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文档简介
安徽省黄山市八校联盟2024届高三压轴卷数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①直线与直线的斜率乘积为;②轴;③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中,所有正确判断的序号是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③2.函数()的图象的大致形状是()A. B. C. D.3.等比数列若则()A.±6 B.6 C.-6 D.4.已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()A. B. C. D.5.已知函数(,且)在区间上的值域为,则()A. B. C.或 D.或46.函数在的图象大致为()A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是()A.若平面,,,满足,,则;B.命题:,,则:,;C.“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.8.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列9.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.111.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.12.已知幂函数的图象过点,且,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,,,则_________.14.(5分)已知椭圆方程为,过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,则面积的取值范围是____________.15.已知实数x,y满足(2x-y)2+4y16.戊戌年结束,己亥年伊始,小康,小梁,小谭,小杨,小刘,小林六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分别奔赴四所不同的学校参加演讲,则不同的分配方案有_________种(用数字作答),三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设前项积为的数列,(为常数),且是等差数列.(I)求的值及数列的通项公式;(Ⅱ)设是数列的前项和,且,求的最小值.18.(12分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.19.(12分)一张边长为的正方形薄铝板(图甲),点,分别在,上,且(单位:).现将该薄铝板沿裁开,再将沿折叠,沿折叠,使,重合,且重合于点,制作成一个无盖的三棱锥形容器(图乙),记该容器的容积为(单位:),(注:薄铝板的厚度忽略不计)(1)若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖,求,的值;(2)试确定的值,使得无盖三棱锥容器的容积最大.20.(12分)已知函数.(1)若关于的不等式的整数解有且仅有一个值,当时,求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求实数的取值范围.21.(12分)在开展学习强国的活动中,某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组,其中党员学习组有4名男教师、1名女教师,非党员学习组有2名男教师、2名女教师,高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数;(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数,求X的概率分布和数学期望.22.(10分)如图是圆的直径,垂直于圆所在的平面,为圆周上不同于的任意一点(1)求证:平面平面;(2)设为的中点,为上的动点(不与重合)求二面角的正切值的最小值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由题意,可设直线的方程为,利用韦达定理判断第一个结论;将代入抛物线的方程可得,,从而,,进而判断第二个结论;设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,进而判断第三个结论.【详解】解:由题意,可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所.则直线与直线的斜率乘积为.所以①正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,,根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以直线轴.所以②正确.如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以③不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.2、C【解析】
对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【详解】故选C.【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.3、B【解析】
根据等比中项性质代入可得解,由等比数列项的性质确定值即可.【详解】由等比数列中等比中项性质可知,,所以,而由等比数列性质可知奇数项符号相同,所以,故选:B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用,注意项的符号特征,属于基础题.4、D【解析】
设,,作为一个基底,表示向量,,,然后再用数量积公式求解.【详解】设,,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5、C【解析】
对a进行分类讨论,结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知,.讨论:当时,,所以,,所以;当时,,所以,,所以.综上,或,故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题,指数函数的值域一般是利用单调性求解,侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.6、C【解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.7、D【解析】
根据面面关系判断A;根据否定的定义判断B;根据充分条件,必要条件的定义判断C;根据逆否命题的定义判断D.【详解】若平面,,,满足,,则可能相交,故A错误;命题“:,”的否定为:,,故B错误;为真,说明至少一个为真命题,则不能推出为真;为真,说明都为真命题,则为真,所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件,故C错误;命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”,故D正确;故选D【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,写出命题的逆否命题等,属于中档题.8、C【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.9、A【解析】
根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.10、B【解析】
将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.【点睛】本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.11、A【解析】
根据题意,,求出,所以,根据三角函数图像平移伸缩,即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点,则,,,,,若函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,则,所以当时,,在有且仅有5个零点,,.故选:A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题,考查转化思想和计算能力.12、A【解析】
根据题意求得参数,根据对数的运算性质,以及对数函数的单调性即可判断.【详解】依题意,得,故,故,,,则.故选:A.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,考查推理论证能力,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先由题意得:,再利用向量数量积的几何意义得,可得结果.【详解】由知:,则在方向的投影为,由向量数量积的几何意义得:,∴故答案为【点睛】本题考查了投影的应用,考查了数量积的几何意义及向量的模的运算,属于基础题.14、【解析】
由题意,,则,得.由题意可设的方程为,,联立方程组,消去得,恒成立,,,则,点到直线的距离为,则,又,则,当且仅当即时取等号.故面积的取值范围是.15、2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式:2x-y2+4y当2x-y=2y,即x=328故答案为:2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.16、1080【解析】
按照先分组,再分配的分式,先将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,然后用分步计数原理求解.【详解】将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,则不同的分配方案有种.故答案为:1080【点睛】本题主要考查分组分配问题,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)当时,由,得到,两边同除以,得到.再根据是等差数列.求解.(Ⅱ),根据前n项和的定义得到,令,研究其增减性即可.【详解】(Ⅰ)当时,,所以,即,所以.因为是等差数列.,所以,,令,,,所以,即;(Ⅱ),所以,,令,所以,,即,所以数列是递增数列,所以,即.【点睛】本题主要考查等差数列的定义,前n项和以及数列的增减性,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.18、(Ⅰ),曲线(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)消去参数可得直线的直角坐标系方程,由可得曲线的直角坐标方程;(2)将(为参数)代入曲线的方程得:,,利用韦达定理求解即可.试题解析:(1),曲线,(2)将(为参数)代入曲线的方程得:.所以.所以.19、(1),;(2)当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【解析】
(1)由已知求得,求得三角形的面积,再由已知得到平面,代入三棱锥体积公式求的值;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,写出三角形面积,求其平方导数的最值,则答案可求.【详解】解:(1)由题意,为等腰直角三角形,又,,恰好是该零件的盖,,则,由图甲知,,,则在图乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,.令,,,.可得:当时,,当,时,,当时,有最大值.由(1)知,平面,该三棱锥容积的最大值为,且.当时,取得最大值,无盖三棱锥容器的容积最大.答:当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【点睛】本题考查棱锥体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用导数求最值,属于中档题.20、(1)(2)【解析】
(1)求解不等式,结合整数解有且仅有一个值,可得,分类讨论,求解不等式,即得解;(2)转化,使得成立为,利用不等式性质,求解二次函数最小值,代入解不等式即可.【详解】(1)不等式,即,所以,由,解得.因为,所以,当时,
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