安徽省合肥三十五中2023-2024学年高考数学一模试卷含解析

安徽省合肥三十五中2023-2024学年高考数学一模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（）A． B． C． D．2．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分不必要条件3．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．4．执行程序框图，则输出的数值为（）A． B． C． D．5．已知锐角满足则（）A． B． C． D．6．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A． B． C． D．9．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（）A． B． C． D．10．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．11．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（）A． B．C． D．12．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件：（1）对任意的总有；（2）当，，时，总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数，则实数a的取值范围为________.14．已知为椭圆上的一个动点，，，设直线和分别与直线交于，两点，若与的面积相等，则线段的长为______.15．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________16．已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的导函数的两个零点为和．（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．18．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均为正数，且，求的最小值.19．（12分）已知，均为正数，且.证明：（1）；（2）.20．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额（单位：元）5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？21．（12分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．22．（10分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：将选中2名女生平均分为两组：将选中2名男生平均分为两组：则选出的人分成两队混合双打的总数为：和分在一组的数目为所以所求的概率为故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.2、A【解析】

试题分析：α⊥β，b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.3、C【解析】

计算出、，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，，由频率分布直方图可知，，则，由于场外有数万名观众，所以，.故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.4、C【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，不满足条件，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.5、C【解析】

利用代入计算即可.【详解】由已知，，因为锐角，所以，，即.故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.6、A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．7、C【解析】

作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥，底面，可知四边形为矩形，且，.矩形的外接圆直径，且.所以，三棱锥外接球的直径为，因此，该三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8、C【解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选：C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.9、C【解析】

由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.10、C【解析】

求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【详解】解：∵,,∴,故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.11、B【解析】

利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.【详解】∵在R上单调递增，且，∴.∵的符号无法判断，故与，与的大小不确定，对A，当时，，故A错误；对C，当时，，故C错误；对D，当时，，故D错误；对B，对，则，故B正确.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.12、B【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数的零点，即.由图像可知，，所以是的一个零点，当时，，若，则，即，所以，解得；当时，，则，且若在时有一个零点，则，综上可得，故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：对任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，从而可得.【详解】因为是定义在上G函数，所以对任意的总有，则对任意的恒成立，解得，当时，又因为，，时，总有成立，即恒成立，即恒成立，又此时的最小值为，即恒成立，又因为解得.故答案为：【点睛】本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.14、【解析】

先设点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得．【详解】如图，设，，，由，得，由得，∴，解得，又在椭圆上，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示．15、【解析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为的直角三角形，高为的棱柱，所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题16、【解析】

根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论.【详解】由,，设的中点为，根据题意，可得,且，解得，,，故.故答案为：.【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】（1），令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．又因为，所以当时，，即；当或时，，即.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）由（1）知，是的极小值点，所以有，解得，，，所以．因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.所以为函数的极大值，故在区间上的最大值取和中的最大者，而，所以函数在区间上的最大值是．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【详解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（当且仅当时取“=”）.所以的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.19、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，∴.（2）.当且仅当时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20、（1）降低（2）【解析】

（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.【详解】解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；不进行处罚，行人闯