(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 拓展一：空间角（直线与平面所成角二面角）探索性问题（精讲）（原卷版+解析）

拓展一：空间角（直线与平面所成角，二面角）(探索性问题）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：直线与平面所成角探索性问题重点题型二：平面与平面所成角探索性问题第一部分：第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面所成角1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为.3、利用向量法求线面角设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；②.知识点二：平面与平面所成角1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线、,则称为二面角的平面角.2、二面角的范围：3、向量法求二面角平面角（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：①；②若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：直线与平面所成角探索性问题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥中，所有棱的长均为，点在棱上，满足，点在棱上运动，设直线与平面所成角为，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高二课时练习）在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（

）A．B．C． D．4．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．(1)求二面角的大小；(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．5．（2022·广东·高二阶段练习）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．(1)求证：平面平面PAD；(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．7．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．8．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥中，．(1)证明：平面平面．(2)若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．重点题型二：平面与平面所成角探索性问题1．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥CD；(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．(1)证明：平面平面(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．3．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．4．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.5．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E为PA中点.(1)求证：ED平面PBC；(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由.拓展一：空间角（直线与平面所成角，二面角）(探索性问题）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：直线与平面所成角探索性问题重点题型二：平面与平面所成角探索性问题第一部分：第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面所成角1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为.3、利用向量法求线面角设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；②.知识点二：平面与平面所成角1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线、,则称为二面角的平面角.2、二面角的范围：3、向量法求二面角平面角（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：①；②若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析重点题型一：直线与平面所成角探索性问题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥中，所有棱的长均为，点在棱上，满足，点在棱上运动，设直线与平面所成角为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A取中点，连接；三棱锥各棱长均为，在底面内的投影为的中心，；以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，；轴平面，平面的一个法向量；设，，，，即，，；当时，，；当时，；设，则；当时，，，；综上所述：的最小值为.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A如图所示：设正方形的边长为2，则,,设，，直线与平面所成的角为，，以为一组基底，则，所以，则，所以,所以，所以，故选：A3．（2022·全国·高二课时练习）在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】B如下图，以为原点，分别为轴的正方向构建空间直角坐标系，则有，令，∴，，又AM⊥BD'，有且，AM与平面BCC'B'所成角为θ，即，而，∴，，∴当时，，故选：B.4．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．(1)求二面角的大小；(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，当Q为AD上靠近A的四等分点时，PQ与平面APB所成角的正弦值为(1)由题意得平面ABCD，且，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示所以，所以，设平面PAB的法向量，则，即，令，可得，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，平面PAC，所以平面，所以即为平面的法向量，所以，又，由图象可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为(2)假设线段AD上存在一点Q，满足题意，设，因为，所以，解得，所以，则，因为平面PAB的法向量，设得PQ与平面APB所成角为所以，解得或（舍）所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，5．（2022·广东·高二阶段练习）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，或(1)解：，，，得，由题意，因为，所以，，又侧面，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成的角的余弦值为.(2)解：由（1）得，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，假设存在点，设，其中，，由已知可得，得，即，解得或，因此，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．(1)求证：平面平面PAD；(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；或(1)证明：连接，因为底面为菱形，，所以是正三角形，是的中点，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．(2)由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，．设平面的法向量，则即令，得平面的一个法向量．设与平面所成的角为，则，解得或，即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．7．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；(1)∵，，∴，又O是中点∴∵平面平面，平面平面，平面，∴平面(2)∵底面是菱形，∴以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则．又，所以，∴，设平面的法向量是，∴，令，则，假设线段上存在点F，且，∴，∴，∴，平方整理得：，∴或（舍）.∴时，即存在点F是中点时，与平面所成角的正弦值是．8．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥中，．(1)证明：平面平面．(2)若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：取的中点，连接、．因为，则，所以，即．又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面．(2)解：如图，建立空间直角坐标系，则，则，，，．令，则．设平面的法向量为，则，取．设直线与平面所成的角为，则，解得或（舍去），故设平面的法向量为，所以，取．记二面角的平面角为，所以．重点题型二：平面与平面所成角探索性问题1．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥CD；(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.(1)取棱的中点O，连接．因为四边形是菱形，所以，又因为，所以为等边三角形，所以．因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以．(2)因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面．以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，则点．设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取得．假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，令得，设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取，得．由，解得或，所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．(1)证明：平面平面(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)点N在线段BC的中点(1)证明：因为底面ABCD，底面ABCD，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为正方形，，所以，因为在中，，M为线段PC的中点，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，(2)当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为底面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，设，则，设为平面的法向量，则，令，则，设为平面的法向量，则，令，则，因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，所以，化简得，得，所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°3．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)在翻折过程中总有平面平面，证明见解析(2)(3)存在且为线段的中点(1)在翻折过程中总有平面平面，证明如下：∵点，分别是边，的中点，又，∴，且是等边三角形，∵是的中点，∴，∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)由题意知，四边形为等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面积，要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，此时四棱锥体积的最大值为，直线和平面所成角的为，连接，在直角三角形中，，，由勾股定理得：.．(3)假设符合题意的点存在．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，由（2）知，，又，且，平面，平面，平面，故平面的一个法向量为，设（），∵，，故，∴，，平面的一个法向量为，则，，即令，所以，则平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，解得：，故符合题意的点存在且为线段的中点．4．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点F为线段PB的靠近点P的三等分点(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边行，且为等边三角形，所以∠BCE=120º.又E为CD的中点，所以CE=ED=DA=CB，即为等腰三角形，所以∠CEB=30º.所以∠AEB=180º－∠AED－∠BEC=90º，即BE⊥AE.又因为平面AEP⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面ABCE，所以BE⊥平面APE，又平面APE，所以BE⊥AP.(2)解：取AE的中点O，连接PO，由于为正三角形，则PO⊥AE，又平面APE⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面EAP，所以PO⊥平面ABCE，，，取AB的中点G，则，由（1）得BE⊥AE，所以OG⊥AE，以点O为原点，分别以OA，OG，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则0（0，0，0）