工程数学《复变函数》(第四版)课件4-4西安交大

$number{01}工程数学《复变函数》(第四版)课件4-4西安交大目录课程介绍与背景基础知识回顾与拓展解析函数性质探讨积分变换在复变函数中应用级数展开与收敛性判断留数定理及其在计算中应用总结回顾与课程展望01课程介绍与背景03通过本课程的学习，可以培养学生运用复变函数知识解决实际问题的能力，为后续专业课程的学习打下坚实基础。01复变函数是数学的一个重要分支，主要研究复数域上的函数性质及其应用。02课程内容包括复数与复变函数的基本概念、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用等。复变函数课程概述第四版教材在保持前三版优点的基础上，进行了全面修订和更新。新增了部分现代复变函数理论的内容，如多复变函数、Clifford分析等。加强了实际应用方面的内容，如信号处理、流体力学等领域的应用实例。教材结构更加合理，难易程度适中，适合不同层次的学生使用。01020304第四版教材特点与更新西安交大教学特色与要求西安交大复变函数课程注重理论与实践相结合，强调学生的数学素养和创新能力培养。教学过程中采用启发式、探究式等教学方法，鼓励学生积极参与课堂讨论和实践活动。课程考核包括平时成绩、期中考试和期末考试三部分，其中平时成绩占总评成绩的30%。对于希望深入学习复变函数的学生，学校提供了丰富的选修课程和学术资源支持。02基础知识回顾与拓展123复数及其运算规则共轭复数若$z=a+bi$，则其共轭复数为$overline{z}=a-bi$。共轭复数在复数的除法运算中起到重要作用。复数定义形如$z=a+bi$（$a,binmathbb{R}$）的数称为复数，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。复数的四则运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，运算规则与实数的四则运算类似，但需要注意虚数单位的特殊性。复平面以实轴和虚轴为坐标轴构成的平面称为复平面。在复平面上，每一个点都对应一个复数，反之亦然。极坐标表示法在复平面上，复数$z=a+bi$可以用极坐标$(r,theta)$来表示，其中$r=sqrt{a^2+b^2}$是复数的模，$theta=arctan(frac{b}{a})$是复数的辐角。极坐标表示法在解决某些复数问题时更为方便。复平面与极坐标表示法设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是一个复变函数，若$f(z)$在某区域内可微，则$u(x,y)$和$v(x,y)$必须满足柯西-黎曼条件：$frac{partialu}{partialx}=frac{partialv}{partialy}$和$frac{partialu}{partialy}=-frac{partialv}{partialx}$。柯西-黎曼条件柯西-黎曼条件是判断一个复变函数是否解析的重要依据。例如，要证明函数$f(z)=z^2$在整个复平面上解析，可以通过验证其满足柯西-黎曼条件来实现。此外，柯西-黎曼条件还在复变函数的积分、幂级数展开等方面有重要应用。应用举例柯西-黎曼条件及应用举例03解析函数性质探讨0102030405解析函数定义及性质解析函数的定义：在复平面上处处可导的函数称为解析函数。解析函数的性质解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。解析函数的导数仍然是解析函数。解析函数在其定义域内具有无穷阶导数。可导与可微的定义：函数在某点可导是指函数在该点的导数存在；函数在某点可微是指函数在该点可以展开为泰勒级数。如果函数在某点可导，则函数在该点一定可微。如果函数在某点可微，则函数在该点一定可导，且导数值等于泰勒级数展开式的第一项系数。可导与可微的关系可导与可微关系剖析指数函数对数函数三角函数多项式函数典型解析函数类型举例01020304形如f(z)=e^z的函数，其中z为复数。形如f(z)=log(z)的函数，其中z为复数且不等于零。需要注意的是，对数函数在复平面上是多值的，因此需要指定一个分支来定义它。形如f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0的函数，其中a_n,...,a_0为复数常数，n为非负整数。如正弦函数sin(z)和余弦函数cos(z)，其中z为复数。04积分变换在复变函数中应用傅里叶变换的性质傅里叶级数在复平面上的表示傅里叶变换的复数形式傅里叶变换在复变函数中推广在复变函数中，傅里叶变换具有线性性、平移性、伸缩性、微分性、积分性等重要性质，这些性质在信号处理、图像处理等领域具有广泛应用。通过引入复指数函数，将傅里叶级数表示为复平面上的点列，从而简化计算过程。将实数域上的傅里叶变换推广到复数域，得到复数形式的傅里叶变换公式，进一步拓展其应用范围。拉普拉斯变换的定义与性质01拉普拉斯变换是一种将实数函数转换为复数函数的积分变换，具有收敛性、线性性、微分性、积分性、时移性等基本性质。拉普拉斯变换的求解方法02通过留数定理、围道积分等方法，可以求解拉普拉斯变换的逆变换，进而解决一些实际工程问题。拉普拉斯变换在工程中的应用03拉普拉斯变换在电路分析、控制系统、信号处理等领域具有广泛应用，如求解电路中的电流、电压响应，分析控制系统的稳定性等。拉普拉斯变换在复变函数中应用积分变换的数值计算方法针对一些难以直接求解的积分变换问题，可以采用数值计算方法进行近似求解，如快速傅里叶变换（FFT）等。积分变换在工程中的应用实例通过具体工程实例，介绍积分变换在信号处理、图像处理、电路分析等领域的应用，如滤波器设计、图像压缩编码等。积分变换在工程中的优化方法针对实际工程问题中遇到的计算量大、精度要求高等问题，可以采用一些优化方法进行改进，如采用高效算法、并行计算等技术提高计算效率。积分变换在工程实际问题中求解方法05级数展开与收敛性判断0504030201泰勒级数展开式求解方法泰勒级数展开式定义：泰勒级数展开式是将一个函数表示为一个无穷级数的形式，该级数由函数在某点的各阶导数构成。确定函数$f(z)$在点$z_0$处的各阶导数$f'(z_0),f''(z_0),ldots,f^{(n)}(z_0)$。判断级数的收敛性，并确定其收敛域。求解步骤构造泰勒级数展开式：$f(z)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$。洛朗级数展开式定义：洛朗级数展开式是将一个复变函数表示为一个双边无穷级数的形式，该级数由函数在某圆环域内的各阶导数构成。求解步骤确定函数$f(z)$在圆环域内的各阶导数$f'(z),f''(z),ldots,f^{(n)}(z)$。构造洛朗级数展开式：$f(z)=sum_{n=-infty}^{infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$为洛朗系数。通过比较系数法或逐项积分法求解洛朗系数$a_n$。判断级数的收敛性，并确定其收敛域。洛朗级数展开式求解方法级数收敛性判断方法绝对收敛与条件收敛：若级数的每一项的绝对值所构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛；若原级数收敛但其绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。比较判别法：通过比较两个级数的通项大小关系来判断其收敛性。若$\lim{n\to\infty}\left|\frac{u{n+1}}{un}\right|<1$，则级数收敛；若$\lim{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|>1$，则级数发散。达朗贝尔判别法：通过计算级数的通项比值来判断其收敛性。若$\lim{n\to\infty}\frac{u{n+1}}{un}=r<1$，则级数收敛；若$\lim{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=r>1$或极限不存在，则级数发散。柯西判别法：通过判断级数的部分和序列是否收敛来判断原级数的收敛性。若对任意正整数$N$，有$\lim{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum{k=N}^{n}|u_k|}=0$，则级数收敛。06留数定理及其在计算中应用留数定义如果函数$f(z)$在简单闭曲线$C$及其内部解析，除有限个孤立奇点外，则$f(z)$沿$C$的积分等于$2pii$乘以$f(z)$在$C$内部所有奇点的留数之和。留数定理性质留数与积分路径无关，只与奇点位置有关；对于可去奇点和本质奇点，留数计算方法有所不同。对于函数$f(z)$在孤立奇点$z_0$处的洛朗展开式，其负一次幂的系数即为$f(z)$在$z_0$处的留数。留数定理基本概念和性质函数在该点解析，洛朗展开式无负幂项，因此留数为0。可去奇点根据极点的阶数，通过求导和取极限的方式计算留数。对于一阶极点，留数为$lim_{ztoz_0}(z-z_0)f(z)$；对于高阶极点，可通过多次求导计算。极点通过洛朗展开式计算留数，需要求出足够多项的展开式以找到负一次幂的系数。本质奇点计算留数方法和技巧计算含有根式的积分计算形如$int_{-infty}^{infty}frac…计算含有三角函数或指数函数的积分利用留数定理计算实积分通过适当的变量代换将根式转化为复变函数的形式，然后应用留数定理进行计算。其中$P(x)$和$Q(x)$为多项式，且$Q(x)$的阶数高于$P(x)$。通过构造复变函数和选取适当的积分路径，将实积分转化为复积分，然后应用留数定理计算。通过欧拉公式将三角函数或指数函数转化为复指数形式，然后应用留数定理进行计算。07总结回顾与课程展望掌握了复变函数的基本概念，包括复数、复平面、复变函数等；本次课程内容总结回顾学习了复变函数的极限、连续、可导等性质，以及柯西-黎曼条件；深入理解了复变函数的积分，包括复积分的定义、性质、计算方法等；探讨了复变函数在工程领域中的应用，如电磁学、流体力学等。学生自我评价报告分享通过本次课程，我对复变函数的基本概念和性质有了更深入的理解；我掌握了复变函数的极限、连续、可导等性质的判断方法；我能够熟练计算复变函数的