三角函数微分公式

学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载三角函数微分公式（转载）V重恒收录于2011-02-24阅读数：公众公开

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我也要收藏 基本函数函数 英语 简写 关系\o"正弦"正弦 Sine sin \o"餘弦"余弦 Cosine cos \o"正切"正切 Tangent tan

（或tg） \o"餘切"余切 Cotangent cot

（或ctg、ctn） \o"正割"正割 Secant sec \o"餘割"余割 Cosecant csc

（或cosec） [\o"編輯段落:少用函數"编辑]少用函数除六个基本函数，历史上还有下面六个函数：\o"正矢"正矢\o"餘矢"余矢\o"半正矢(頁面未存在)"半正矢\o"半餘矢(頁面未存在)"半余矢\o"外正割(頁面未存在)"外正割\o"外餘割(頁面未存在)"外余割[\o"編輯段落:歷史"编辑]历史随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其它边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有\o"尼西亞(頁面未存在)"尼西亚的\o"喜帕恰斯"喜帕恰斯（公元前180－125年）、\o"埃及"埃及的\o"托勒密"托勒密（公元90－180年）、\o"Aryabhata(頁面未存在)"Aryabhata（公元476－550年），\o"Varahamihira(頁面未存在)"Varahamihira、\o"婆羅摩笈多"婆罗摩笈多、\o"花拉子密"花拉子密、\o"Abūal-Wafā'al-Būzjānī(頁面未存在)"Abūal-Wafā'al-Būzjānī、\o"歐瑪爾·海亞姆"欧玛尔·海亚姆、\o"婆什迦羅第二"婆什迦罗第二、\o"Nasiral-Dinal-Tusi(頁面未存在)"Nasiral-Dinal-Tusi、\o"Ghiyathal-Kashi(頁面未存在)"Ghiyathal-Kashi（14世纪）、\o"UlughBeg(頁面未存在)"UlughBeg（14世纪）、\o"約翰·繆勒"约翰·缪勒（1464）、\o"Rheticus(頁面未存在)"Rheticus和Rheticus的学生ValentinOtho。\o"MadhavaofSangamagramma(頁面未存在)"MadhavaofSangamagramma（约1400年）以\o"級數"无穷级数的方式做了三角函数的\o"數學分析"分析的早期研究。\o"歐拉"欧拉的《\o"無窮微量解析入門(頁面未存在)"无穷微量解析入门》（IntroductioinAnalysinInfinitorum）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了\o"歐拉公式"欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。[\o"編輯段落:直角三角定義"编辑]直角三角定义[\o"編輯段落:直角三角形中"编辑]直角三角形中a,b,h为角A的对边、邻边和斜边在\o"直角三角形"直角三角形中仅有\o"銳角"锐角三角函数的定义。一个锐角的\o"正弦"正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sinA=对边／斜边=a/h。一个锐角的\o"餘弦"余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cosA=邻边／斜边=b/h。一个锐角的\o"正切"正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tanA=对边／邻边=a/b。[\o"編輯段落:直角坐標系中"编辑]直角坐标系中设α是平面直角坐标系xOy中的一个\o"象限角"象限角，是角的终边上一点，是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：函数名 定义 函数名 定义正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 [\o"編輯段落:單位圓定義"编辑]单位圆定义\o"單位圓"单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的\o"單位圓"单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据\o"勾股定理"勾股定理，单位圆的等式是：图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。在笛卡尔平面上f(x)=sin(x)和f(x)=cos(x)函数的图像。对于大于2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的\o"周期函數"周期函数：对于任何角度θ和任何\o"整數"整数k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的「基本周期」（primitiveperiod）。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其它四个三角函数可以定义为：在笛卡尔平面上f(x)=tan(x)函数的图像。在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角(k+1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k+1/2)π有垂直\o"漸近線"渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k+1/2)π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k+1/2)π的时候函数接近负无穷。另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的\o"弦"弦AB，这里的θ是对向角的一半，sin(θ)是AC（半弦），这是\o"印度"印度的\o"Aryabhata(頁面未存在)"Aryabhata（AD476–550）介入的定义。cos(θ)是水平距离OC，\o"正矢"versin（θ）=1−cos(θ)是CD。tan(θ)是通过A的\o"切線"切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ)是另一个切线段AF。sec(θ)=OE和csc(θ)=OF是\o"割線"割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是\o"外正割(頁面未存在)"exsec（θ）=sec(θ)−1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2（90度）的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。[\o"編輯段落:級數定義"编辑]级数定义正弦函数（蓝色）十分接近于它的5次泰勒级数（粉红色）。只使用几何和\o"極限"极限的性质，可以证明正弦的\o"導數"导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在\o"微積分"微积分中，所有角度都以\o"弧度"弧度来度量）。我们可以接着使用\o"泰勒級數"泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有\o"實數"实数x都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在\o"傅立葉級數"傅立叶级数中），因为\o"無窮級數"无穷级数的理论可从\o"實數"实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的\o"導數"可微性和\o"連續函數"连续性便可以单独从级数定义来确立。其它级数可见于：\o""[1] 这里的是n次\o"交錯變換(頁面未存在)"上／下数，是n次\o"伯努利數"伯努利数，（下面的）是n次\o"歐拉數"欧拉数。在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为「正切数」，它有一个\o"組合數學"组合解释：它们枚举了奇数\o"勢"势的有限集合的\o"交錯排列(頁面未存在)"交错排列（alternatingpermutation）。 在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做「正割数」，有\o"組合數學"组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。 从\o"複分析"复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。[\o"編輯段落:與指數函數和複數的聯繫"编辑]与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是\o"指數函數"复指数函数在它的自变数为纯\o"虛數"虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由\o"歐拉"欧拉注意到，叫做\o"歐拉公式"欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在\o"複平面"复平面中eix所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。进一步的，这样就可以定义对复自变量z的三角函数：这里的i2

=

−1。还有对于纯实数x，我们还知道，这种指数过程与周期行为有密切的联系。复平面中的三角函数。 sin(z) cos(z) tan(z) cot(z) sec(z) csc(z)[\o"編輯段落:微分方程定義"编辑]微分方程定义正弦和余弦函数都满足\o"微分方程"微分方程就是说，每个都是它自己的二阶导数的负数。在由所有这个方程的解的二维\o"向量空間"向量空间V中，正弦函数是满足初始条件y(0)=0和y′(0)=1的唯一解，而余弦函数是满足初始条件y(0)=1和y′(0)=0的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了V的\o"基(線性代數)"基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见\o"線性微分方程"线性微分方程）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的\o"三角恆等式"三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足意味着它们是二阶算子的\o"特徵函數"特征函数。正切函数是非线性微分方程满足初始条件y(0)=0的唯一解。有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程；参见Needham的《VisualComplexAnalysis》。\o""[2][\o"編輯段落:弧度的重要性"编辑]弧度的重要性弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一个角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的则导数将正比于「振幅」。.这里的k是表示在单位之间映像的常数。如果x是度，则这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程,但满足;对余弦也是类似的。这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。[\o"編輯段落:恆等式"编辑]恒等式主条目：\o"三角恆等式"三角恒等式三角函数之间存在很多恒等式，其中最常用的是毕达哥拉斯恒等式，它声称对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1。这可从斜边为1的直角三角形应用\o"勾股定理"勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加「2」次幂：在某些情况下里面的括号可以省略。另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用\o"托勒密"托勒密的论证方法推导出来；还可以用代数方法使用\o"歐拉公式"欧拉公式得出。 当两个角相同的时候，和公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式。这些等式还可以用来推导\o"三角恆等式"积化和差恒等式，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像\o"對數"对数那样使运算更加快速。[\o"編輯段落:微積分"编辑]微积分三角函数的\o"積分"积分和\o"導數"导数可参见\o"導數表(頁面未存在)"导数表、\o"積分表"积分表和\o"三角函數積分表"三角函数积分表。下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。 [\o"編輯段落:利用函數方程定義三角函數"编辑]利用函数方程定义三角函数在\o"數學分析"数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的\o"函數方程"函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个\o"實函數"实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数sin和cos使得对于所有实数x和y，下列方程成立：并满足附加条件.从其它函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义\o"有限域"伽罗瓦域中的\o"三角學"三角学。[\o"編輯段落:計算"编辑]计算三角函数的计算是个复杂的主题，由于\o"計算機"计算器和提供对任何角度的内置三角函数的\o"科學計算器"科学计算器的广泛使用，现在大多数人都不需要了。本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情：历史上三角函数表的使用，计算器使用的现代技术，以及容易找到简单精确值的一些「重要」角度。（下面只考虑一个角度小范围，比如0到π/2，因为通过三角函数的周期性和对称性，所有其它角度可以化简到这个范围内。）主条目：\o"生成三角函數表(頁面未存在)"生成三角函数表有计算器之前，人们通常通过对计算到多个\o"有效數字"有效数字的三角函数表的\o"內插"内插来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。现代计算器使用了各种技术。\o""[3]一个常见的方式，特别是在有\o"浮點數"浮点单元的高端处理器上，是组合\o"多項式"多项式或\o"有理函數"有理式\o"逼近論(頁面未存在)"逼近（比如\o"切比雪夫逼近"切比雪夫逼近、最佳一致逼近和\o"Padé逼近(頁面未存在)"Padé逼近，和典型用于更高或可变精度的\o"泰勒級數"泰勒级数和\o"羅朗級數"罗朗级数）和范围简约与表查找—首先在一个较小的表中查找最接近的角度，然后使用多项式来计算修正。\o""[4]在缺乏\o"算術邏輯單元"硬件乘法器的简单设备上，有叫做\o"CORDIC演算法(頁面未存在)"CORDIC算法的一个更有效的算法（和相关技术），因为它只用了\o"移位(頁面未存在)"移位和加法。出于性能的原因，所有这些方法通常都用\o"硬體"硬件来实现。对于非常高精度的运算，在级数展开收敛变得太慢的时候，可以用\o"算術幾何平均(頁面未存在)"算术几何平均来逼近三角函数，它自身通过\o"複數"复数\o"橢圓積分"椭圆积分来逼近三角函数。\o""[5]主条目：\o"精確三角函數常數"精确三角函数常数最后对于一些简单的角度，使用\o"畢達哥拉斯定理"毕达哥拉斯定理可以很容易手工计算三角函数的值，像下面例子这样。事实上，π/60\o"弧度"弧度（3°）的任何整数倍的正弦、余弦和正切都可以手工计算。考虑等腰直角三角形，两个角都是π/4弧度（45°）。邻边b和对边a的长度相等；我们可以选择a=b=1。π/4弧度（45°）的角的正弦、余弦和正切可以通过毕达哥拉斯定理来计算：.所以：,.要确定π/3弧度（60度）和π/6弧度（30度）角的三角函数，我们可以从边长为1的等边三角形开始。它所有的角都是π/3弧度（60度）。把它等分为二，我们便得到一个角是π/6弧度（30度）和一个角是π/3弧度（60度）的直角三角形。这个三角形中，最短的边=1/2、第二短的边=(√3)/2而斜边=1。得出：,,.[\o"編輯段落:三角函數的特殊值"编辑]三角函数的特殊值三角函数中有一些常用的特殊函数值。函数名 sin 0 1cos 1 0tan 0 1 cot 1 0sec 1 2 csc 2 1[\o"編輯段落:反三角函數"编辑]反三角函数主条目：\o"反三角函數"反三角函数由于三角函数属于\o"周期函數"周期函数，而不是\o"單射函數"单射函数，所以严格来说并没有\o"反函數"反函数。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的\o"定義域"定义域，使得三角函数成为\o"雙射函數"双射函数。基本的反三角函数定义为：反三角函数 定义 值域 对于反三角函数，符号sin−1和cos−1经常用于arcsin和arccos。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。使用「arc-」前缀的符号避免了这种混淆，尽管「arcsec」可能偶尔跟「\o"角分"arcsecond」混淆。正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如，这些函数也可以通过证明它们是其它函数的原函数来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分：可以在\o"反三角函數"反三角函数条目中找到类似的公式。使用复\o"對數"对数，可以把这些函数推广到复数辐角上：[\o"編輯段落:性質和應用"编辑]性质和应用三角函数，正如其名称那样，在\o"三角學"三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。[\o"編輯段落