1.1.2空间向量的数量积运算课件-高二上学期数学人教A版选择性

1.1.2

空间向量的数量积运算复习巩固类比平面向量推广得到空间向量1、空间向量的定义及相关概念2、空间向量的线性运算及运算律(加法、减法、数乘)3、【共线向量定理】4、【共面向量定理】

对任意两个空间向量

,的充要条件是存在实数λ使一、复习回顾OABOABOAB1、平面向量的夹角：范围：________∠AOB0≤θ≤π特殊情况：OAB关键是起点相同！定义：已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

，

，则_______＝θ叫做向量

的夹角．记作:________二、新课讲授

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．1、空间向量的夹角∠AOB关键是起点相同！OBA范围：____________两个向量的夹角唯一确定，且

如果

，那么

互相垂直，记作==定义：已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

，

，则_______＝θ叫做向量

的夹角．记作:________二、新课讲授2、空间向量的数量积【注意】①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

②零向量与任意向量的数量积等于零.定义：已知两个非零向量

，则

叫做

的数量积．即二、新课讲授3、数量积的性质特别地(垂直的判断)(求向量模长)(求角度)二、新课讲授4、空间向量的投影思考1：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量

在向量

上的投影有什么意义？向量

向直线

l的投影呢？向量

向平面β的投影呢？如图(1)，在空间，向量

向向量

投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量

共线的向量

，

，向量

称为向量

在向量

上的投影向量。类似地，可以将向量

向直线l投影，如图(2)AB(1)(2)(3)如图(3)，向量

向平面β投影，就是分别由向量

的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量

，向量

称为向量

在平面上β的投影向量.这时，向量

，

的夹角就是向量

所在直线与平面β所成的角。AB(1)(2)(3)二、新课讲授5、空间向量数量积的运算律二、新课讲授5、空间向量数量积的运算律思考2：对于三个均不为0的数a，b，c，若有ab=ac，则b=c，对于向量

由

，你能得到

吗？如果不能，请举出反例.OBCA二、新课讲授5、空间向量数量积的运算律思考3：对于三个均不为0的数a，b，c，若有ab=c，则

，对于向量

，若

，能不能写成

的形式？思考4：对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab)c=a(bc)，对于向量

成立吗？为什么？三、巩固新知例2、如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°求：ABCD随堂练习BDAC1、(课本P8练习T2)如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，设

求：2、(课本P8练习T1)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

，则AB1与BC1所成角的大小为()A.60°B.90°C.105°D.75°随堂练习ABCC1A1B1B例3、(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m，n是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.

由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决．分析：要证明l⊥α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义).如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解决此问题.lmng三、巩固新知例3、已知直线m，n是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.lmng这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.【用向量解决几何问题的常用方法（三部曲）】选择恰当的向量表示问题中的几何元素通过向量运算得出几何元素的关系把运算结果“翻译”成相应的几何意义3、(课本P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.求随堂练习ABCD我们可以利用向量数量积解决立体几何中