解析2021届江西省上饶市高考二模数学（理）试卷

绝密★启用前

2021届江西省上饶市高考二模数学（理）

试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合A={1,2,3,4},集合3={小<3},则AC|B=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.[1,2]D.（1,3）

答案：A

利用交集的定义可求得集合4nB.

解：因为集合A={1,2,3,4},集合8={x|x<3},则403={1,2}.

故选：A.

2.复数z满足z-i=l+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：D

利用复数的四则运算法则，可求出z=t^=2-i,从而可求出z在复平面内所对应

1

的点的坐标，从而可得到答案.

解：由题意，z=9=（l+2i）i=2—i,则复数z在复平面内所对应的点为（2,-1）,

i-1

在第四象限.

点评：本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.

3.等比数列{4}中，%=4,生4=64,则%=（）

A.2夜B.8C.16D.32

答案：C

利用等比数列的性质，由a2a6=64,得到a2a6=a3a5=64求解.

解：因为等比数列{q}中，a2a6=64,

所以44=%%=64,

又因为4=4，

所以4=16,

故选：C

4.大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤

以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在

电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴08在平面

a内绕点。左右摆动，平面a与水平地面垂直，03摆动的过程中，点A在平面/内

绕点3作圆周运动，并且始终保持0B,尸，BG。,设OB=3AB,在“大摆锤”启

动后，下列结论错误的是（）

A.仅与水平地面所成锐角记为。，直线0B与水平地面所成角记为6,则6+5为定

值；

B.点A在某个定球面上运动；

C.可能在某个时刻，AB±a；

D.直线OA与平面a所成角的余弦值的最大值为题.

10

答案：D

TT

设a□，=/，由可确定5+6=5,知A正确；

由0A=\]0B2+AB2知OA为定值，知B正确；

若cn，=/，当AB_L/时，由线面垂直的判定可知AB,a,知C正确；

当ABua时，OAua,则所成角最小为0,知D错误.

解：对于A,作出简图如下，其中=则/与水平地面所成角即为夕与水平地面

所成角,

o

7T

\-OBip,1&/3,.-.OB±l,则b+e=5,A正确；

对于B,•••点A在平面夕内绕点B作圆周运动，并且始终保持。3，万，

/.OA=y/OB2+AB21又为定值，.•.04为定值，

.••点A在某个定球面上运动，B正确；

对于C,•.•08J■夕，ABu/?,.•.AB_LO3,若。口尸=/，则当AB_L/时，A3，a,

C正确；

对于I）,当AButz时，直线OA与平面a所成角为0,所成角取得最小值，

二直线OA与平面a所成角的余弦值的最大值为1，D错误.

故选：D.

5.函数/（x）=sin（2x+?）的图象（）

A.关于点（一§,0）对称

B.可由函数丁=4112彳的图象向左平移今个单位得到

6

C.关于直线*=把57r对称

12

D.可由函数丁=4112》的图象向左平移专个单位得到

答案：D

利用代入检验法可知AC错误；根据三角函数平移变换可知B错误，D正确.

解：对于A,当％=时，2x+工=—2，不是/（x）的对称中心，A错

362\3J

误；

对于B,将旷=sin2x向左平移方个单位得y=sin|2卜+'|=sin（2x+g）,B错

误;

5ITTT5TT

对于c,当工=》时，2》+々=乃，.”=方不是/（x）的对称轴，C错误;

对于D,将丁=sin2x向左平移3个单位得丁=sin2卜+'J=sin（2x+（,D正

确.

故选：D.

点评：方法点睛：判断是否为正弦型函数y=Asin（Q）x+s）的对称轴、对称中心和单

调区间时，通常采用代入检验的方式，即将大的取值代入5+9,整体对应丫=5皿方的

对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.

x+y>A

6.变量x,>满足约束条件y-x«2,则z=£的最大值为（）

x

x<4

3

A.-B.2C.3D.5

2

答案：C

由约束条件可得可行域，将问题转化为（x,y）与坐标原点连线的斜率最大值的求解，由

数形结合的方式可得结果.

解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

由图象可知，A点与坐标原点连线的斜率最大,

x+y=4x=\

由《.c得：\,即A（l,3）,...%g=3,即z=?的最大值为3.

[y-x=23=3

故选：C.

点评：方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有:

Cl7

①截距型：z=ax+hy,将问题转化为y=-一+一在丁轴截距的问题；

hb

②斜率型：z=T,将问题转化为（x,y）与（。,。）连线斜率的问题；

x-a

③两点间距离型：z=（X—a）2+（y—，将问题转化为（x,y）与（。,。）两点间距离的

平方的问题；

④点到直线距离型：z=|Ar+为+。，将问题转化为（x,y）到直线Ax+By+C=O的

距离的,42+52倍的问题.

X

7.函数/（幻二\~泊2^^^^^的部分图象大致为（）

先利用奇偶性排除部分选项，再由xeO,1^时，函数值的符号判断.

解：因为函数/（X）的定义域为R且

1-21

八一x)=1^hC°s(r)•cos%=-/(%)

1+2*

所以函数/（X）是奇函数，故排除BC,

1-2V

又XC吟时，2*>l,cosx>0,所以=~.cosx<0,故排除A.

故选：D.

8.在边长为4的正方形侬》内部任取一点〃，则满足Z4MB为锐角的概率为（）

答案：A

先根据为直角时，得到点M在以为直径的圆周上，然后确定当为锐

角时，点材所在的区域，分别求得面积，代入公式求解.

解：当为直角时，点材在以46为直径的圆周上，此时，半圆的面积为2"，

因为ZAMB为锐角，所以点材在正方形内与圆周以外的部分，

如图所示阴影部分：

1二O

所以满足为锐角的概率为〃=上1=1—£.

168

故选：A

点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.函数/(x)=2sinx-x(x>0)的所有极大值点从小到大排成数列｛4｝,设S“是数

列｛4｝的前〃项和，则COSS2021=()

11

A.1B.—C.--D.0

22

答案：B

求导数确定极大值点，得见，然后由等差数列的前〃项和公式得S“，再计算cosS2M.

解：在/(x)=2sinx-x,先在xeR时讨论时极值点.

1JI

由已知/'(X)=2cosx-l由2cos%—1=0得cosx=—,x=2k7r+—或

23

x=2k兀——,keZ,

3

7T7T

易知当2&万---<x<2&万■)—(ZeZ)时，f(x)>。,当

33

TTTT

2k7V+-<X<2(k+l)7T--(k&Z)时，f\x)<0,所以/(x)的极大值点是

33

x=2k兀H■一,keZ,

3

TTjr

所以%=2(〃—1)乃+§,｛4｝是等差数列，公差。=2%,首项为4=1,

S2⑼=2021x弓+〃(；Dx2乃=673万+菖+〃(〃—1)万，〃(八一1)是偶数，

--..c/2万、8兀、711

所以COSd202|=COS(7+=COS(2»一耳)=COSy=—.

故选：B.

点评：关键点点睛：本题考查导数与函数的极值点，考查等差数列的前〃项和公式，余

弦函数的诱导公式.解题关键是掌握极值的定义，注意极大值点与极小值点的区别.

10.如图，4B是圆。的一条直径且43=2,故是圆。的一条弦，且£尸=1，点P

在线段族上，则丽.丽的最小值是（）

A.—

2

答案：B

oruur

根据平面向量的线性运算法则，得到PA-P8=P。-1,再由圆的性质，得到|pq的

最小值，即可得出结果.

解：由题意可得，

丽•丽=（而+砺）•即+砺）=（而+丽•闷-西）

T珂_研=网

为使10H最小，只需OPLEF,根据圆的性质可得，此时P为EF中点时；

又EF=l，因此PO

所以西•而的最小值为

故选：B.

11.双曲线£：三一/=1（。>0/>0）的右焦点为尸2，A和3为双曲线上关于原

点对称的两点，且A在第一象限.连结A用并延长交双曲线于点2，连结若

△8鸟P是等边三角形，则双曲线后的离心率为（）

B.晒C.V19

答案：D

根据对称关系可知四边形A£B6为平行四边形，设忸闾=忙闾=|4用=〃，利用双

曲线定义可用〃，a表示出|Ag|,|P^|，在△AP6中，利用余弦定理可构造方程得到

。之间关系；在4月入心中，利用余弦定理可化简得到关于a,c的齐次方程，由此求

得离心率.

•.,4,8关于原点。对称且。为耳弱中点，，四边形入为平行四边形，

27rTC

又△8月尸为等边三角形，.•.48鸟4=万一/8鸟尸=7，.♦.N£A居=彳；

设忸月|=|P闾=|然|=〃，由双曲线定义知：|4闾=〃—2a,忸制=〃+2”，

在△APG中，由余弦定理得：归耳『=|46「+|4川一2|4用卜目《«2,

即（〃+2a）~=a?+（2“-2a）~—“（2〃一2a）,解得：〃=5a；

在△耳Ag中，由余弦定理得：⑶鸟「=|斗4f+|A6『一24国.[4鸟|cosg,

即4c2=25/+9。2-15/=19/，..e2=^-=—,解得：e=^^~.

a242

故选：D.

点评：关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够根据长度关系,

利用余弦定理构造关于。的齐次方程，从而求得离心率的大小.

12.对任意x〉0,不等式如W匚+。111彳+263(622.718283)恒成立，则正实数”的

X

取值范围是()

z2--j-

A.(0,/1B.0,—C.—,eD.一,—

'」I2ee2

\」J-1L」

答案：A

先将原不等式化为C—ain4+2e3N0,令r=4，设/(f)=f-alnr+2e3(后e),

XXX

对其求导，讨论0<Q<e,两种情况，根据导数的方法分别判断函数单调性，求

出对应的最小值，即可结合题中条件求出结果.

解：由

xx

ax<eF4zlnx+2^3<=>e--balnx-ax+Z/>0

xx

ex%exex.

—F6/Inx-aIncx+2。20---ciIn—I_2e'20,

xxx

令r=£,设/«)=-aln，+2?(de),则/(“疝，NO即可，

X

又r(f)=I_g=*(fNe).

tt

(1)当0<a<e时，/'(r)NO恒成立，.•.y=/a)(rNe)是增函数，

故/(f)min=/(e)=e-a+2J20,q4e+2e3，又0<aWe,所以0<a«e.

(2)当a>e时，>=/«)在卜,4)上递减，在［a,+oo)上递增，

i

故/(Omin=f(a)=a-a\na+2e>0,

设g(a)=a-alna+2^*(a>e),故g(a)20即可，而g'(a)=-lna,显然

g'(a)<0,

/.y=g(a)在［e,+oo)上递减,又8卜3)="-03111/+2/=。,

而g(a)iO,所以g(a)Ng,)所以e<a4e3.

综上可知0<a«e或e<a〈e3,即OvaKe?.

故选：A.

点评：思路点睛：

由不等式恒成立(或能成立)求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参

数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根

据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结

果.

二、填空题

13.曲线y=(x+l)e'在点(0,1)处的切线的方程为.

答案：y=2x+l

解：,.，yf-(x+2)ex:.k=2:.y-l=2x,y=2x+l

14.若(2%—1)'=。0+。]1+。212+…+%『，贝!]%+%+/+…+%=.

答案：2

分别令X=0,x=1得到〃()和。()+4+%/---卜％'即得q+4+。3T--卜”7

解：由(2x—I)7=%+ci^x+2厂+…+a7f可知,

令X=0得，。0=-1，

令X=1得，。0+4+。2+。3+…+=1，

解得4+%+。3+…+%=2.

故答案为：2.

15.过抛物线尸=21的焦点作两条相互垂直的弦AB，CD,且

|AB|+|CD|=/l|AB|-|CD|,则;I的值为.

曜品1

答案：T

2

利用抛物线的焦点弦长公式表示出|A3|,|CD|,然后计算；L

解：焦点为F(J,O),P=l,

TTTT

设直线AB的倾斜角为e,直线co的斜率角为e+—或

22

显然。。一时，记人=tanO,直线AB方程为y=k(x--),设A。1,y),B(x,%),

22

由卜二小一3得心2.«

r+2)x+—=0>

4

y2=2x

milr+2L

则玉+%2=——，中2二：一,

4

11k2+2,c2

所以A5=A尸|+3尸|二中■+%+—+1—2+

2-2k02k2

c2c2cos232

=2+——=2+——--二

tan-0sin~0sin20'

2P____2p

一2P\CD\=

做一QTsin2，口上万、cos20,

产5

,11sin2ecos2e11

*,~\AB\\CD\~2p2P~2p~2'

故答案为：

2

点评：结论点睛：本题考查抛物线的焦点弦性质，AB是抛物线V=2px的过焦点的

弦，直线A8的倾斜角为6,则焦点弦长|人身=西+/+〃=二?7；.焦点弦还有许多

sin6

2

性质，如x,x2=—,yty2=-p等等.

4

16.点M为正方体ABCD-ABCR的内切球。球面上的动点，点N为gC；上一点,

2NB产NC1,DM1BN,若球。的体积为36万，则动点用的轨迹长度为

在8月取点P,使2BP=PB「证明BN_L平面DCP，从而得点M的轨迹为平面DCP

与球。的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球

面圆半径后可得其周长.题中球心到截面的距离利用体积法求解.球。半径利用球的体

积公式计算可得.

解：解：如图，在取点尸，使2BP=PB],连接CP,DP，BN,

因为NC[=2NB1,可得4BCP陞4B\BN,则ZBCP=ZB{BN,所以

NNBC+NBCP=ZNBC+NNBB[=90°

所以

又£>C_L平面3CGB1,BNu平面BCG旦，所以DC工BN,同理DCJ_CP,

因为ocncp=c，DC,CPU平面。CP,

所以BN_L平面。CP,

则点M的轨迹为平面DCP与球。的截面圆周，

设正方体的棱长为。，则上万•3=36"，解得a=6,连接。。，OP,OC,

3⑴

如图，在对角面3。。片中,

=—X—x65/2x6=65/2，

,△ODP=5=5%q32

C到平面ODP的距离即C到平面DBBR的距离为注a=3及，

2

VJODP=；又6邑3丘=12,

又CP=/+ga2=半.=2而,5=1X2V10X6=6A/10,

ADCP设。到平面

0cp的距离为〃，则％_。4=忆-。。，〃=与&=上叵

6V105

得o到平面£>CP的距离为,

5

所以截面圆的半径r=[32-iT

则点M的轨迹长度为2万XA55=8叵不,

55

故答案为：凶51.

5

点评：关键点点睛：本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定平面

DCP,得点〃的轨迹为平面。CP与球。的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球

半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解.

二、解答题

17.请在①历，②c=2,③2sinA=5sinC这三个条件中任选两个，将下面问

题补充完整，并作答.

问题：在AAHC中，a,b,。分别是角A,B,C的对边，且

cosAcosC=asinBsinC——b,计算△ABC的面积.

2

答案：条件选择见解析；AASC的面积为述.

2

根据8cosAcosC=asinBsinC—Lz7,利用正弦定理结合两角差的余弦公式求得角

2

B,(1)若选①人=炳，②c=2,利用余弦定理求得“，代入三角形面积公式求解;

(2)若选②c=2,③2sinA=5sinC,利用正弦定理求得。，代入三角形面积公式

求解；(3)若选①b=③2sinA=5sinC,利用正弦定理求得。，代入三角形

面积公式求解.

解：Z?cosAcosC=«sinBsinC-■-Z?,

2

sinBcosAcosC=sinAsinBsinC--sinB,

2

因为sinBwO.所以cosAcosC-sinAsinC=--,

2

即cos(A+C)——，

2

因为A+C=%—5,

所以cos(4+C)=-cosB=--,

即cosB=—,

2

因为0v8<».

TT

所以8=一.

3

(1)若选①Z?=M，②C=2,

b1=cr+c2-2accosB，

•••a2-2a-15=0«

即a=5或。=一3(舍),

所以△ABC的面积S=—acsinB=—x5x2x—^-=.

2222

(2)若选②c=2,③2sinA=5sinC,

由2sinA=5sinC,得2a=5c,

又：c=2,；.a=5.

所以△ABC的面积S=—acsin=—x5x2x—=,

2222

(3)若选①b二晒,③2sinA=5sinC,

由2sinA=5sinC,得2a=5c,

b1=a1+c2-2«ccosB-c2=4)

即c=2,a=°c=5.

2

所以△A6C的面积S=—4/csinB=—x5x2x^-=.

2222

点评：方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(D灵活运用正、余弦定理实现边

角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、

余弦公式、二倍角公式等.

18.某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①、②、③、④、

⑤.

(1)某教练将所带6名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，从恰有2

项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求补测项目种类不

超过3项的概率.

科目

①②③④⑤

学员

(1)VVV

(2)VVV

(3)VVV

(4)VVV

(5)VVVV

(6)VV

注“J”表示合格，空白表示不合格

（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行第一轮测试（按①、②、③、

④、⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第一轮补测中仍有

不合格的项目，可选择“是否补考”；若选择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获

得最多2轮补测机会，否则考试结束.（注：每一轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序

全部重新测试，学员在同一轮补测中5个项目均合格，则可通过“科二”考试）.每人最

多只能补考1次.学员甲每轮测试或补测通过①、②、③.④、⑤各项测试的概率依次为1、

54

1、1、二.二，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.

求：（i）学员甲能通过“科二”考试的概率；

（ii）学员甲缴纳的考试费用X的数学期望.

~、2、，.、80一550，一、

答案：（1）—；（2）（i）——；（ii）c（元）•

3813

（1）易知学员1,2,4,6恰有两项不合格，列举出任意抽出2人的所有可能数，然后

找出补测项目种类不超过3的可能数，代入古典概型概率求解；

（2）先求得学员甲在每1轮测试（或补测）中通过的概率①若学员甲没通过“科二，则

第1轮考试与3次补测均未能完成5项测试，再利用对立事件的概率求解；②分该学员

通过第一轮考试，或未通过第一次考试但通过第1轮补测时X=150,其他情况时均有

X=450,再求得其相应概率，列出分布列，再求期望；

解：（1）根据题意，学员1,2,4,6恰有两项不合格,

从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：

项目

补测编号项数

学员

(1)(2)②③⑤3

(1)(4)②③④⑤4

(1)(6)③④⑤3

(2)(4)②④⑤3

(2)(6)②③④⑤4

(4)(6)②③④3

由表可知，全部6种可能的情况中，有4种情况补测项目种类不超过3,

42

故所求概率为=7=-；

63

(2)由题意可知，学员甲在每1轮测试(或补测)中通过的概率为：

,,,542

〃=lxlxlx—X—=一.

653

①由题意，若学员甲没通过“科二”考试，

当且仅当其第1轮考试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为f1],

⑴81

1QH

故学员甲能通过“科二”考试的概率为1--,

8181

②根据题意，当且仅当该学员通过第一轮考试，或未通过第一次考试但通过第1轮补测

2(2、28

时X=150,P(X=150)=§+[l-§Jx§=g,

其他情况时均有X=450,

P(X=450)=1-P(X=150)=g,

故X的分布列为：

X150450

8

P

99

故E(X)=150x§+450x,=^阮).

993

点评：方法点睛：(1)求解离散型随机变量才的分布列的步骤：①理解/的意义，写出

彳可能取的全部值；②求才取每个值的概率；③写出X的分布列.(2)求离散型随机变

量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、

古典概型等知识.

19.已知正的边长为3,点D,E分别是AB,AC上的三等分点(点E靠近

点A,点。靠近点3)(如图1),将沿。E折起到△AOE的位置，使二面角

4—DE—8的平面角为90。，连接AC(如图2).

AA

(D求证：4后，平面3。七。；

(2)在线段BC上是否存在点P,使得直线P4与平面4EC所成的角为60。？若存

在，求出CP的长；若不存在，请说明理由.

答案：(1)证明见解析；(2)存在，CP=3.

2

(1)根据题中数据，先确定AAT史是以"E4为直角的直角三角形，即。E_LAE；

再由面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直；

(2)先假设存在；由(1)得到AE、DE、CE两两垂直，以点E为坐标原点，建立

空间直角坐标系，作尸H//x轴，交y轴与点〃，设CP=2a,分别得出直线的方向

向量以及平面的法向量，由线面角列出方程求解，即可得出结果.

21

解：(1)..•正AABC的边长为3,且4。=-48=2,AE=—AC=1,

33

△ADE中，ZDAE=6O°,则AE=ADcosNZME,所以△?1£)£是以NDE4为直

角的直角三角形，即£>E_LAE；则OE_LCE

沿DE折叠后，仍有DEtCE；

所以4,EC为二面角4一。二一8的平面角；

因为二面角A-OE—B成直二面角，平面ADEJ.平面BCOE,Z^EC=90°,

又•.•平面ADED平面3cDE=£>E,AEu平面ADE,A.E1DE,

：.AE_L平面BCE。；

(2)假设在线段BC上存在点尸，使直线PA与平面AEC所成的角为60°.

由(1)可得，A|E、DE、C£两两垂直，以点£为坐标原点，建立如图所示的空间

直角坐标系E-xyz.

fZ

作尸”//x轴，交y轴与点”，设CP=2a,

则xp=2a-sin60°=6a,yP=2-2a-cos60°=2-a,

故尸（岛,2—。,0）,又4（0,0,1）,.・.印=（3,2—。,—11

因为平面AEC即是yEz所在平面，所以X轴与平面4EC垂直,

不妨取平面AtEC的一个法向量为n=(1,0,0)，

,ruuir

〃TPV3同5

由sin60°=r得丁=/,,,解得2a=一.

卜।向u2

"•A/2+(2-«)+12

所以存在这样的点P,且CP=』.

2

点评：方法点睛：

立体几何体中空间角的求法：

(1)定义法：根据空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)的定义，通过作辅助

线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；

(2)空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法

向量，通过计算向量夹角(两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹

角、两平面的法向量夹角)的余弦值，来求空间角即可.

20.如图，在平面直角坐标系X”中，AB为半圆A08的直径，。为圆心，且A(-4,0),

B(4,0),G为线段。。的中点；曲线C过点G,动点P在曲线C上运动且保持

|PA|+|P@的值不变.

（2）过点8的直线/与曲线。交于M、N两点，与。。所在直线交于E点，

EM^A,MB,丽=4而，求证：4+4为定值.

22

答案：（1）—+^-=1；（2）证明见解析.

204

（1）根据动点P在曲线C上运动且保持1PAl+|PB|的值不变，且点G在曲线C上，得

到|/科+归目>|4邳，利用椭圆的定义求解；

⑵设由丽丽，

£（0,%），N（x2,y2）,8（4,0）,:=4EN=2^NB,

分别求得点"、N的坐标，点MM在椭圆上，代入椭圆方程求解.

解：⑴因为动点P在曲线。上运动且保持|~4|+|P8］的值不变，且点G在曲线C上,

|E4|+1PB|=|G4|+1GB|=275+275=475>|AB|=8,

P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，

且a=26，c=4,

•*-h2=a2—c2=4»

22

所以曲线c的方程为£-+2=i.

204

（2）设矶0,%），M（%，X），N（w，%），3（4,0）,

由EM=4丽得（％,y—%）=4（4—%一y），

=2y=—

1+2,，/]+4

2

由于点M在椭圆上，故I=20,

1+4

整理得4/1：+404+20-5/=0,

由丽=%而同理可得4#+404+20—5〉；=0,

%是方程4/+40》+20—=0的两个根，

4+4=_1o.

点评：关键点点睛：本题第二问关键是由丽=4砺，的=4而，分别求得点M、

力的坐标，由点以”在椭圆上，代入椭圆方程，构造方程，利用韦达定理而得解.

21.已知函数函x)=2e*sinx.(e是自然对数的底数)

(1)求/(x)的单调区间；

(2)记g(x)=/(x)-«x,0<«<6,试讨论g(x)在(0,〃)上的零点个数.(参考数

据：e2»4.8)

(IT37r1

答案：(1)单调递增区间为一1+2版■,彳+2攵万伏EZ),单调递减区间为

(3兀7万、

|q-+2火肛-^-+2匕rK^wZ)；(2)答案见解析.

(1)求得/'(x)=2怎'sin(x+?),结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；

⑵求得g<x)=e"(sinx+cosx)-。，令〃(%)=/(%),求得”(x)=2e"cosx,

求得函数/?(x)的单调性，得出g'(x)在上递增，在(I，乃)上递减，结合

JT

g'(0)，g'(5)，gS)，分2—a20和2<a<6b两种情况讨论，根据零点的存在性定理,

即可求解.

解：⑴/(x)=2exsinx,定义域为R.

f'(x)=2ex(sinx+cosx)=2形e*sin[x+,

由/'(x)>0,解得sin[x+?)>0,可得2k%<x+?<2&；T+万(AeZ),

JT3冗

解得2k兀<x<2k7i+——(&wZ),

44

由/'(x)v0,解得sin[x+?]<0,可得2匕^+7<%+(<2%乃+2%(攵wZ),

37r74

解得2k兀H----<x<-----F2k冗(kGZ).

44

(n37r\

/(x)的单调递增区间为I--+2k7T,-+2k7TUkeZ),单调递减区间为

1,+2左7,"^+2%%）（左GZ）.

(2)由已知以了)=26代抽了一0¥,，g*(x)=2ex(sinx+cosx)—a,令力(x)=g'(x)，

则/?'(X)=4e'cos尤.：xe(O,不)，,当时，A'(x)>0；当乃］时，

〃'(x)<0,.•.〃(x)在(0,/)上单调递增，在(会万)上单调递减，即g'(x)在(o.?上

单调递增，在(|,%］上单调递减.

g'(0)=2-a,g=2e2-a>0,g\7r)=-2e,T-a<0.

①当2-a"时，即0<aW2时，g'(0)20,.•.孤使得g'(xo)=。，

.•.当XG(O,X())时，g'(x)>0；当为«事,乃)时,g'(x)<0,二g(x)在(0,与)上单

调递增，(七，万)上单调递减.♦.•g(o)=o,，g(%)>0.又；g(»)=一。万<0,••.由

零点存在性定理可得，此时g(x)在(0,乃)上仅有一个零点.

②若2<a<6时，g'(0)=2-a<0,又•.『、)在(。马上单调递增,在g“上

单调递减，而-。>0,.•与玉万)，使得g'(xJ=0,

g'(X2)=0,且当xe(O,%)、%€(马,〃)时，g'(x)<0；当xe(石,％2)时，

g'(x)>0..\g(x)在(0,%)和(电，乃)上单调递减,在(3,7)上单调递增.

、(兀、£rr£

:g(0)=0,g(A］)<0,Vg\—\=2e2~—a>2e2-3^>0,/.g(x,)>0,

又；g(乃)=一。»<0,由零点存在性定理可得，g(x)在(%,工2)和(工2,万)内各有一个

零点，即此时g(x)在((),乃)上有两个零点.

综上所述，当0<a«2时，g(x)在(0,万)上仅有一个零点；当2<a<6时，g(x)在

（0,〃）上有两个零点.

点评：方法点睛：

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解

法为从/（X）中分离参数，