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文档简介
2024届四川省成都市龙泉中学高考临考冲刺数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出四个命题:①若,,,则;②若,,则;③若,,,则;④若,,,则其中正确的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④2.对于正在培育的一颗种子,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A.2 B.3 C.3.5 D.43.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.4.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()A. B. C. D.5.集合,则()A. B. C. D.6.已知角的终边经过点,则A. B.C. D.7.在棱长均相等的正三棱柱中,为的中点,在上,且,则下述结论:①;②;③平面平面:④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.48.已知随机变量服从正态分布,,()A. B. C. D.9.已知集合,,则等于()A. B. C. D.10.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.11.若,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()A.7 B.8 C.9 D.10二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.14.已知集合,,则_____________.15.将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动,其中一组指挥交通,一组分发宣传资料,则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.16.在平面直角坐标系中,点在单位圆上,设,且.若,则的值为________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆外有一点,过点作直线.(1)当直线与圆相切时,求直线的方程;(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长.18.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前19.(12分)已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形ABCD为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:(1)证明:平面平面ABC;(2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.20.(12分)某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②若从所有员工中任选3人,记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求的分布列和数学期望.21.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)在中,角、、所对的边分别为、、,角、、的度数成等差数列,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据面面垂直的判定定理可判断①;根据空间面面平行的判定定理可判断②;根据线面平行的判定定理可判断③;根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①,若,,,,两平面相交,但不一定垂直,故①错误;对于②,若,,则,故②正确;对于③,若,,,当,则与不平行,故③错误;对于④,若,,,则,故④正确;故选:D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,属于基础题.2、C【解析】
根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】由图表可知,种子发芽天数的中位数为,故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,属基础题.3、C【解析】
以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立空间直角坐标系,由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值.【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则,,,取平面的法向量为,设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ,则sinθ=|,直线与平面所成角的正弦值为.故选C.【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法,也考查数形结合思想和向量法的应用,属于中档题.4、B【解析】
基本事件总数为个,都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个,由此求出概率.【详解】解:由图可知,含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦,取出两卦的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(巽,乾),(离,兑),(离,乾),(兑,乾)共个,其中符合条件的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(离,兑)共个,所以,所求的概率.故选:B.【点睛】本题渗透传统文化,考查概率、计数原理等基本知识,考查抽象概括能力和应用意识,属于基础题.5、D【解析】
利用交集的定义直接计算即可.【详解】,故,故选:D.【点睛】本题考查集合的交运算,注意常见集合的符号表示,本题属于基础题.6、D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D.7、B【解析】
设出棱长,通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行,推出①的正误;判断是的中点推出②正的误;利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误;建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误.【详解】解:不妨设棱长为:2,对于①连结,则,即与不垂直,又,①不正确;对于②,连结,,在中,,而,是的中点,所以,②正确;对于③由②可知,在中,,连结,易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正确;以为坐标原点,平面上过点垂直于的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系;,,,,,;,;异面直线与所成角为,,故.④不正确.故选:.【点睛】本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.8、B【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出,进而可得出结果.【详解】,所以,.故选:B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率,属于基础题.9、B【解析】
解不等式确定集合,然后由补集、并集定义求解.【详解】由题意或,∴,.故选:B.【点睛】本题考查集合的综合运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题型.10、D【解析】
由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.11、A【解析】
本题根据基本不等式,结合选项,判断得出充分性成立,利用“特殊值法”,通过特取的值,推出矛盾,确定必要性不成立.题目有一定难度,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时,,则当时,有,解得,充分性成立;当时,满足,但此时,必要性不成立,综上所述,“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值法”,通过特取的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.12、C【解析】
根据直线过定点,采用数形结合,可得最多交点个数,然后利用对称性,可得结果.【详解】由题可知:直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知:直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选:C【点睛】本题考查函数对称性的应用,数形结合,难点在于正确画出图像,同时掌握基础函数的性质,属难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先设点坐标,由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系,这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来,从而可求得点的横坐标,代入椭圆方程得纵坐标,然后可得.【详解】如图,设,,,由,得,由得,∴,解得,又在椭圆上,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题,解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系,解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示.14、【解析】
由集合和集合求出交集即可.【详解】解:集合,,.故答案为:.【点睛】本题考查了交集及其运算,属于基础题.15、【解析】
先求出总的基本事件数,再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数,然后根据古典概型求解.【详解】6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动,其中一组指挥交通,一组分发宣传资料的基本事件总数共有个,甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有:个,所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为.故答案为:【点睛】本题主要考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16、【解析】
根据三角函数定义表示出,由同角三角函数关系式结合求得,而,展开后即可由余弦差角公式求得的值.【详解】点在单位圆上,设,由三角函数定义可知,因为,则,所以由同角三角函数关系式可得,所以故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数定义,同角三角函数关系式的应用,余弦差角公式的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或(2).【解析】
(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程,然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解:(1)由题意可得,直线与圆相切当斜率不存在时,直线的方程为,满足题意当斜率存在时,设直线的方程为,即∴,解得∴直线的方程为∴直线的方程为或(2)当直线的倾斜角为时,直线的方程为圆心到直线的距离为∴弦长为【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式,培养了学生分析问题与解决问题的能力.18、(1)an=2n【解析】
(1)先设出数列的公差为d,结合题中条件,求出首项和公差,即可得出结果.(2)利用裂项相消法求出数列的和.【详解】解:(1)设公差为d的等差数列{an}且a1+a则有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn则:1S则:Tn=1【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)设的中点为,连接.由展开图可知,,.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,则平面,即可证得平面平面.(2)由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角,且,最大即为最短时,即是的中点建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.【详解】(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意,得,,.在中,,O为AC的中点,,在中,,,,,.,平面,平面ABC,平面PAC,平面平面ABC.(2)由(1)知,,,平面PAC,是直线BM与平面PAC所成的角,且,当OM最短时,即M是PA的中点时,最大.由平面ABC,,,,于是以OC,OB,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图示空间直角坐标系,则,,设平面MBC的法向量为,直线MA与平面MBC所成角为,则由得:.令,得,,即.则.直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.20、(1);(2)①82,②分布列见解析,【解析】
(1)从20人中任取3人共有种结果,恰有1人成绩“优秀”共有种结果,利用古典概型的概率计算公式计算即可;(2)①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和;②要注意服从的是二项分布,不是超几何分布,利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】(1)设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件,则,所以,恰有1人“优秀”的概率为.(2)组别分组频数频率120.01260.03380
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