依概率收敛于X。设随机变量序列{Xn}和随机变量X的分布函数分别为Fn(x)和F(x)，如果对于F(x)的每一个连续点x，都有lim(n→∞)Fn(x)=F(x)，则称{Xn}依分布收敛