中考数学总复习《圆与三角形综合压轴综合题》专题训练-附答案

第页中考数学总复习《圆与三角形综合压轴综合题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP．（1）求证：∠CBP＝∠PBD；（2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长．2．如图，在锐角三角形ABC中，，是的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D．（1）求证：AO平分；（2）若的半径为5，，求DC的长；（3）若，求的值（用含m的代数式表示）．3．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．4．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

(1)如图①，当PA的长度等于时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；

(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2S1S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．

5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．6．如图1，，是等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，连接，．（1）求证：；（2）如图2，若的外接圆O交于点F，请你证明是的切线；（3）若，，求的边长．7．如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交于点F，连结.（1）求证：；（2）若，求的长；（3）若点G为的中点，连结，若点O在上，求的值.8．已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接.（1）如图1，当点在同一条直线上时，求证：.（2）如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时.①求证：是等腰三角形；②如图3，连并延长交于点，连接.求证：.9．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α．（1）用含α的代数式表示∠BFD．（2）如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG．（3）在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径，的长为2时，求的长．10．如图，点G在线段AC上，AG=6，点B是线段AG上一动点，以AB为边向下方作正方形ABEF，以BC为腰向下方作等腰直角三角形BCD，∠CBD=90°，当AB＜BC时，2BG－DE=4．（1）如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求CG的长，请你将解答过程补充完整．探究1假设BG=3，求CG的长．探究2设BG=x，求CG的长．解：…解：…（2）过点A，F，G的⊙O交边CD于点H．①连结GH，FH，若△CGH是等腰三角形，求AB的长．②当⊙O与边CD有两个交点时，求AB的取值范围．11．等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点在、之间，分别延长、交圆于、两点如图，记，．（1）求的大小用，表示；（2）连接，交于如图2）若，且求证：；（3）在（2）的条件下，取中点，连接、如图3)，若，求证：，；请直接写出的值．12．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△和中，若，且，则△和是“青竹三角形”.（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.（2）如图2，△，，，点D是上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示；（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.①求的值；②若，，求△ABC和△ADC的周长之差.13．定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形例如：如图1，中，，和是星相似三角形.如图2，是的中点，以为直径画圆，交，于点，，.（1）①若，求的长.②设，，试写出与的函数关系式.（2）若，则与哪个三角形星相似，并证明.（3）在（2）的条件下，求的长.14．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．（1）求证：；（2）当与半圆A相切时，求弧的长；（3）直接写出面积的最大值．15．如图，在锐角三角形ABC中，，以BC为直径作，分别交AB，AC于点D，E，点F是BD的中点，连接BE，CF交于点G.（1）求证：.（2）若，，求线段AD的长（用含r的代数式表示）.（3）若，探索CG与FG的数量关系，并说明理由.16．如图，在锐角三角形中，，以为直径的分别交于点，连接.（1）若，求的度数；（2）求证：；（3）若半径为，，求四边形的面积（用含的代数式表示）.17．如图，是的内接三角形，是的直径，点在上，且，过点作的垂线与的延长线交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．18．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连结BG。（1）求证：△ABG∽△AFC；（2）已知AB=，AC=AF=，求线段FG的长（用含，的代数式表示）；（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD=∠CBE，求证：。

答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连接PC，∵点P是的中点，∴∠ACP＝∠PBC（等弧所对的圆周角相等），∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠DBP＝∠ACP，∴∠CBP＝∠PBD；（2）解：连接AP，在△PDB和△PGB中，，∴△PDB≌△PGB（AAS），∴BD＝BG＝4，PD＝PG，∵点P是的中点，∴PC＝PA，在Rt△PCG和Rt△PAD中，，∴Rt△PCG≌Rt△PAD（HL），∴CG＝AD＝AB+BD＝6+4＝10，∴BC＝BG+CG＝4+10＝14．2．【答案】（1）证明：如图，过点O作于点M，作于点N．，，∴OM=ON，平分；（2）解：由（1）可知，∠OAD=∠OAB，，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OAD=∠OBA，∵∠ADO=∠BDA∴，，解得，∵，∴，，，CD=1.5；（3）解：延长BD交圆于点E，连接CE，设，，，，∵∠ACE=∠ABO，由（2）得，∠OAD=∠OBA，∴∠ACE=∠DAO，∴OA∥CE，∴3．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，∵=，∴，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=2+r，BE=AE=，在Rt△NEO与Rt△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（）2+（2+）2=r2+，∴r=，∴OE2=+25=28，∴OE=．4．【答案】（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，∵AB是直径，∴∠APB=90°，则在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°；①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1，此时P位于正方形ABCD的中心O．则PD⊥PA，PD=PA，∴AD2=PD2+PA2=2PA2=16，∴PA=②当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．如图2连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO，∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∴AG=2OG，设AG为2x，OG为x，∴（2x）2+x2=4，∴x=∴AG=2x=，AP=∴当PA的长度等于或时，△PAD是等腰三角形.（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长EP交BC于点G，则PG⊥BC.∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a在△PAD、△PAB和△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a∵AB为直径∴∠APB=90°∴PE2=AE•BE，即b2=a（4-a）∴2S1S3－S22=4a(8-2a)-4b2=-4a2+16a=-4(a-2)2+16∴当a=2时，b=2，2S1S3－S22有最大值是16.5．【答案】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，

解得：k=-1，

则直线AB的函数解析式为y=-x+4；

（2）①由已知得：

OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，

∴△BDO≌△COD，

∴∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDE=∠ADP，

②如图，连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直径，

∴∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，即y=x；

（3）当BD：BF=2：1时，

如图，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴=2，

∴FH=2，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四边形OEFH是矩形，

∴OE=FH=2，

∴EF=OH=4-OD，

∵DE=EF，

∴2+OD=4-OD，

解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），

∴直线CD的解析式为y=x+，

由，得：，

则点P的坐标为（2，2）；

当时，

连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEP=∠DPA，

∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

如图，过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得：△BOD∽△FGB，

∴，

∴FG=8，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四边形OEFG是矩形，

∴OE=FG=8，

∴EF=OG=4+2OD，

∵DE=EF，

∴8-OD=4+2OD，

OD=，

∴点D的坐标为（0，-），

直线CD的解析式为：，

由，得：，

∴点P的坐标为（8，-4），

综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．6．【答案】（1）证明：∵和均是等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴；（2）解：连接，∵O为的外心，是等边三角形，∴平分，∴，又，∴，∴，即，即是的切线；（3）解：∵点F在上，∴，∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴设，，∴，代入，∴，解得：（负值舍去），∴，∵，∴．7．【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：如图1，过点F作于点M.则，∵∴∴，∵∴，∴，即，设，则，∴∵，∴，解得，即，∵平分，，∴；（3）解：∵，G为的中点，∴∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，过点F作于点H，如图2，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，设，则，∴.8．【答案】（1）证明：∵是的中点，点在同一条直线上，∴，∴，∴，∵分别为的中点，∴是的中位线，∴，∴.（2）证明：①∵分别为的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等腰三角形.②延长交于点，连接，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴.9．【答案】（1）解：∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α①，又∵∠AFB+∠BFD＝180°②，②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，∴∠BFD＝90°﹣（2）证明：由（1）得∠BFD＝90°﹣，∵∠ADB＝∠ACB＝α，∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣，∴∠FBD＝∠BFD，∴DB＝DF，∵FG∥AC，∴∠CAD＝∠DFG，∵∠CAD＝∠DBE，∴∠DFG＝∠DBE，在△BDE和△FDG中，，∴△BDE≌△FDG（SAS）（3）解：∵△BDE≌△FDG，∴∠FDG＝∠BDE＝α，DE＝DG，∴∠BDG＝∠BDE+∠FDG＝2α，∵DE＝DG，∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣，∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝，∴与所对的圆心角度数之比为3：2，∴与的长度之比为3：2，∵＝2，∴＝310．【答案】（1）解：如图，

探究1：∵AG=6，BG=3∴AB=3∵四边形ABEF是正方形∴BE=AB=3又∵2BG－DE=4∴DE=6－4=2∴BD=3+2=5∵△BCD是等腰直角三角形∴BC=BD=5∴CG=BC－BG=5-3=2探究2：∵2BG－DE=4∴DE=2x－4∵四边形ABEF是正方形，AG=6∴BE=AB=6－x∵△BCD是等腰直角三角形∴CG=BC－BG=BD－BG=2x－4＋6－x－x=2（2）解：①Ⅰ．当CG=GH时，∠C=∠GHC=45°∴∠CGH=90°=∠AGH，GH=CG=2∵∠A+∠FHG=180°，∠A=90°∴∠FHG=90°∴四边形AFHG是矩形∴AF=GH=2∴AB=2Ⅱ．当CG=CH时，CH=2，作HM⊥AC，HN⊥AF，∴∵∴∴AB=AN+NF=10-10．②当点D在圆上时，连结DF，DG，设AB=m，则EF=m，BC=BD=8-m，BG=6-m，DE=DB-BE=8-m-m=8-2m，由得，，即解得(舍去).当⊙O与边CD相切于点H时，连结FG，OH，作OR//AC交CD于点R，作OP⊥AC，RQ⊥AC，易知PG=AP=3，设OP=n，则，∴由得，解得综上所述，.11．【答案】（1）解：如图1中，连接．，，，，；（2）证明：如图2中，，，，∽，，，，，，，，，；（3）解：①证明：如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I．，，，，是直径，，，，，，，，∴△MHI≌△MCG（ASA），，，，，，，，∴四边形BCGI是平行四边形，；或．12．【答案】（1）②④（2）解：中，，，△ACD和△BCD是“青竹三角形”过点D作四边形是矩形，与都是等腰直角三角形，中，；（3）解：①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图：∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”∴∠ACD+∠BAC=90°，∵DE是⊙O直径∴∠ECD=90°∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACE，又∵∴∠AEC=∠ABC在△AEC与△CBA中∴△AEC≌△CBA（AAS）∴AE=BC∴在Rt△EAD中，AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=82=64，∴AD2+BC2的值为64；②∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”∴∠ACD+∠BAC=90°，，，四边形ABCD是圆的内接四边形，中，∵△ABC和△ADC的周长之差=AB+BC-AD-CDAE=BC，EC=BA∴AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC=∴△ABC和△ADC的周长之差为.13．【答案】（1）解：①在Rt△ABC中，，，∴，∵D为AB的中点，∴，∵，在Rt△ABC中，，即，解得，∴；②连接OF，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，由①可得BD=CD，∴∠DCB=∠B，∴∠OFC=∠B，∴△FOG∽△EDG，∴，∵CB=x，∴，，，，即，解得，，∴（2）解：△CEG与△FEC星相似，由（1）可知OF//AB,又∵O为CD的中点，∴OF为△CBD的中位线，F为BC的中点，∵∠CEB=180°-∠CEA=90°,∴,∴∠