2023学年完整公开课版力的分解

力的分解一、力的分解1.力的分解定义：求一个已知力的_________的过程，力的分解是力的合成的___________。

分力逆运算2.力的分解法则：遵循力的平行四边形定则。把一个已知力F作为平行四边形的___________，与力F共点的平行四边形的两个_________，就是表示力F的两个分力F1和F2。

对角线邻边3.分解依据：（1）一个力分解为两个力，如果没有限制，可以分解为_______大小、方向不同的分力。（2）实际问题中，要依据力的_________________或需要分解。

无数对实际作用效果二、力的正交分解1.定义：把力沿着两个选定的相互_________（选填“垂直”或“平行”）的方向分解的方法，如图所示。

垂直2.公式：F1=____________，F2=____________。

3.正交分解适用于各种_____________（选填“矢量运算”或“代数运算”）。

FcosθFsinθ矢量运算三、力的分解的应用1.在生产生活中，力的分解有着十分广泛的应用，如_____________，城市中___________要建很长的引桥，等等。

盘山公路高架桥2.当合力一定时，分力的大小和方向将随分力间夹角的改变而改变。在两分力大小相等的情况下，分力间夹角越大，分力_________（选填“越大”或“越小”）。

越大一、力的分解的讨论1.力的分解的本质和条件：（1）本质：力的分解有解或者无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形（或者三角形）。（2）条件：若可以构成平行四边形（或者三角形），说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解。2.常见的有以下四种情况：条件已知示意图分解示意图解的情况已知两个力的方向唯一解条件已知示意图分解示意图解的情况已知一个分力的大小和方向唯一解条件已知示意图分解示意图解的情况已知两个分力的大小F1+F2>F两解F1+F2=F唯一解F1+F2<F无解条件已知示意图分解示意图解的情况已知合力的大小和方向以及它的一个分力（F2）的大小和另一个分力（F1）的方向F2<Fsinθ无解F2=Fsinθ唯一解条件已知示意图分解示意图解的情况已知合力的大小和方向以及它的一个分力（F2）的大小和另一个分力（F1）的方向Fsinθ<F2<F两解F2>F唯一解【典例示范】如图所示，将一个力F=10N分解为两个分力①，已知一个分力F1的方向与F成30°角②，另一个分力F2的大小为6N，则在该力的分解中③（）A.有唯一解 B.有两解C.有无数组解 D.无解【审题关键】序号信息提取①一个力可能分解为无数对分力②两个分力中F1的方向确定③解的个数可能有几种情况【解析】选B。已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一个分力的最小值为Fsin30°=5N，而另一个分力大小大于5N小于10N，所以力的分解有两组解，如图。故B正确，A、C、D错误。故选B。【素养训练】1.（多选）如图所示，将一个力F分解为两个力，其中一个力F1的方向与F的夹角为α，另一个分力的大小为F2，则关于力的分解正确的是（）A.当F2=Fsinα时，有唯一解B.当F2>F时，无解C.当F2<Fsinα时，有唯一解D.当Fsinα<F2<F时，有两个解【解析】选A、D。若F2=Fsinα，由几何关系，则有唯一解，故A正确；若F2≥F，由平行四边形定则，结合几何关系，则有唯一解，故B错误；若F2<Fsinα，由平行四边形定则，结合几何关系，则没有解，故C错误；若Fsinα<F2<F，由平行四边形定则，结合几何关系，则有两个解，故D正确。所以A、D正确，B、C错误。2.如图所示，某人正在用绳子拉动小车，绳对车的拉力F与水平方向的夹角为θ，小车沿水平地面做匀速直线运动，则小车受到的阻力大小为 （）A.Fcosθ

B.Fsinθ

【解析】选A。分析小车的受力：重力、拉力F、地面的支持力和阻力f。根据正交分解法得：f=Fcosθ，故选A。【补偿训练】1.当直升机倾斜飞行时，螺旋桨产生的升力F垂直于机身，升力F与竖直方向的夹角为θ。现沿水平和竖直两个方向分解力F，如图所示。下列说法中正确的是（）A.水平分力大小为Fx=FcosθB.水平分力大小为Fx=FtanθC.竖直分力大小为Fy=FcosθD.竖直分力大小为Fy=Ftanθ【解析】选C。将力F分解为两个相互垂直的分力，其中沿水平方向的分力大小为：Fx=Fsinθ。竖直分力大小为Fy=Fcosθ，故C正确，A、B、D错误；所以选C。2.一个质量为10kg的球体置于光滑斜面上，被一接触面光滑的竖直挡板挡着，如图所示，斜面与水平面间的夹角为30°。球体对斜面及挡板的作用力为多大？【解析】以小球为研究对象，将重力按效果进行分解，分解成垂直于挡板和垂直于斜面的两个分力，作出力的分解图，如图根据几何知识得到：F1=NF2=mgtanθ=N所以小球对斜面的压力大小等于N，小球对挡板的压力大小等于N答案：N

N二、力的正交分解1.坐标轴的选取：原则上坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，坐标轴的选取一般有以下两个原则：（1）使尽量多的力处在坐标轴上；（2）尽量使某一轴上各分力的合力为零。2.正交分解的适用情况：适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况。3.正交分解求合力的步骤：（1）建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。（2）正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx=F1x+F2x+…Fy=F1y+F2y+…（4）求共点力的合力合力大小F=合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα=。【典例示范】在我国东北寒冷的冬季，狗拉雪橇曾经是人们出行的常见交通工具，如图所示。一质量为30kg的小孩坐在10.6kg的钢制滑板的雪橇上①，狗用与水平方向成37°斜向上的拉力②拉雪橇，雪橇与冰道间的动摩擦因数为0.02，求狗要用多大的力才能够拉雪橇匀速前进③。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）【审题关键】序号信息提取①小孩和雪橇看为整体，质量为二者之和②F与水平方向成37°夹角斜向上，摩擦力不是μmg③雪橇匀速前进，受力平衡，合力为零雪橇匀速运动时有竖直方向：（M+m）g=N+Fsin37°①水平方向：Fcos37°=f ②又f=μN ③由①②③得：狗拉雪橇匀速前进要用力为F==10N答案：10N【解析】由题意，雪橇匀速前进，对小孩和雪橇整体受力分析，如图所示：【规律方法】应用正交分解法解题的技巧（1）可借助于数学中的直角坐标系对力进行描述。（2）分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简单、容易求解。（3）正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法。（4）利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小。【素养训练】1.如图，用一绳子a把物体挂起来，再用另一根水平的绳子b把物体拉向一旁固定起来。物体的重力是60N，绳子a与竖直方向的夹角θ=37°，绳子a与b对物体的拉力分别是多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）【解析】以物体为研究对象，分析受力情况，并进行正交分解由于物体处于静止状态，所以Tasin37°=Tb ①Tacos37°=mg ②联立解得Ta=75N③Tb=45N④所以绳子a和绳子b对物体的拉力分别是75N和45N。答案：75N

45N2.如图所示，水平地面上的物体重G=100N，受到与水平方向成37°角的拉力F=60N，支持力N=64N，摩擦力f=16N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。【解析】对物体进行受力分析，并进行正交分解，如图所示：则x方向的合力：Fx=Fcos37°-f=60×0.8N-16N=32N；y方向的合力：Fy=Fsin37°+N-G=60×0.6N+64N-100N=0N；所以合力大小F合=Fx=32N，方向水平向右；则动摩擦因数为：μ==0.25。答案：32N，方向水平向右0.25【补偿训练】1.（多选）如图所示，重20N的物体放在粗糙水平面上，用F=8N的力斜向下推物体。F与水平面成30°角，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，则物体（）A.对地面的压力为28NB.所受的摩擦力为NC.所受的合力为5ND.所受的合力为0【解析】选B、D。对物体进行受力分析，受重力、推力F、地面的支持力N和摩擦力f，作出力的示意图，运用正交分解法。在竖直方向受力平衡，有：N=G+Fsin30°=20N+8×0.5N=24N，则物体对地面的压力为24N；物体的最大静摩擦力为fm=μN=0.5×24N=12N，F的水平方向分力大小为F′=Fcos30°=N<fm，所以物体没能被推动，保持静止状态，物体所受的摩擦力为f=Fcos30°=N，故A错误，B正确；由以上分析可知，物体处于静止状态，合力为零，故C错误，D正确。所以选B、D。2.如图所示，三个共点力分别为F1=5N，F2=10N，F3=15N，θ=60°，试求：（1）三个力沿x轴方向合力的大小，沿y轴方向合力的大小。（2）三个力合力的大小和方向。【解析】（1）沿x轴方向Fx=F3+F2cosθ-F1=15N沿y轴方向Fy=F2sinθ=5N（2）三力的合力设合力与x轴正方向的夹角为α，则tanα=，则α=30°。答案：（1）15N

5N

（2）10N与x轴正方向的夹角为30°三、力的分解的应用力的分解的实例及原理：实例分析地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2。F1=Fcosα，F2=Fsinα实例分析质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2。F1=mgsinα，F2=mgcosα实例分析质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2。F1=mgtanα，F2=实例分析质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，其重力产生两个效果：一是对OA的拉力F1；二是对OB的拉力F2。F1=mgtanα，F2=实例分析质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2。F1=mgtanα，F2=【思考·讨论】明朝初期的1405年7月11日，郑和奉命开始了七下西洋的航海活动。郑和下西洋时配备的63艘船都是非常巨大的，最大的一艘宝船长151.18米、宽61.6米，船上有9根桅杆可挂12张帆。这么大的船没有机械动力，都是靠自然风力行驶的。如果遇到逆风，船是如何行驶的呢？（科学探究）提示：逆风行舟时若要扬帆借助风力，船实际的航向就不能沿原定航向，而应使船的实际航向偏离原定航向一定的角度，帆面与实际航向间也成一定的角度。作用在帆面上的风力可以分解为平行帆面的力F1和垂直帆面的力F2。【典例示范】如图甲所示，细绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB=30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：（1）细绳AC段的张力TAC与细绳EG的张力TEG之比。（2）横梁BC对C端的支持力。（3）轻杆HG对G端的支持力。【解析】（1）图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力TAC=TCD=M1g。图乙中由TEGsin30°=M2g得TEG=2M2g，所以得。（2）图甲中，根据平衡规律，由正弦定理可得所以横梁BC对C端的支持力为：NC=TAC=M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。（3）图乙中，根据平衡方程有TEGsin30°=M2g、TEGcos30°=NG，所以NG=M2gcot30°=M2g，方向水平向右。答案：（1）（2）M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方（3）M2g，方向水平向右【素养训练】1.自卸车常用来进行土方、砂石、散料等的装卸运输工作。当自卸车的车厢从水平倾斜到一定角度时，车厢上的货物如集装箱就会自动滑下。下列说法正确的是（）A.车厢倾斜角度越大，集装箱对车厢的压力越大B.车厢倾斜角度越大，集装箱与车厢的动摩擦因数越小C.集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力D.集装箱开始下滑时，受到的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力【解析】选D。由力的分解知识可知，集装箱对车厢的正压力为N=Gcosθ，所以，车厢倾角越大，车厢与集装箱间的正压力逐渐减小，故A错误；集装箱与车厢的动摩擦因数与接触面的粗糙程度有关，与倾角无关，故B错误；根据共点力平衡，集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的摩擦力等于重力沿斜面方向的分力，故C错误；集装箱开始下滑时，处于非平衡状态，集装箱滑动后的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力，故D正确。2.如图所示，三角形轻支架ABC的边长AB=20cm，BC=15cm。在A点通过细绳悬挂一个重30N的物体，求AB杆、AC杆所受弹力的大小。【解析】绳的拉力F=G=30N，绳对A点的拉力产生两个效果：沿杆AB水平向右的分力F1和沿杆AC向下的分力F2，如图所示。由勾股定理得AC=25cm。设AC与墙的夹角为α，则cosα=，tanα=则两分