2024届湖北省武汉市华中师大一附中高三上学期期中数学试题及答案

华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.zzzi2zi的模为（1.已知复数满足，则B.2）A.1C.5D.D.5ðABRA2x4,Bx∣x32已知集合，则（）20,20,21,21,2A.B.”是“sinAC.12π3.在中，“A”的（）6A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的图象的一部分如图，则图中的函数图像对应的函数是（）fxsinx(0)4.已知函数1212x122yf2xyfA.C.B.D.xyf1yf2x125.在边长为2的正六边形ABCDEF中，（）A.6B.-6C.3D.-3pLp20L，其中是音量（单位为dB是基准声压为pP06.在声学中，音量被定义为：05Pa，是实际声音压强人耳能听到最小音量称为听觉下限阈值经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20dB，1000对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是（P.的.2）A.音量同为20dB的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa.D.240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.a,b,c满足eaabbcc，则a,b,c的大小关系为（7.若实数）A.acbB.abcacC.cabD.bππ62fxsinxx0),8.已知函数在区间上恰有两个极值点，且ππff0，则62的值可以是（）A.6B.7C.8D.9､二多项选择题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.fx9.已知函数及其导函数fx的部分图象如图所示，设函数gxgx，则（）fxexA.在区间a,b上是减函数在区间a,b上是增函数B.xaC.在时取极小值D.在xb时取极小值ab210.已知abab，且，则（）1111222A.B.D.aba2bab2C.2a2b222在区间nπ有）fxsinxatanxn11.若函数2024个零点，则整数可以是（A.2022B.2023C.2024D.2025yfxx,y均满足eysinxex2013esinxex2013，且对任12.已知定义在R上的函数图象上任意一点yx，都有fxae2x1fx0恒成立，则下列说法正确的是（意）2023是奇函数fxfxsinxxA.B.D.1eC.是增函数fxa､4520分三填空题：本题共小题，每小题分，满分yxa13.若直线与曲线yex1b1相切，则ab__________.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环1均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的3半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.的面积关于时间S15.一只钟表的时针与分针长度分别为3和4，设0点为0时刻，则t24S取得最大值的次数为（单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即t__________.16.如图，在四边形ABCD中，CD,2120，则面积的最大值为__________.､四解答题：本题共小题，共670分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.､π3fxsinx17.已知（1）求的单调递增区间与对称中心；fx32xa时，fx的取值范围为a（2）当，求实数的取值范围.πbc2asinC18.记的内角,B,C的对边分别为a,b,c，已知.6（1）求A的值；（2）若BC交于点D,23，求面积的最小值.的平分线与fxxx(a0且a319.已知函数，a（1）求函数的单调区间；fx1322（2）若函数有最大值fxlogaa，求实数的值.33区域为居民区，内的区域为内20.某城市平面示意图为四边形ABCDACD工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，πABAC,CAD，设AEG.6y（单位：万元）与的关系式（不用求（1）求修建道路的总费用y（2）求修建道路的总费用的最小值.21.已知函数xsinxsinx,xπ,0fxe（1）求的零点个数；fx4kfx0（2）若恒成立，求整数k的最大值.ex2xfx2x3kxx,x,xx122.已知函数有三个极值点，且.2123x（1）求实数的取值范围；kf3f1k2（2）若2是的一个极大值点，证明：k.fx31e华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题命题人：余文抒徐聪王文莹审题人：王文莹试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.zzzi2zi的模为（1.已知复数满足，则B.2）A.1C.5D.5【答案】D【解析】z,【分析】先化简求出再根据共轭复数定义求出zi,最后根据模长公式求解即可.21i221i1i1izzi2zz1i【详解】,1i2ziz,zi=1=12+2=5.2故选:D.ðABRA2x4,Bx∣x32.已知集合，则（）20,20,21,21,2D.A.B.C.【答案】C【解析】ðAR【分析】利用指数函数单调性求解集合A，从而求解B，最后利用交集运算即可求解.，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合ðAxx2，Ax2x4xx2【详解】因为集合，所以R2,3,4,5,7BxZx3xZ0x23又，2B1,2ðAR所以.故选：C12π”是“sinA3.在中，“A”的（）6A.充分不必要条件【答案】BB.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】1π5π【分析】结合正弦函数的性质由sinA，可得A，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.266Aπ，【详解】在中，1π5π由sinA，可得A，2661π所以“A”是“sinA”的必要不充分条件.62故选：B.的图象的一部分如图，则图中的函数图像对应的函数是（）fxsinx(0)4.已知函数1212x122yf2xyfA.C.B.D.xyf1yf2x12【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.1【详解】fxsinx0)fxsinx,,1sin=π,1过点2得2由图1和图2可知：函数的周期减半，就是fxf2x,1图1→图2说明图象向右平移单位，2yf2x的图象．得到故选:D.5.在边长为2的正六边形ABCDEF中，（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,C,B,F的坐标，求出即可得出答案．FAE30，有EAAB，【详解】正六边形ABCDEF中，每个内角都是，FEA以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：123F3，则有2，因为，，2，(0,0)B(2,0)C3所以，，AC3)，3，3333936.由平面向量数量积的运算可得故选：B．pLp20L，其中是音量（单位为dB是基准声压为pP06.在声学中，音量被定义为：05Pa，是实际声音压强人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20dB，1000对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是（P..2）A.音量同为20dB的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa.D.240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D【解析】【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，pLp20通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.0【详解】对于A，30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240对应的听觉下限阈值为20dB，P0210Pa，5pLp2020p1000.0002Pa，此时，故C错误；令0对于D，1000的听觉下限阈值为0dB，pLp200，此时pp，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值0令0实际声压的10倍，故D正确.故选：D.a,b,c满足eaabbcc，则a,b,c的大小关系为（7.若实数）A.acbB.abcD.bacC.cab【答案】A【解析】【分析】由切线放缩可求，根据对数函数性质和正弦值域可判断b，由不等式的关系可判断bca.，则，易知当fx时，0sin1<1，当x0fxexx1时，设ex1x0【详解】因为f0e010fxx0x1；，当x0时，单调递增，所以ex所以sin1=eaaa1aa0；由已知可得b0，因为0sin1<1，所以0b1；b0，所以bsin1b；因为c0c0，所以csin1cb；故acb；故选：Aππ62fxsinxx0),8.已知函数在区间上恰有两个极值点，且ππff0，则62的值可以是（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D选项，再计算说明C选项正确即可.π3fxsinxx=2sinx【详解】,ππ36π2π3π303,A=6时,fx6xff=2sinπ+2sin3π3当选项错误;ππ36π27ππ637ππ23当时,项错误;210,B选fx7xff=2sin+2sinππ36π9ππ639ππ23当时,2110,fx9xff=2sin+2sinππ62π11π29π6π3x,,9x,fx9x,6恰有三个极值点，D选项错误;3ππ36π8ππ638ππ23时fx8xff=2sin+2sin330,当,2ππ62π5π13π33π3x,,8x,fx8x,恰有两个极值点，C选项正确;3故选:C.､二多项选择题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.fx9.已知函数及其导函数fx的部分图象如图所示，设函数gxgx，则（）fxexA.在区间a,b上是减函数在区间a,b上是增函数B.xaC.在时取极小值D.在xb时取极小值【答案】BC【解析】fxfx【详解】根据图象得到的符号，即可得到gxgx的符号，进而得到的单调性和极值.xafxfxfxfx，当axb时，00，【分析】结合图像可知，当时fxfx0，xb当时，fxfxgx，因xe0，exfxfxxa时，gx在区间上单调递减，0，gx,a故当exfxfx当axb时，gx，gx在区间a,b上单调递增，0exfxfxxb当时，gx，gx在区间b,上单调递减，0ex故在处取得极小值，在xb处取得极大值，gxxa故选：BCab210已知abab，且，则（）11112ab22A.B.D.a2bab2C.2a22b22【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.ba1111112ba1b2baabab2222，即ab时，当且仅当【详解】ab2abaab112取等号，由于a¹b，所以，A正确，aba2b21111211由于ab1，22，当且仅当且ab时，即ab时取等2b2a2b2aba2b2a1122，B正确，号，由于a¹b，所以a2bab2abab由以及可得2a2b22a2b22ab4，2b，即ab时取等号，由于a¹b，所以2242，故C正确，当且仅当2aabbaababab10ab，当且仅当，即时取等号，由于ab，¹2222ab0所以D错误，22故选：ABC在区间nπ有）fxsinxatanxn个零点，则整数可以是（11.若函数2024A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD【解析】fxsincosxatanx0【分析】令sincosxatanx，将函数零点转化为两个函数，则ygxyatanx与的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.fxsincosxatanx0，则【详解】令sincosxatanx，gxsincosx对于函数，x，可知gxsincosxsin1由，因为gx2πxxgx，sin2πsin且xxsincosxgx，g2πsin2π的周期为2π，且关于直线对称，gxxπ又因为，gxcosxsinxxπx1,sinx，且x0，当，则可知πgx，则在上单调递减，gxcosxsinx0可知在,2π上单调递增，gxπ若a0时，因为yx的定义域为x|xπ,kZ，2，无零点，不合题意，x0，可知fxsinx0则若a0时，结合图象可知：交点，a0，éπöπ÷çëö÷ø3π3π22ygx与ya,,π÷π,,,2πtanx在÷ç÷ç内各有一个交点，在内没有ê2ø2所以fxsinxatanx在π内有个零点，在π,2π2ygx与ya周期为2π，fxtanx因为2π的周期均为，则fxsinxatanx结合周期可知：若数在区间nπ有n个零点，则整数可以是20242023或2024，a0a0，若时，éπöπ÷çëö÷ø3π3π22ygx与ya,÷,ππ,,,2πtanx结合图象可知：交点，在÷ç÷ç内没有交点，在内各有一个ê2ø2fxsinxatanxπ内没有零点，在π,2π内有2所以在fxsinxatanx结合周期可知：若数在区间nπ有n个零点，则整数可以是20242024或2025；n综上所述：整数可以是2023或2024或2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数转为两个函数：gxyatanx与的零点，结合函数性质分析判fxy断，并注意讨论a的符号.yfx图象上任意一点x,y均满足eysinxex2013esinxex2013，且对任12.已知定义在R上的函数yx，都有fxae2x1fx0恒成立，则下列说法正确的是（意）2023是奇函数fxfxsinxxA.B.D.1eC.是增函数afx【答案】BCD【解析】【分析】利用函数gx=exex的单调性可求fxsinxx2013判断A，根据奇函数的定义判断B，根xx上恒成立，a据导数符号判断函数的单调性判断C构造函数求解最值即可判断D.在2x1ex2013sinxyex2013eysinx【详解】eysinxee，有eysinx=ex2013ex2013，记xex，则gx=exex0，所以gx=eex在R上单调递增，xgx=efxsinxx2013所以因为ysinxx2013，所以，故选项A错误；x20132013sinxxfsinxxfx且定义域关于原点对称，R所以是奇函数，故选项B正确；fx记fxcosx2013x2012，x，则，hxsinx20132012x2011，xhxxysinxxycosx10，则，对，因为ysinxx单调递减，即函数在x0y0，则sinxx0，即sinxx20132012x2011x，又时，，根据幂函数性质知hxsinx20132012x2011xsinx0所以，所以函数fxcosx2013x2012在上单调递增，hx所以f010fxsinxx，所以函数2013在上单调递增，fx又是奇函数，由奇函数性质知是增函数，故选项C正确；fxfxx，都有fxae2x1fx0恒成立，因为对任意在上恒成立，fxae2x1fxfx所以xx上恒成立，在a所以xae2x1x即2x1e1m(x)x1xx(x)1x1记，，则，当m(x)0时，，x当m(x)0时，x1，当m(x)0时，0x1，m(x)x1x上单调递增，在上单调递减，在所以所以m(x)x1xm0x1x，所以，xxx2x22x1xnxxxnx，则所以，，记，，2x1e2x1e2x1e2x1en(x)0x1，当n(x)00x1，当n(x)0时，x1，当时，时，x2在上单调递减，在上单调递增，所以nx2x1ee21exxx所以nxn11，当且仅当时等号成立，x1，所以2x1e2x11ea所以，故选项D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三填空题：本题共小题，每小题分，满分20分､45yxa13.若直线与曲线yex1b1相切，则ab__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.x1，e【详解】因为yex1，则yb111x10ab1设切点坐标为，则，解得x,y.00b10x1ea故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环1均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的3半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.π【答案】【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.1【详解】设内环圆弧所对的圆心角为，因为内环弧长是所在圆周长的，且内环所在圆的半径为1，312π12π1，可得所以，，33因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半径为112，12ππ222因此，该扇面的面积为.23π故答案为：.的面积关于时间S15.一只钟表的时针与分针长度分别为3和4，设0点为0时刻，则t24S取得最大值的次数为（单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即t__________.π6nS6|sint|（t0，且t,nN）【答案】【解析】①.②.44611【分析】根据给定条件，求出，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数的周期即可计算得解.πrad/h【详解】旋转的角速度为π，旋转的角速度为2rad/h，611t2π2πt2πkZ或，，661π6nS34|sinAOB6|sint|，而当t,nN时，不能构成三角形，2611π6nS6|sint|（t0，且t,nN所以2444的周期为且每个周期仅出现一次最大值，而611π66S6|sint|显然函数，61111所以S取得最大值的次数为44.π6nS6|sint|（t0，且t,nN44故答案为：61116.如图，在四边形ABCD中，CD,2120，则面积的最大值为__________.【答案】33【解析】【分析】通过证明【详解】由题意，是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.ABCDBDABC120，在四边形中，∴60,180,ABCD∴四边形四点共圆，在ACD中，ADCD，120,∴ACD是等腰三角形，ACDCAD30，中，2120在∴60，133ABBC2,SABBCsinABCABBC2248ABBC当且仅当时，等号成立，ABBCBDAC,垂直平分∵当时，∴ACBD,2是等边三角形，，11ABDCBDABC30ADECDEADC60∴,22∴BCD180306090,∴AE3DE,BE3AE3,∵BDBE44,∴AE3,AC2AE23332面积的最大值为SAC22333,∴44故答案为：33.､四解答题：本题共小题，共670分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.､π3fxsinx17.已知（1）求的单调递增区间与对称中心；fx32xa时，fx的取值范围为a，求实数的取值范围.（2）当ππ3ππ12122π,+kZ，,kZ【答案】（1）6π2π,（2）33【解析】1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.32xaxx时，其中1x0|fx，（2）画出函数图象分析可知当且仅当12xx0|fx0，满足题意，从而计算即可得解.2【小问1详解】π3123fxsinx由题意2sinxsinxx2311π162sin2x3sinxxsin2x2xsin2x，222ππππππx+kZ,解得，2π2x2+kZ令令26263πππkZ2xπkZ，解得x，6212ππ3ππ1kZ.所以的单调递增区间与对称中心分别为，fxπ,+kZ,62122【小问2详解】π162的函数图象如图所示，fxsin2x32xa时，fx的取值范围为由题意当，32xaxx1x0|fx，xx0|fx2故当且仅当，其中，12π16232π6ππfxsin2x令sin2x1，即2x2πkZ，，得62πxπkZ，解得所以332ππxx0|fxx0|xπ,kZ，133π162π612ππfxsin2x令0，得sin2x2πkZ或，即2x66π7π2x2πkZ，662πxπkZ或πkxZ，解得所以332π2πxx0|fxx0|x或xπ,kZ，1233π2π33综上所述：满足题意的实数a的取值范围为,.πbc2asinC18.记的内角,B,C的对边分别为a,b,c，已知.6（1）求A的值；（2）若BC交于点D,23，求面积的最小值.的平分线与π【答案】（1）A3（2）43【解析】π162sinA1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得，再结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得CAD，结合SSS，得到bc2bc，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】ππbc2asinCsinBsinC2sinAsinC因为，由正弦定理可得，66sinBsinCsinACsinCsinACAsinCsinC，则π6312sinAsinC2sinAsinCcosC3sinAsinCsinAcosC，22即sinACAsinCsinC3sinAsinCsinAC，可得3sinAsinCcosAsinCsinC，Cπ，则sinC0因为，则3sinAA1，π162sinA整理得又因为，ππ5π66Aπ，则A,，6πππAA，所以可得.663【小问2详解】π因为AD平分且AD22，所以BADCAD，613121112SSSb23由，可得bcc23，2222bc2bc4bc，当且仅当时，等号成立，bc整理得，则131643．故面积的最小值为22fxxx(a0且a319.已知函数，a（1）求函数的单调区间；fx12323（2）若函数有最大值，求实数的值.fxlogaa3【答案】（1）答案见解析（2）e【解析】1）首先对求导，然后分fx0a1a1和讨论导函数的符号，从而即可得解.111122a（2）结合（1）中分析可知，当且仅当，通过构造函数aa33lna3lna333123gxxxgxg即可得解.，说明a3【小问1详解】1fx2fx，分以下两种情形来讨论函数的单调区间，3x,x0由题意xa13x2x0，情形一：当0a1时，afxxa所以的单调递减区间为，没有单调递增区间.fx113xa3a13x20，情形二：当时，令afxxaxa1解得x0，33lna113x3a113xa3xfx0x,fx0，当3时，，当3时，3lna3axaxa11所以的单调递增区间为，单调递减区间为,.fx333lna3lna综上所述：当0a1时，的单调递减区间为，没有单调递增区间；fx的单调递增区间为fx时，，单调递减区间为11a1,.当333lna3lna【小问2详解】13232由题意若函数有最大值，fxloga31有最大值，a1fxfxf则由（1）可知当且仅当时，33lna3111111122因此fa，333aa3lna3lna3lna33lna3lna13xa33311gxxxgx1,xa1不妨令，求导得，a33xa3xa13xa10，gx0x令当，解得3xa3lna113xa3xa13lna13xa3xaxx,gx0，时，gx0，当时，3lna1313lna13lnagx,上单调递减，xx所以在上单调递增，在a111122所以gx，aa33lna3lna3331231a,ae1故只能，解得符合题意；3lna2综上所述，满足题意的实数a的值为e.20.某城市平面示意图为四边形ABCDACD内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，πABAC,CAD，设AEG.6y（单位：万元）与的关系式（不用求（1）求修建道路的总费用y（2）求修建道路的总费用的最小值.20sin20π3y【答案】（1）sin（2）80万元【解析】1π32sinEG，进而可得解析式；1）根据题意结合正弦定理可得，sinπ380sinπ33ytsin（2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单π324sin23调性求最值.【小问1详解】AG2在Rt△AEG中，因为sin，可得EG，sinAEGsinπ在AFG中，可知AFG，3AGsin1π3AG由正弦定理，可得sinAFG，sinsinGAFsinAFG20sin20π3y10EG.所以sin【小问2详解】2020204020sin203cosy由（1）可知：sinπsin3sin3sinsin2sin3π3π380sin80sin，2ππ32cos14sin233πππ2π0,333因为令，则，3t80π33ytsin,1，则t233，t2t3333yt,ytyt且在上单调递增，可知在上单调递增，t2t280y3t233在所以4上单调递减，t2tπ当t1，即时，修建道路的总费用y取到最小值80万元.621.已知函数xsinxsinx,xπ,0fxe（1）求的零点个数；fx4kfx0（2）若恒成立，求整数的最大值.k【答案】（1）2个（2）1【解析】exex1）令fxexsinxsinx0gxsinx可得，利用导数判断出函数在x1x1exxπ,0在π,0sinx上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数gx与y内的图象，x1根据交点个数即可求得的零点个数；fxxex，sinxx在xπ,0上恒成立，则可得（2）易知ex，求出1xsinxx11xxyx2x1在xπ,0上的最小值即可得fx2π22π1k，便可知整数k的最大值为1.4【小问1详解】根据由题意可知，令fxesinxsinx0，xexxπ,0sinx；又，整理可得x1exxexexx2exgxπ,0，则令gx,x，x1x2x2exx2xπ,0gx时，<20显然当恒成立，x1exex在π,0上单调递减，且gxxπ,0<0在所以可得gx上恒成立，x1x1π2π,0ysinxπ,易知函数在上单调递减，在上单调递增；2eπ1ππ2>0g，sinsin00>g01且sinππex画出函数gx,xπ,0和函数ysinx,xπ,0在同一坐标系下的图象如下图所示：x1ex在区间π,0上有两个交点，由图可知函数gxsinxy与x1即可得函数xsinxsinx,xπ,0有两个零点；fxe【小问2详解】fx4kfx0k若恒成立，可得，4hxxsinx,xπ,0令，则在π,0上恒成立，hx1cosx0即可得hxxsinxπ,0上单调递增，所以hxxsinxh00在，xsinx0π,0上恒成立，即sinx在x所以；xe令xxx1,xπ,0，则xe10在π,0上恒成立，x即xex在π,0上单调递减，即xex00x，ex在π,0上恒成立，x所以可得fxexsinxsinxex1xsinxx11xxx22x1；易知函数yx2x1在xπ,0上单调递增，因此y2π22π1，π22π1yπ22π14kk即可得即只需，4π2π12.579621,0，所以k1；易知44注意到，由（1）可知，由有两个零点可知，必存在xπ,00，使得4kfx0不恒成立；f00，fx4kfx0，故fx所以当k0时，00综上，整数的最大值为1.kex2xfx2x3kxx,x,xx122.已知函数有三个极值点，且.2123x（1）求实数的取值范围；kf3f1k2（2）若2是的一个极大