初中数学-8.第六节 二次函数与几何图形综合题

第三章函数第六节二次函数与几何图形综合题(2019年新增，9分)解：(1)如解图，过点B作BD⊥x轴于点D，过点A作AC⊥x轴于点C，作AE⊥BD于点E，交y轴于点F，∵A(－2，1)，B(3，4)，∴AC＝1，AF＝2，BD＝4，EF＝3，∴AE＝AF＋EF＝5，BE＝BD－DE＝BD－AC＝3.在Rt△AEB中，由勾股定理可得AB＝例1(1)题解图重难点突破类型一与线段有关[2015.23(3)，2013.23(3)，2012.17(2)]例1

(1)如图，A，B为平面直角坐标系中的两点，A(－2，1)，B(3，4)，连接AB，求AB的长．例1(1)题图(2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，－3)，在坐标轴上求作一点B，连接OA、OB，使得OB＝OA，求出点B的坐标．例1(2)题图(2)∵点A的坐标为(－4，－3)，∴OA＝5.∵点B在坐标轴上，且OB＝OA，分情况讨论：当点B在x轴上时，点B的坐标为(5，0)或(－5，0)；当点B在y轴上时，点B的坐标为(0，5)或(0，－5)．综上所述，点B的坐标为(±5，0)或(0，±5)．(3)如图，在平面直角坐标系中，已知函数y＝－x－4经过点G(－2，p)，且与x轴交于点A，与y轴交于点C，在直线y＝－x－4上是否存在一点H，使得GH＝OG？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．例1(3)题图(3)存在．将点G(－2，p)代入y＝－x－4，得p＝－2，∴点G的坐标为(－2，－2)．设点H的坐标为(m，－m－4)，∵GH＝OG，∴GH2＝OG2，即(m＋2)2＋(－m－4＋2)2＝22＋22，解得m1＝0，m2＝－4.∴点H的坐标为(0，－4)或(－4，0)．(4)抛物线y＝x2＋bx－4与直线AC交于点A(－4，0)，点C(0，－4)，与x轴另一交点为B.①点M为抛物线上一点，当OM＝AM时，求出点M的坐标；(4)①∵抛物线y＝x2＋bx－4与直线AC交于点A，将点A代入抛物线解析式中，得16－4b－4＝0，解得b＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2＋3x－4.设点M的坐标为(m，m2＋3m－4)，∵OM＝AM，∴OM2＝AM2.即m2＋(m2＋3m－4)2＝(m＋4)2＋(m2＋3m－4)2，解得m＝－2，∴点M的坐标为(－2，－6)；②如图，点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，求线段PE最大时，点P的坐标；例1(4)②题图②由①知，抛物线的解析式为y＝x2＋3x－4，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A，C的坐标代入，得

解得

∴直线AC的解析式为y＝－x－4.设点P的坐标为(n，n2＋3n－4)(－4＜n＜0)，则点E的坐标为(n，－n－4)．∴PE＝－n－4－(n2＋3n－4)＝－n2－4n＝－(n＋2)2＋4，∵－4＜n＜0，∴当n＝－2时，PE的长度最大，最大值为4，此时P(－2，－6)；③如解图，设过点P与y轴平行的直线交x轴于点F，则PF⊥x轴，由②知P(－2，－6)，E(－2，－2)，PE＝4，易得∠PED＝∠AEF＝∠CAO＝45°，则在Rt△PDE中，PD＝PE·sin∠PED＝4×

＝2；例1(4)③题解图③如图，在②的条件下，过点P作AC的垂线，垂足为点D，求PD的值；例1(4)③题图④如图，点Q是该抛物线的对称轴l上一点，当BQ＋CQ值最小时，求点Q的坐标．例1(4)④题图④∵该抛物线y＝x2＋3x－4的对称轴为直线x＝－

，且点B与点A关于抛物线对称轴x＝－

对称，∴当点Q为直线AC与抛物线对称轴x＝－

的交点时，BQ＋CQ最小，最小值为AQ＋CQ＝AC.由②知，直线AC的解析式为y＝－x－4.当x＝－

时，y＝－

.∴当BQ＋CQ最小时，点Q的坐标为(－

，－

)．类型二

与角度有关[2018.23（3）]例2

(1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，直线OA与x轴正半轴夹角为α则tan∠α＝__________．(2)如图，在平面直角坐标系中，直线x＝1与x轴交于点B，点A是直线x＝1上一点，当直线OA与x轴正半轴夹角为30°时，求点A的纵坐标．例2(2)题图(2)如解图，设点A的坐标为(1，a)，则AB＝a，OB＝1，当点A在x轴上方时，∠A1OB＝30°，在Rt△A1OB中，tan∠A1OB＝∴a＝；当点A在x轴下方时，∠A2OB＝30°，在Rt△A2OB中，tan∠A2OB＝

∴a＝－

.∴点A的纵坐标为

或－

.例2(2)题解图(3)已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，当OC平分∠AOB交AB于点C时，请求出点C的坐标．(3)如解图，过点C作CD⊥OA于点D，∵OC平分∠AOB，DC⊥OA，CB⊥OB，∴DC＝BC.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABO＝90°，∴△ADC∽△ABO.∴

.∵点A(2，3)，∴OB＝2，AB＝3，OA＝设点C的坐标为(2，m)(m>0)，则CD＝BC＝m，∴

，解得m＝

.则点C的坐标为(2，

)．例2(3)题解图(4)已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，y轴上是否存在一点C，使得∠ACO＝∠AOB.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(4)存在．如解图①，当点C在y轴正半轴上时，∵AB⊥x轴，∴AB∥y轴．∴∠AOC＝∠OAB.∵∠ACO＝∠AOB，∴△AOC∽△BAO.∴例2(4)题解图①∵点A(2，3)，∴OB＝2，AB＝3，OA＝.∴∴OC＝

∴点C的坐标为(0，

)；如解图②，当点C在y轴负半轴上时，∵∠ACO＜∠AOB，∴∠ACO与∠AOB不可能相等．综上所述，点C的坐标为(0，

)．例2(4)题解图②(5)如图，菱形ABCD的顶点B、C分别在坐标轴上，点B的坐标为(0，)，且AC⊥x轴，若∠ABC＝2∠BAD，求点A的坐标．例2(5)题图(5)∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵∠ABC＝2∠BAD，∴∠ABC＝120°，∠BAD＝60°.∵∠AC⊥x轴，∴∠OBC＝∠BCA＝

∠BCD＝

∠BAD＝30°.∵点B(0，)，∴OB＝.∴点A的纵坐标为

，OC＝OB·tan∠OBC＝1.∴点A的坐标为(1，)．(6)如图，抛物线y＝－

(x－3)2＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC，已知点G是抛物线上一动点，连接CG.若∠GCB＝∠ABC，求点G的坐标．例2(6)题图(6)情况一：如解图①，虚线为抛物线的对称轴，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)，当点G在直线BC的上方时，∵∠GCB＝∠ABC，∴CG∥AB.∴点G与点C关于抛物线的对称轴直线x＝3对称．∵C(0，3)，∴G(6，3)；情况二：如解图②，当点G在直线BC的下方时，设CG交x轴于点T，令y＝－

(x－3)2＋4＝0，解得x1＝－3，x2＝9.∴A(－3，0)，B(9，0)．∴在Rt△COB中，tan∠CBO＝

，∴∠CBO＝30°，∵∠GCB＝∠ABC，∴∠TCB＝∠ABC＝30°，∠OCB＝60°.∴∠OCT＝∠OCB－∠TCB＝30°.在Rt△OCT中，OT＝CO·tan∠OCT＝3·tan30°＝3.∴点T的坐标为(3，0)．设直线CT的解析式为y＝k1x＋t1(k1≠0)，将点C(0，3)，T(3，0)代入，得

解得∴直线CT的函数解析式为y＝－x＋3.联立解得∴点G的坐标为(15，－12)．综上所述，点G的坐标为(6，3)或(15，－12)．例2(6)题解图类型三

与相似三角形有关[2019.25（3）]例3

(1)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝

x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C.①点B是x轴上一点，当△AOC∽△ACB时，求点B的坐标；例3(1)题图解：(1)①令x＝0，得y＝1，∴点C(0，1)．令y＝0，得

x＋1＝0，解得x＝－2，∴点A(－2，0)．∴OA＝2，OC＝1，AC＝如解图，过点C作CB⊥AC交x轴于点B，当△AOC∽△ACB时，∴

解得BC＝

.∴BO＝∴点B的坐标为(

，0)；例3(1)①题解图②直线y＝

x＋1上是否存在一点D，使得△AOC与△ADO相似，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；②存在，∵△AOC是直角三角形，∴由△AOC与△ADO相似，可知△ADO中必有一个角是直角．如解图，过点O作OD⊥AC于点D，此时△AOC∽△ADO，∴即∴AD＝设点D的坐标为(n，

n＋1)，则AD2＝(n＋2)2＋(

n＋1)2，∴

＝(n＋2)2＋(

n＋1)2，解得n1＝－

，n2＝－

(舍去)．由解图可知，点D(－

，

)；当点D与点C重合时，△AOC≌△AOD，即△AOC∽△AOD，此时D(0，1)．综上所述，点D的坐标为(－

，

)或(0，1)．例3(1)②题解图(2)如图，已知抛物线y＝

x2－

x＋1与直线y＝

x＋1交于点B、C，设抛物线的对称轴与BC相交于点Q，点P是抛物线对称轴上的动点，且点P不与点Q重合，是否存在点P，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3(2)题图(2)存在，令

x2－

x＋1＝

x＋1，解得x1＝0，x2＝4.∴点B(4，3)，点C(0，1)．由抛物线的解析式y＝

x2－

x＋1得对称轴为直线x＝

，∵点Q在直线AC上，∴将x＝

代入y＝

x＋1中，得y＝

.∴点Q的坐标为(

，

)．如解图，设直线x＝

与x轴的交点为M，则OC∥QM，∴∠OCA＝∠MQA＝∠BQP.又∵∠AOC＝90°，∴要分为两种情况：①当∠BP1Q＝90°，即BP1∥x轴时，△BP1Q∽△AOC，∵点B的坐标为(4，3)，Q(

，

)，∴OM＝

，MP1＝3.∴点P1的坐标为(

，3)；例3(2)题解图②当∠QBP2＝90°，即BP2⊥BQ时，△QBP2∽△COA，∴由(1)得AC＝，设P2(

，p)，∵B(4，3)，Q(

，

)，P1(

，3)，∴BP1＝4－

＝

，P1Q＝3－

＝

，P2Q＝p－

.在Rt△BQP1中，由勾股定理得BQ＝

∴

，解得p＝

.∴点P2的坐标为(

，

).综上所述，满足条件的点P有两个，点P的坐标为(

，3)或(

，

)．1.假设结论成立，分情况讨论，剔除不符合的情况．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角、对应边，就要根据相似三角形的不同对应关系，分情况讨论：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论，剔除不符合的对应形式；2.设未知量，求边长．在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设的点坐标表示出所求三角形的边长；满分技法3.建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得未知量的值，再通过计算得出相应点的坐标．玩转广东8年中考真题类型1与线段有关1.(2013广东23题9分)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．第1题图解：(1)把点O(0，0)代入解析式y＝x2－2mx＋m2－1，得0＝m2－1.解得m＝±1.∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴点D的坐标为(2，－1)．当x＝0时，y＝3.∴点C的坐标为(0，3)；(3)存在；如解图，连接CD，交x轴于点P，则点P即为所求．设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C(0，3)、D(2，－1)代入，得解得∴直线CD的解析式为y＝－2x＋3.当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝

.∴点P的坐标为(

，0)．第1题解图类型2与面积有关2.(2012广东22题节选5分)如图，抛物线y＝

x2－

x－9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．第2题图解：(1)令y＝0，则有

x2－

x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝6，∴点A(－3，0)，点B(6，0)．∴AB＝9；∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，－9)，∴OC＝9.(2)设△ADE的边AE上的高为h，∵直线l∥BC，∴△ADE∽△ACB.∴

，即

∴h＝m，∴S＝

m2(0＜m＜9)．类型3与角度有关3.(2018广东23题9分)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A、B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图

解：(1)将点C(0，－3)代入y＝x＋m，得m＝－3；(2)将y＝0代入y＝x－3，得x＝3.∴B(3，0)．将B(3，0)，C(0，－3)代入y＝ax2＋b，得解得∴抛物线的解析式为y＝

x2－3；(3)存在，如解图，∵B(3，0)，C(0，－3)，∴OB＝OC.∴△OBC是等腰直角三角形，即∠OBC＝45°.①如解图，点M在BC的上方时，点M记为M1，设M1C交x轴于点D，则∠BCD＝15°，∴∠ODC＝45°＋15°＝60°.∴∠OCD＝30°.∴OD＝OC·tan30°＝.∴点D的坐标为(，0)．设直线CD的解析式为y＝kx－3，把D(，0)代入，得k＝.∴直线CD的解析式为y＝x－3.联立解得或(舍去)，∴点M1的坐标为(3，6)；②如解图，点M在BC的下方时，点M记为M2，设M2C交x轴于点E，则∠BCE＝15°，∴∠OEC＝45°－15°＝30°.∴∠OCE＝60°.∴OE＝OC·tan60°＝3.∴点E的坐标为(3，0)．设直线CE的解析式为y＝kx－3，把(3，0)代入，得k＝

.∴直线CE的解析式为y＝

x－3.联立解得或(舍去)，∴点M2的坐标为(，－2)，综上所述，点M的坐标为(3，6)或(，－2)．第3题解图类型4与相似三角形有关(仅2019年考)4.(2019广东25题9分)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2＋

x－

与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE.(1)求点A、B、D的坐标；(2)求证：四边形BFCE是平行四边形；(3)如图②，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似(不含全等)．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？图①图②第4题图(1)解：∵y＝

(x＋3)2－2，∴点D的坐标为(－3，－2)．由y＝

＝0，得x1＝1，x2＝－7.∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(－7，0)；(2)证明：如解图①，∵点A恰好旋转到点F，∴AC＝CF.又∵CO⊥AF，∴AO＝OF＝1，∴点F的坐标为(－1，0)，AF＝2.设直线CD的表达式是y＝kx＋b(k≠0)，直线CD过点D，F，∴解得∴直线CD的表达式是y＝x＋.∴C(0，)，∴AC＝＝2，第4题解图①∴AC＝AF＝FC＝2，∴△ACF是等边三角形．∴∠CFA＝∠ACF＝∠CAF＝60°