八年级数学教案：实数总复习

八年级数学教案：实数总复习

实数总复习

・教学目标

(一)教学知识点

1.本章知识的网络结构.

2.重点内容归纳.

(1)数怎么又不够用了，引出了无理数.

⑵有理数与无理数的联系与区别.

⑶算术平方根、平方根的定义，会求正数的算术平方根和

平方根.

(4)立方根，开立方的定义，会求一个数的立方根.

⑸估算的方法.

(6)用计算器开方.

⑺实数的定义，实数的运算法则和运算律.

(二)能力训练要求

1.熟练掌握本章的知识网络结构.

2.理解无理数，实数，算术平方根，平方根，立方根，开立

方的定义.

3.理解有理数与无理数的区别与联系.

4.开方运算和乘方运算有什么联系？

5.掌握估算的方法.

6.正确运用实数的运算法则和运算律.

（三）情感与价值观要求

通过本章内容的小结与复习培养学生学会归纳，整理所学知

识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，并培养良

好的学习品质.

•教学重点

本章知识的网络结构，知识间的相互关系.

•教学难点

知识的运用.

・教学方法

启发引导式归纳教学法.

・教具准备

投影片两张：

第一张：本章知识网络结构图（记作2.7A）；

第二张：小测验（记作2.7B）.

•教学过程

I.导入

［师］本章的内容已全部学完.请同学们回忆并归纳本章所学

的知识.

［生］本章的内容有：数怎么又不够用了；平方根，算术平方

根的定义及求法；立方根的定义及求法；估算的方法，用计算

器开方，实数的概念，实数的运算法则和运算律.

［师］本节将对本章知识内容进行系统归纳，总结.

II.讲授新课

1.［师］请看本章知识网络结构图

投影片：(2.7A)

2.重点内容归纳

［师］同学们根据网络结构图，可看出本章知识的主要内容及

相互之间的关系，下面请同学们回顾主要知识点.首先回顾

无理数的引入.

(1)无理数的引入及它与有理数的联系与区别.

［生］由a2=2得a既不是整数，也不是分数，所以a不是有

理数，是无理数，就引入了无理数.

［师］对.在小学我们学的是正整数，正分数，零，在初一因

为要表示具有相反意义的量就引入了负数，这时就由小学学

的正数和零扩充到有理数范围，本章我们在解决实际问题时

发现有一些数如a2=2中的a既不是整数，也不是分数，所

以不是有理数，而是无理数.像a这样的数还有很多，所以

就引入了无理数.那么无理数和有理数有什么联系呢？请大

家分析一下.

［生］从定义看，有理数包括整数和分数，整数和分数都可化

为有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.所

以它们都能化为小数，但有理数能化为有限小数或无限循环

小数，而无理数是无限不循环小数；另外，有理数和小数可

以互化，而无理数与小数不能互化.

⑵算术平方根与平方根的联系与区别.

［师］这位同学总结得很好.下面继续回顾算术平方根与平方

根的概念，以及它们之间的联系与区别.

［生］若一个正数x2=a,则x叫a的算术平方根；若一个数

x2=a,则x叫a的平方根.它们的联系有：⑴平方根包含算

术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）存在条件相同：

平方根与算术平方根都是只有非负数才有.（3）0的平方根，

算术平方根都是0.

区别是：（1）从定义看不同.（2）个数不同：一个正数有两个

平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.⑶表示法不同.

正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为.（4）

取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数

的算术平方根只有一个.

⑶立方根的有关知识.

［师］非常棒.下面总结立方根的有关知识.

［生］若x3=a,则x叫a的立方根.立方根的性质有：一个正

数的立方根是一个正数.一个负数有一个负的立方根，零的

.2-方根为零.

［师］立方根、平方根、算术平方根都是通过什么运算得到的.

这种运算和乘方运算之间有什么关系呢？

［生］立方根、平方根、算术平方根都是通过开方运算得到的，

开方运算和乘方运算是互为逆运算.

⑷估算.

［师］下一个内容是什么呢？

［生］是公园有多宽，也就是估算.估算就是利用乘方运算来

进行的.估算的步骤大致为：（1）估计是几位数；（2）确定最高

位上的数字（如百位）；（3）确定下一位上的数字（如十位）；（4）

依次类推，直到确定出个位上的数或者按要求精确到小数点

后的某一位.

［师］用计算器开方给我们减少了不少麻烦，不用我们去查表,

只要轻轻一按计算器上的功能键就能得到我们想要的数.但

是你必须掌握它的程序才行，否则还不如查表呢.因为大家

用的不是同一类型的计算器，所以我们不能在这里统一步骤.

每位同学首先要探索出你所拿计算器的步骤才能轻松地完

成任务.下面我们继续最后一部分的回顾，是有关实数的知

识.

⑸实数的定义及实数的运算法则和运算律.

［生］a.有理数和无理数统称为实数.

b.实数的分类有：

（1）按定义分

⑵按大小分：

实数

C.实数大小的比较

在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.

d.实数和数轴上点的对应关系.

实数和数轴上的点是一一对应的关系.

e.实数的几个概念.

(1)相反数；(2)倒数；⑶绝对值都和有理数范围内的概念相

同.

f.实数的运算法则和运算律.

在实数范围内的运算法则和运算律和有理数范围内的运算

法则和运算律相同.

3.知识点的运用

［师］大家对本章的知识点掌握得很好.那么运用情况如何呢?

下面请同学们讨论解下列各题：

［例1］判断题：

(1)4的算术平方根是

(2)4的平方根是2；

(3)8的立方根是

⑷无理数就是没有理由的数

⑸不带根号的数都是有理数；

⑹无理数就是开方开不尽的数；

⑺两个无理数的和还是无理数.

［生］(1)错.4的算术平方根只有一个2.

(2)错.因为4的平方根有两个是2.

(3)错.因为一个正数8有一个立方根2.

(4)错.无理数不是没有理由的数，而是无限不循环小数.

(5)错.不带根号的数不一定是有理数.如，反过来，带根号

的数也不一定是无理数.如二2是有理数.

(6)错.一般开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开

方开不尽的数，如是无理数，但它不是开方开不尽的数.

(7)错.两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数.如

是无理数，二0是有理数.

［师］上题主要是从概念上考查大家的理解程度，也是最容易

出现错误的题，希望大家要认真分析，作出准确判断.

［例2］把下列各数写入相应的集合中.

-1,,0.3,,,0,0.1010010001(相邻两个1之间0的

个数逐次加1).

⑴正数集合(

⑵负数集合(

⑶有理数集合｛

⑷无理数集合｛｝.

分析：正、负数集合是从数的符号来考虑的；有理数、无理

数集合是从实数的分类来考虑的，正、负数可能是有理数或

无理数，有理数，无理数包含正、负有理数，无理数.

［生］解：(1)正数集合｛,0.3,,,0.1010010001

⑵负数集合｛7,

⑶有理数集合｛7,0.3,,,0

(4)无理数集合｛,,0.1010010001｝.

［例3］你会估算吗？请估算下列各组数的大小，并作比较.

(1),3.965；

(2),•

［生］解：⑴,即45

3.965

⑵I,即23

,即45

［例4］求下列各数的平方根与算术平方根：

(1)2.25；

⑵361;

(3);

(4)10-4.

分析：10-4应先化为.

［生］解:(1)V(1.5)2=2.25

2.25的平方根为1.5,即=1.5

2.25的算术平方根为1.5,即=1.5;

(2)V(19)2=361

361的平方根为19,即=19

361的算术平方根为19,即=19；

⑶•・•()2二，

的平方根为，即二

的算术平方根为，即二；

(4)•・•()2=

的平方根为，即二

的算术平方根为，即二.

注：这个题主要是区分算术平方根与平方根的概念而设置

的.

［例5］用计算器求下列各式的值(精确到0.01).

(D；

⑵-；

(3)；

(4);

⑸-.

［生］解:⑴

(2)--5.37；

(3)

(4)10.48；

(5)--89.44.

［例6］化简:

［生］解:

(1)

(2)

(3)

［例7］一个圆的半径为1厘米，和它等面积的正方形的边长

是多少厘米？(结果精确到0.01厘米)

［生］解：设正方形