八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题检测试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题检测试卷

一、选择题

1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PELBC于点

E,PFLCD于点F,连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP_LEF；③仅有当NDAP=

45。或67.5。时，4APD是等腰三角形；④NPFE=NBAP：⑤*_PD=EC.其中有正确有

2

（）个.

A.2B.3C.4D.5

2.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上的一点，且AB=AE,过点

A作AF_LBE,垂足为F,交BD于点G,点H在AD上，且EH〃AF.若正方形ABCD的边长

为2,下列结论：①0E=0G；②EH=BE；③AH=2及-2，其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.如图，菱形ABCD的边，A8=8,Z8=60,P是AB上一点，BP=3,Q是CD

边上一动点，将梯形APQO沿直线PQ折叠，A的对应点A'.当CA'的长度最小时，

C'。的长为（）

A.5B.7C.8D.—

2

4.如图，在A6c中，BD，CE是A6c的中线，8。与CE相交于点。，点EG

分别是30,C0的中点，连接A。，若要使得四边形。EFG是正方形，则需要满足条件

（）

A.AO=BCB.ABJ_AC

C.AB=AC且AB_LACD.AO=8C且AO,8c

5.如图，在矩形A8CD中，把矩形ABC。绕点C旋转，得到矩形庄CG,且点E落在

AO上，连接BE，BG,BG交CE于悬H,连接FH，若EH平分BEFG,则下列结

论：

①AE+CH=EH；

②ZDEC=2ZABE；

③BH=HG；

④C"=2AB,其中正确的个数是（）

6.如图，矩形ABC。中，4）=5,AB=7,点E为。C上一个动点，把A4DE沿AE

折叠，点D的对应点为。a若次落在NA3C的平分线上时，DE的长为（）

C.2或。3-

D.w或2

25

7.如图，在平行四边形ABCD中，过点4作AGL3C于G,作于“，且

NGAH=45°,AG=2,AH=3,则平行四边形的面积是（）

8.如图，在aABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,PF_LAC于

F,M为EF中点，则AM的最小值为（）

9.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至

AFE，延长交BC于点G,连接AG.则BG的长（）

10.如图，在菱形A8CD中，A8=8D,点E、F分别是A8、A。上任意的点（不与端点重

合），且A£=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结

论：①②GC平分NBGD；③5四娜8血=3CG?；④NBGE的大小为定

4

值.其中正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则

PE+PB的最小值为.

DC

12.如图，NMAN=90。，点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接

BC,AA(BC与AABC关于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延

长交AB所在直线于点F,连接AE当^NEF为直角三角形时，AB的长为.

13.如图，某景区湖中有一段"九曲桥"连接湖岸A,B两点，"九曲桥"的每一段与AC平行

贝I此"九曲桥”的总长度为.

14.如图，在矩形ABCD中，/BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G

是EF的中点，连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BC=DF；②NDGF=135°;

325

®BG.LDG；@A.B=—AD,则SBDG=SFDG,正确的有.

AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,

PF1.AC于F,则EF的最小值为.

E.

BPC

16.如图，在平行四边形ABC。中，48=6,BC=4,ZA=120°,E是AB的中点，点F在

平行四边形ABCD的边上，若aAEF为等腰三角形，则EF的长为.

17.如图，RfAABE中,/8=90°,48=8后，将&48£绕点4逆时针旋转45°，得到

过。作OCL8E交踮的延长线于点C,连接8”并延长交OC于点尸，连接

DE交BF于点0.下列结论：①。£平分N"£>C；②DO=OE；③CD=HF；

④BC—CF=2CE；⑤H是8F的中点，其中正确的是

18.如图，在正方形ABCD中，AC=6&,点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边

形AEDF中，EF最小的值是.

19.如图，正方形A8CO面积为1，延长D4至点G,使得AG=AO,以。G为边在正

方形另一侧作菱形。GbE,其中NEFG=45°，依次延长A8,8C,CO类似以上操作再

作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点£H,M,N,则四边形

EMWN的面积为.

20.如图，四边形A8CP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作斤〃BC,分别

M.N分别是4G、8E的中点，则MN的长是.

三、解答题

21.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B,D重合)，GELDC于点

E,GF_LBC于点F,连结AG.

(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系，并说明理由；

(2)若正方形ABCD的边长为1,ZAGF=105°,求线段BG的长.

22.在四边形ABCD中，/A=/B=/C=/r>=90，4?=C£>=1()，

(l)P为边BC上一点,将沿直线AP翻折至AEP的位置(点B落在点E处)

①如图1,当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写

作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑).并直接写出此时。E=；

②如图2,若点P为BC边的中点，连接CE,则CE与AP有何位置关系？请说明理由;

（2）点Q为射线DC上的一个动点，将A。。沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点

。处，则:

23.如图1,AABC是以NACB为直角的直角三角形，分别以48，BC为边向外作正方

^ABFG，BCED,连结AT>,CF,AT>与CF交于点"，AB与CF交于点N.

（1）求证：MBD三kFBC；

（2）如图2,在图1基础上连接A尸和ED，若AD=6,求四边形ACD歹的面积.

24.如图，平行四边形ABCD中，AB^3cm,BC=5cm,NB=60，G是CD的中

点，E是边上的动点，EG的延长线与的延长线交于点尸，连接CE,DF.

（1）求证：四边形CED/是平行四边形；

（2）①当AE的长为多少时，四边形CEL正是矩形；

②当A£=时，四边形CEDE是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）.

25.我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻

折，会发现这其中还有更多的结论.

（发现与证明）A3C。中，AB^BC,将△钻C沿AC翻折至AAB'C,连结B'。.

结论1：与A3CO重叠部分的图形是等腰三角形；

结论2：BDPAC.

试证明以上结论.

（应用与探究）

在ABC。中，已知3c=2,NB=45，将AABC沿AC翻折至AAB'C,连结B'D

若以A、C、。、8'为顶点的四边形是正方形，求AC的长.（要求画出图形）

B'

26.类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边

形”.

(1)已知：如图1,在“准等边四边形”A8CD中，BC^AB,BD±CD,AB=3,8。=4,求8c

的长；

(2)在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请

你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；

(3)如图2,在△ABC中，AB=AC=6,N847=90。.在AB的垂直平分线上是否存在点

P,使得以A,B,C,P为顶点的四边形为“准等边四边形”.若存在，请求出该“准等边

四边形”的面积；若不存在，请说明理由.

图2

27.(1)问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB//CD,E是BC的中点，AE是/BAD

的平分线，则线段A8,AD,DC之间的等量关系为；

(2)方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB//CD,AF与DC的延长线交于点F,E是

BC的中点，AE是NBAF的平分线，试探究线段AB,AF,CF之间的等量关系，并证明你的

结论；

(3)联想拓展：如图③，AB//CF,E是BC的中点，点D在线段AE上，NEDF=NBAE,

试探究线段AB,DF,CF之间的数量关系，并证明你的结论.

D

图①图②图③

28.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫

做这个损矩形的直径。

(1)如图1,损矩形ABCD,/ABC=/ADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我

们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：Z^ABC和4ABD有公共边AB,在AB同侧有/ADB和/ACB,此时/ADB=

ZACB；再比如AABC和4BCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和NBDC,此时NBAC=

ZBDCo请再找一对这样的角来一=

(2)如图2,4ABC中，NABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF

的中心，连结BD,当BD平分NABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明

理由。

(3)在第(2)题的条件下，若此时AB=3,BD=4正，求BC的长。

图1图2

29.在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC,将AB绕点A逆时针旋

转90。至点D,D点恰好落在NF上，连接BD,AC与BD交于点E,连接CD,

⑴如图1,求证：AAMC^AAND；

(2)如图1,若DF=JL求AE的长；

⑶如图2,将ACDF绕点D顺时针旋转a(0<a<90),点C,F的对应点分别为G、6，

AG

连接Af；、BC一点G是BQ的中点，连接AG,试探索;百是否为定值，若是定值，则求

出该值；若不是，请说明理由.

30.如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG,AE.

(1)求证：AG=AE

(2)过点尸作于P,交AB、AD于M、N,交AE、AG于P、Q,交8c于

H,.求证：NH=FM

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

过P作PG_LAB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明AAGP丝Z\FPE

后即可证明①AP=EF；@ZPFE=ZBAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性

质,在R3DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=J^EC,得出⑤正确,即可得出

结论.

【详解】

过P作PG_LAB于点G,如图所示：

,/点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,

.,.GP=EP,

在AGPB中，NGBP=45°,

二/GPB=45°,

；.GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

，AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

；.AG=PF,

在AAGP和AFPE中,

AG=PF

<ZAGP=ZFPE=9Q°,

PG=PE

.".△AGP^AFPE(SAS),

；.AP=EF,①正确，ZPFE=ZGAP,

/.ZPFE=ZBAP,④正确;

延长AP到EF上于一点H,

AZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

，/PHF=NPGA=90°,

，AP_LEF,②正确，

:点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45°,

...当/PAD=45。或67.5。时，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正确.

VGF/7BC,

NDPF=NDBC,

又,.•NDPF=NDBC=45°,

，/PDF=NDPF=45°,

；.PF=EC,

.,.在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

ADP=V2EC,

历

即注PD=EC,⑤正确.

2

，其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质,

勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

2.D

解析：D

【分析】

根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.

【详解】

在正方形ABCD中，AO=BO,ZAOG=ZBOE,AC±BD

VAFXBE,ZEAF+ZBEO=ZBEO+ZOBE=90°,

ZOAG=ZOBE,...△OAG2△OBE,故OE=OG,①正确；

VAB=AE,Z.ZABE=ZAEB,

•••EHIIAF.\HE±BE,

ZAEF+ZAEH=ZABE+ZCBE,/.ZAEH=ZCBE

又AE=AB=CB,/HAE=NECB=45°,:&AEH空△CBE,

；.EH=BE,②正确；

V△AEH^△CBE,AC=722+22=2^

.•.AH=CE=AC-AE=2&-2,③正确.

故选D

【点睛】

此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三

角形的判定与性质.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

作SLAB于"，如图，根据菱形的性质可判断AABC为等边三角形，则

C"=@AB=4ji，AH=BH=4,再利用CP=7勾股定理计算出，再根据折叠的

2

性质得点A'在以点P为圆心，抬为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A'在

PC上时，C4'的值最小，然后证明CQ=CP即可.

【详解】

解：作C"_LAB于，，如图，

菱形ABCD的边AB=8,ZB=60，

6c为等边三角形，

巧

：.CH=—AB=4yl3，AH=BH=4,

2

PB=3,

:.HP=\,

在RtACHP中,CP={(4后+12=7,

梯形APQ。沿直线PQ折叠，A的对应点A'，

二点A'在以点尸为圆心，为半径的弧上，

,当点A'在PC上时，C4'的值最小，

ZAPQ=NCPQ,

而CD/MB,

:.ZAPQ=ZCQP,

NCQP=NCPQ,

­_CQ=CP=7.

DQ

故选：B.

【点睛】

考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条

对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了折叠的性质.解决本题的关

键是确定A在PC上时CA，的长度最小.

4.D

解析：D

【分析】

根据三角形中位线定理得到=DE!IBC,FG=-BC,FG//BC,得到四

边形DEFG为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可.

【详解】

解：点£、。分别为AB、AC的中点，

DE=-BC,DEHBC,

2

点/、G分别是B。、CO的中点，

:.FG=-BC,FG//BC,

2

:.DE=FG,DE//FG,

四边形DEFG为平行四边形，

点E、尸分别为AB、0B的中点，

:.EF=-OA,EF//OA,

2

当EF=FG,即AO=8C时平行四边形QEFG为菱形，

当AO_LBC时，DE1OA,

EF//OA,

EF1FG,

二四边形OEFG为正方形，

则当AO=3C且AOL8C时，四边形DEFG是正方形，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半是解题的关键.

5.C

解析：c

【分析】

如图，作BM_LEC于M.证明4BEA丝△BEM(AAS),△BMH之△GCH(AAS)利用全等

三角形的性质即可一一判断.

【详解】

解：如图，作BMJ_EC于M.

VCB=CE,

AZCBE=ZCEB,

：AD〃BC,

AZAEB=ZCBE,

ZAEB=ZMEB,

VZA=ZBME=90°,BE=BE,

.".△BEA^ABEM(AAS),

；.AE=EM,AB=BM.

VZBMH=ZGCH=90°,ZBHM=ZGHC,BM=AB=CG,

.".△BMH^AGCH(AAS),

；.MH=CH,BH=HG,

；.EH=EM+MH=AE+CH,故①③正确，

,/ZAEB+ZABE=90",

.".2ZAEB+2ZABE=180°,

VZDEC+ZAEC=180",NAEC=2/AEB,

.".ZDEC+2ZAEB=180°,

/.ZDEC=2ZABE,故②正确，

VFH平分NEFG,

/EFH=45°,

VZFEH=90°,

，AB=EF=EH,

VEH>HM=CH,

.,.CH<AB,故④错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查性质的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

6.B

解析：B

【分析】

连接BD，，过D，作MN_LAB,交AB于点M,CD于点N,作D，P_LBC交BC于点P,先

利用勾股定理求出MD\再分两种情况利用勾股定理求出DE.

【详解】

如图，连接过。作交AB于点M,C£)于点N,作DPLBC交BC于点P

:点D的对应点。落在NA8C的角平分线上，

：.MD'=PD',

设则PD=BM=x,

；.AM=AB-BM=7-x,

又折叠图形可得AO=A〃=5,

x2+(7-x)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RdEN。中，设ED'=a,

①当MD'=3时,AM=7-3=4,£)'N=5-3=2,EN=4-a,

a2=22+(4-a)2,

解得r?=—,BPDE=—,

22

②当MDr=4时,AM=7-4=3,£W=5-4=1,EN=3-a,

/.a2=l2+(3-a)2,

解得a=—,即DE=—.

33

故选B.

【点睛】

本题考查翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题.解

决本题的关键是依据题意分别表示RdAMD和RmEND'的三边,利用勾股定理解直角三

角形.

7.A

解析：A

【分析】

设ZB=x,先根据平行四边形的性质可得ND=NB=x,ZBAD=180°-x,AB=CD,

再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得x=45°,然后根据等腰直角三角形的判

定与性质、勾股定理可得A8=2及，从而可得CD=26，最后利用平行四边形的面积

公式即可得.

【详解】

设=

四边形ABCD是平行四边形，

:.ZD=ZB=x,NBAD=180°-ZB=180°-x,AB=CD,

AG±BC,AH±CD,

ZBAG=90°-ZB=90°-x,ADAH=90°-NO=90°—x,

又々BAG+/GAH+ADAH=NBAD=180°-x,ZGAH=45°,

.•.9()°-x+45°+9()o-x=180o-x,

解得x=45。，

即48=45°,

.-.RtABG是等腰直角三角形，

.-.BG=AG=2,AB=ylAG2+BG2=2A/2>

:.CD=25/2，

,平行四边形ABCD的面积是4〃.CO=3x2夜=6夜，

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性

质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.

8.C

解析：c

【分析】

首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=；AP,最后利用垂线段最短确定AP的位置，利

用面积相等求出AP的长，即可得AM.

【详解】

在ZkABC中，因为AB2+AC2=BC2,

所以aABC为直角三角形，NA=90。，

又因为PE_LAB,PF_LAC,

故四边形AEPF为矩形，

因为M为EF中点，

所以M也是AP中点，即AM=^AP,

2

故当AP_LBC时，AP有最小值，此时AM最小，

1112

由S=—xA8xAC=—xBCxAP，可得AP=—，

ABC225

16..

AM=—AP=—=1.2

25

故本题正确答案为C.

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP1BC时AM最小是解题关键.

9.B

解析：B

【分析】

首先证明AB=AF=AD,然后再证明/AFG=90°,接下来，依据HL可证明4ABG丝Z\AFG,

得至I」BG=FG,再利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,进而求出BG即可.

【详解】

解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD,ZD=ZB=ZBCD=90°,

•.•将4ADE沿AE对折至aAFE,

，AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

，AB=AF,/B=NAFG=90°,

又：AG=AG,

在RtAABG和RtAAFG中，

AG=AG

AB=AF

.".△ABG^AAFG(HL)；

；.BG=FG(全等三角形对应边相等)，

设BG=FG=x,则GC=6-x,

：E为CD的中点，

；.CE=EF=DE=3,

/.EG=3+x,

...在RtACEG中，32+(6-x)2=(3+x)2(勾股定理)，

解得x=2,

/.BG=2,

故选B.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据

翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键.

10.D

解析：D

【分析】

①先证明AABD为等边三角形，根据“SAS”证明4AED彩△DFB;

②证明NBGE=60o=/BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆，因此NBGC=NDGC=60。；

③过点C作CM±GB于M,CN±GD于N.证明△CBM^^CDN,所以S四边彩BCDG=S四边彩质N,易求后者

的面积；

④NBGE=/BDG+/DBF=/BDG+/GDF=60。，故为定值.

【详解】

解:①；ABCD为菱形，

；.AB=AD,

VAB=BD,

.二△ABD为等边三角形，

.•.ZA=ZBDF=60°

又：AE=DF,AD=BD,

.'.△AED^ADFB(SAS),

故本选项正确；

②：/BGE=NBDG+NDBF=/BDG+/GDF=600=ZBCD,

即/BGD+/BCD=180°,

.•.点B、C、D、G四点共圆，

.,.ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°,

.".ZBGC=ZDGC=60°,

故本选项正确；

③过点C作CM_LGB于M,CN_LGD于N(如图)，

SHii®CMG\=2S△aic>

VZCGM=60°,

/.GM--CG,CM=—CG,

22

•,•S四边彩魏疏=254。|0=2X77XkCGXCGCG-,

2224

故本选项正确；

©V/BGE=NBDG+NDBF=ZBDG+ZGDF=60°,为定值，

故本选项正确；

综上所述,正确的结论有①②③④，

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是

掌握菱形的性质.

二、填空题

11.2小

【详解】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE,交AC于点P,那PE+PB的值最小.在

RSCDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值.连接DE,交AC于点

P,连接BD.

•・,点B与点D关于AC对称，

DE的长即为PE+PB的最小值,

AB=4,E是BC的中点，

CE=2,

在RtACDE中，DE=2x/5.

考点：（1）、轴对称-最短路线问题；（3）、正方形的性质.

12.4百或4

【解析】

分析：当AA,EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当NA，EF=90。时，如图1,根据对称的性质和平行线可得：A，C=A，E=4,根据直角三角形斜

边中线的性质得：BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长；

②当NA'FE=90。时，如图2,证明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

详解：当aZEF为直角三角形时，存在两种情况：

VAA'BC与AABC关于BC所在直线对称,

，A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

•.•点D,E分别为AC,BC的中点，

；.D、E是AABC的中位线，

.,.DEZ/AB,

AZCDE=ZMAN=90",

.\ZCDE=ZA'EF,

.,.ACZ/A'E,

AZACB=ZA'EC,

r.ZA'CB=ZA'EC,

.•.A'C=A'E=4,

RtAA'CB中，；E是斜边BC的中点,

.,.BC=2A'E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

•••AB*—42=46；

,1•/ADF=NA=NDFB=90°,

/.ZABF=90",

•.•△A，BC与AABC关于BC所在直线对称，

，NABC=NCBA'=45°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

；.AB=AC=4；.

综上所述，AB的长为4百或4；

故答案为46或4.

点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判

定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题.

13.200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,

四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形，4ABC是等边三角形，由此即可解决问题.

【详解】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M

E

由题意可知，四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形

：/A=/B=60°

NE=18()-ZA—ZB=60

•••△ABC是等边三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

"九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m

故答案为：200m.

【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行

四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

14.①③④

【分析】

由矩形的性质可得AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=NBCD=NADC=90°,AC=BD,由角平分

线的性质和余角的性质可得NF=NFAD=45。，可得AD=DF=BC,可判断①；通过证明

△DCG^ABEG,可得/BGE=NDGC,BG=DG,即可判断②③；过点G作GH_LCD于H,设

AD=4X=DF,AB=3X,由勾股定理可求BD=5X,由等腰直角三角形的性质可得

HG=CH=FH=-X,DG=GB=X1X,由三角形面积公式可求解，可判断④.

22

【详解】

解：...四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90\AC=BD,

•・・AE平分/BAD,

.\ZBAE=ZDAE=45°,

AZF=ZFAD,

AAD=DF,

・・・BC=DF,故①正确；

VZEAB=ZBEA=45°,

AAB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90°,

/.△CEF是等腰直角三角形，

•；点G为EF的中点，

；.CG=EG,NFCG=45°,CG±AG,

AZBEG=ZDCG=135\

在ADCG和ABEG中，

"BE=CD

<NBEG=NDCG,

CG=EG

.,.△DCG^ABEG(SAS).

.".ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

/.ZDGC=ZBGE<45°,

ZCGF=90",

.".ZDGF<135°,故②错误；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

/CGA=NDGB=90°,

.-.BG±DG,故③正确；

过点G作GH±CD于H,

3

AB^-AD,

4

.•.设AD=4x=DF,AB=3x,

CF=CE=x,BD=JAB、A/)?=5%>

•.•△CFG,ZXGBD是等腰直角三角形，

1C

.,.HG=CH=FH=—x,DG=GB=1^—x,

22

.1,125,

••SADGF=—xDFxHG=x2,SZ\BDG=—DGxGB=—x2

224

25

,,SBDG=SFDG9故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练

掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

15.4

【分析】

根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，

得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于

直角三角形A8C斜边上的高.

【详解】

解:连接AP,

•在AABC中，A8=3,AC=4,8c=5,

AB2+AC2=BC2,

即NBAC=90°.

X'.'PEA.AB于E,PFLAC于F,

四边形AEPF是矩形，

EF=AP,

■■■AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，

设斜边上的高为h,

贝S^c^-BCh=-ABAC

22

1u,1…

—x5-/i=—x3x4

22

，h=2.4,

•••EF的最小值为2.4,

【点睛】

本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把

要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键.

16.3君或3或H

2

【分析】

△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平

行四边形的性质可求解.

【详解】

解：当寸，如图，过点力作A/7J,所于，,

图1

石是A3的中点，

AE=-AB=3,

2

AE=AF,AHLEF，ZA=120°,

.-.ZAEF=ZAFE=30°,FH=EH，

:.AH=-AE=-,EH=yf?>AH=—,

222

：.EF=2EH=3y/3，

当4尸=砂时，如图2,

过点A作ANJ.CD于N,过点/作于M,

在平行四边形A8C£>中，AB=6,BC=4,ZA=120°,

.•.AD=BC=4,ZA£)C=60%

:.ZDAN=30°,

:.DN=；AD=2,AN=6DN=28，

AB//CD,ANICD，FMLAB，

AN=MF=2B

AF=EF，FM±AB，

3

AM=ME=-,

2

EF=4MEr+MF'=J12+-=空；

V42

当AE=EF=3时，如图3,

F

图3

:.EF=3f

综上所述：族的长为36或3或字.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问

题是本题的关键.

17.①②④⑤

【分析】

根据NB=90。，AB=BE,4ABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,可得AABE三AAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形，有/ADC=90。，NHDC=45°,由

①有DE平分/HDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证NOHE=/HEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确；

利用AAS证明ADHEWADCE,则有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的/DHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,则ADHF不是直角三角形,并DHHHF,即有:CDxHF,所以③错误；

根据4ABE是等腰直角三角形，M_LJE,：J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确；

过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,得LI_LAD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

VRtAABE41./B=90°,AB=BE,

AZBAE=ZBEA=45°,

又•.•将AABE绕点A逆时针旋转45°,得到AAHD,

.,.△ABE^AAHD,并且AABE和AAHD都是等腰直角三角形，

.../EAD=45°,AE=AD,ZAHD=90°,

/ADE=NAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=45°+45°=90°,

AAD//BC,

.".ZADE=ZDEC,

.\ZAED=ZDEC,

XVDCIBC,

AZDCE=ZDHE=90°

...由三角形的内角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正确；

：/DAB=NABC=NBCD=90°,

四边形ABCD是矩形，

AZADC=90°,

AZHDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=—x450=22.5°,

22

VZBAE=45",AB=AH,

ZOHE=NAHB=J(18CT-NBAE)=；x(180°-45°)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.50=22.5°

.,.OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

•\ZAED=g(180°-ZEAD)=x(180°-45°)=67.5°,

NOHE=NHEO=67.5°,

.*.OE=OH,

；.OD=OE,所以②正确；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<ZHDE=NCDE,

DE=DE

.,.ADHE=ADCE(AAS),

；.DH=DC,ZHDE=ZCDE=-X45°=22.5\

2

：OD=OH,

/DHF=22.5°,

/.ZDFH=180<,-ZHDF-ZDHF=1800-45o-22.5o=112.5%

ZiDHF不是直角三角形，并DHwHF,

即有：CDxHF,所以③不正确；

如图，过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,

「△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

；.JH=JE,

又YJ是BC的中点，H是BF的中点,

，2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

，2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正确：

VAD//BC,

/.IJ1AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中点，

:四边形ABCD是矩形,HJ1BC,

AJ是BC的中点，

...H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

18.3公

【详解】

解析：•.•在正方形ABCD中，AC=6夜，

；.AB=AD=BC=DC=6,ZEAD=45°

设EF与AD交点为0,。是AD的中点，

.\AO=3

以AD为对角线的所有QAEDF中，当EF_LAC时，EF最小，

即aAOE是直角三角形，

VZAEO=90°,ZEAD=45°,0E=—0A=^—,

22

-,.EF=2OE=3V2

19.13+8及

【分析】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后进一步根据菱形性质得出

DE=EF=DG=2,再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=J^,进一步可得

FN2=F/?2+A^/?2=13+872）再延长NS交ML于点Z,利用全等三角形性质与判定证

明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.

【详解】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,

VABCD为正方形，

/.ZCDG=ZGDK=90°,

•.,正方形ABCD面积为1,

；.AD=CD=AG=DQ=1,

；.DG=CT=2,

•.•四边形DEFG为菱形，

，DE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

VZEFG=45°,

AZEDG=ZSCT=ZNTK=45",

VFE/7DG,CT〃SN,DG1CT,

/.ZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°,

DQ=EQ=TK=NK=72，FQ=FE+EQ=2+0，

VZNKT=ZKQR=ZFRN=90°,

二四边形NKQR是矩形，

，QR=NK=V^,

，FR=FQ+QR=2+2狡，NR=KQ=DK-DQ=&+1-&=1,

FN2=FR2+NR2=13+8夜，

再延长NS交ML于点乙易证得：ZXNMZ三△FNR(SAS),

；.FN=MN,NNFR=NMNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

/.ZMNZ+ZFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：ZNFH=ZFHM=90°,

.,•四边形FHMN为正方形，

二正方形FHMN的面积=13+8及，

故答案为：13+8及.

【点睛】

本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌

握相关方法是解题关键.

20.5

【分析】

先判断四边形8CEE的形状，再连接fM、FC,利用正方形的性质得出AEG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可.

2

【详解】

四边形ABCP是边长为4的正方形，EF//BC,

四边形3CE尸是矩形，

■:PE=1，

CE=3,

连接FM、FC，如图所示：

•・•四边形ABCP是正方形，

•••N84C=45，AEG是等腰直角三角形，

,/M是AG的中点，即有AM^MG,

：.FM1AG，FMC是直角三角形，

又丫N是FC中点，MN=-FC,

2

FC=JBF2+BC。=5

MN=2.5,

故答案为：2.5.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在

于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解.

三、解答题

21.(1)AG2=GE2+GF2,理由见解析；(2)包坯.

6

【分析】

(1)结论：AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形