高考数学函数与导数易错题题库100题（含答案分析）

高考数学函数与导数易错题题库100题(含答案)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知函数〃x)=xe'-lnx-x,若不等式/(x)2a恒成立，则a的最大值为()

A.1B.e-1C.2D.e

X

_____X>]

2.已知函数/(x)=elnx"，若函数y=[/(x)]2+(2-4a)/(x)+1恰有5个零点,

2

4-2X-X9X<\

则实数。的取值范围是()

949、

3.设函数/(x)=sin(ox+.)(0>O),已知/(x)在上单调递增，则/(x)在

(0,2万)上的零点最多有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

/、2

4.关于函数/(x)=1+lnx,下列判断正确的是()

①x=2是/(x)极大值点;

②函数y=/(x)-x有且仅有1个零点；

③存在正实数无，使得/(力>去成立:

④对任意两个正实数*1、巧且不>》2，若/(X1)=/(xj,则西+%>4.

A.①④B.②③C.②③④D.②④

4X-2x+2+m,x<0

5.已知/(x)=1的最小值为2,则加的取值范围为()

X+—,X>0

A.(-oo,3]B.(-oo,5]C.[3,+8)D.[5,+oo)

6.已知实数x,y,zeR,且满足警={=-：,N>1,则x,y,z大小关系为()

eee

A.y>x>zB.x>z>yC.y>z>xD.x>y>z

7.已知函数〃x)=|ln(x-l)|-ax+a有3个零点，则。的取值范围是()

A.(0,e)B.(0,1)C.(0.)D.

8.某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm,2cm的两个同心圆的

圆心，等腰三角形/8C的顶点A在外圆上，底边8c的两个端点都在内圆上，点在

直线8c的同侧.若线段8c与劣弧死所围成的弓形面积为E，△0/8与的面

试卷第1页，共16页

积之和为耳，设48OC=28.经研究发现当S2-，的值最大时，纪念章最美观，当纪

念章最美观时，cos0=()

A.I"避B.正-1C.7D.—

2222

9.已知函数〃x）=」I+±1+±1+3图像与函数g（x）=W4-9图像的交点为（为,必）,

xx2x42+1

（今,力），…，（xm,ym）,则Z（±+%）=（）

i=l

A.20B.15C.10D.5

10.关于x的不等式e'>aln（"-a）-〃恒成立的一个必要不充分条件是（）

A.tze（-e2,0）B.6fG（0,e2）

C.〃w（O,e）D.«e（0,e3）

11.若x>0,不等式2年1-241nx+/22(2-恒成立，则实数a的取值范围是

()

A.[2,+oo)B.[1,-K»)C.；,+8)D.、位)

12.已知实数a,b,c£(0,e),且2“=",3〃=/,5C=c5,则()

A.(a-c)(a-b)<0B.(c-<7)(c-/,)<0

C.e-a)(6-c)<0D.h<a<c

13.某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除(如公元2000年)或能被4整除而

不能被100整除(如公元2012年).闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有

28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更斯

的出生日是()

A.星期五B.星期六

C.星期天D.星期一

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14.若函数/。）=/-q2+a-山、有两个零点，则。的取值范围为（)

1

B.---,4-00

2e

D.-co,2>/e---

2e

2sin2〃x-a+—,x<a/、「、

15.已知函数/（x）=<LI2〃，若函数/（力在［0,+司内恰有5个零

x2-(2a+l)x+«2+2,x>a

点,则。的取值范围是（)

72

A.B.

4?2

77

C.23D.2

?4rI'?4T,1

16.我们常说函数y=•的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双

X

曲线的标准方程为工-片=1.函数>=之+正的图象也是双曲线，在适当的平面直

22V3x

角坐标系中，它的标准方程可能是（)

x2X2/,

A.—=1B.------=1

6618

x2

=1x2/7

C.~D.

721

sin2xcos2x+1,则下列说法正确的是（

1设/⑺)

cos4x

3'3B.7（x）在（0,意上单调递增

A./（力值域为-00,——U—,+00

22

71

C.上单调递减D./(%)=/x+—

4

18.设。=2022In2020,=2021In2021,c=2020In2022,贝U下列选项正确的是()

A.a>c>bB.c>b>a

C.b>a>cD.a>b>c

-x+2,X<6Z」，

19.己知〃〉o,函数/a）=,/2，若/㈤恰有2个零点，则。的取值范围

x-4欧+3,%〉。

是（）

A.[2,+8)B.(O,l)U[2,+x)

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7

c.32,+00)D.

制噂82

20.对于函数y=/（x）的图象上不同的两点“看,必），8（9,必），记这两点处的切线的

斜率分别为心和凝

定义0（43）=K品/（MM为线段”的长度）为曲线v=/（x）上4,8两点间的“弯

曲度''.下列命题中真命题是（）

①若函数+］图象上48两点的横坐标分别为1和2,则中9（48）＞6；

②存在这样的函数，其图象上任意两点间的“弯曲度”为常数;

③设45是抛物线y=/+l上不同的两点，则*（48）42；

④设指数曲线y=e、上不同的两点/（项,必），以马,%）,且再-々=1,若f9（48）＜l恒

成立，则实数f的取值范围是（-8,1）.

A.②④B.①②C.①④D.②③

21.已知函数〃幻=华，关于x的不等式1-7长＞0的解集中有且只有一个整数，则

X/（X）

实数。的范围是（）

fln3.

AA-L~,J

Sn2In6In2]

C.D.

9~9~9~2~J

22.已知函数/（x）=log3（3*+l）+mx（加eR）是偶函数，函数

g（x）=-3向+（3A-5）x，若g（x"2机+1恒成立,则实数人的取值范围是（）

D.2+L+e

A.[l+e,+8)C.[2+e,+s)

2JJJ

X—C1X4-----,XW-,

函数〃X)=425

23.若关于x的不等式/（x）21在R上恒成立,则”的

I2x-a\nx+\,x>—2,

取值范围为（）

A.(l,2e)B.

C.(2e,+co)D.[-l,2e)

24.已知函数/（x）=|x+l|+|x-l|+2cosx,若函数知函=f（x）-a恰有三个零点时,

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702

m+n=a(其中机，〃为正实数)，则一3+3的最小值为()

m+1〃+2

30

A.9B.7C.—D.4

7

25.设x=ln2,y=lg2,则()

A.x-y>xy>tan(x+y)B.x-y>tan(x+y)>xy

C.tan(x+y)>xy>x—yD.tan(x+y)>x-y>xy

26.若关于x的不等式e'+sinx“l-b)x+l在[0,+s)上恒成立，则实数6的取值范围为

()

A.[-e,+oo)B.[-1,+℃)

C.T'+0°)D.[-2,-H»)

27.已知函数/")=ae'Inx(“aO),若Vxe(O,l),f(x)〈V+xlna成立,则。的取值范

围是()

A.-,+ooJB.-,1IC.I0,-D.-,1

Le)LeJ【e」1e」

28.已知ae(e,+8),则函数/(x)=alnx+ax-xe"的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

29.已知函数/(x)=cosx+e*+ey-；1,则关于x的不等式/(2x-l)</(3+x)的解

集为()

A.(-1,2)B.(-j,4)C.(-8,-l)U(2,+8)

2

D.(v,-§)U(4,+oo)

二、多选题

30.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经

过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是

相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

P(X=i)=p,(i=0,l,2,3).假设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，且

p是关于x的方程：夕。+P小+夕2/+2》3=》的一个最小正实根，则下列说法正确的是

()

2}

A.1是方程：p0+ptx+p2x+p3x=x

试卷第5页，共16页

B.当E(X)=1时，p=l

C.当E(X)>1时，p=l

D.当E(X)<1时，p=\

31.已知曲线/(x)=?及点P(s,O),则过点P且与曲线》=/(x)相切的直线可能有

()

A.0条B.1条C.2条D.3条

32.下列大小关系正确的是()

A.eool-l<lnI.01B.lnl.01>—

101

C.21nl.01>VL04-lD.2In0.99>>^96-1

33.已知函数〃x)=*,g(x)坐，其中左xO,贝ij()

A.若点P(a,6)在/(x)的图象上，则点尸'(瓦。)在g(x)的图象上

B.当左=e时，设点A,8分别在/(X),g(x)的图象上，则的最小值为也

e

C.当人=1时，函数尸(x)=/(x)-g(x)的最小值小于g

D.当>=-2e时,函数G(x)=/(x)-g(x)有3个零点

34.设函数/'(x)=?-A,g(x)=e"-x,下列命题正确的是()

e

A.若函数/(x)有两个零点，则0<%<L

e

B.若/(x)40恒成立,则左<1

e

C.若VX1,*2，0<X]时，总有a(x；-x：)<2g(x2)-2g(xj恒成立等价于

D.Vxef-,ej,g(x)-，-lnr>0恒成立.

35.已知函数=--x+Inx(aeR),若对于定义域内的任意实数s,总存在实数

，使得/«)</(s),则满足条件的实数。的可能值有()

A.-1B.0C.-D.1

e

三、解答题

36.已知。为坐标原点，点3(-2,0),点A满足|。4|=3,BA.AC=O>BC的中点在线

段。力上.

(1)求C点的轨迹E的方程；

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(2)过点B的直线交曲线E于M、N两点，当痂=2丽(/Le(l,2］),求AOMN的面积S

的取值范围.

37.已知函数/(x)=xlnx.

⑴讨论函数g*)=/*)+(。+2*的单调性；

⑵若=£有两个不等实根国,々(王<匕)，证明：x2X2<e

38.已知函数/(x)=e'，g(x)=ar+l.

⑴若/(x)Ng(x)恒成立，求实数〃的值;

1-lnx1

（2）若工£（0,1）求证:----7~\—HX-----1

/（X）X

39.已知函数〃x）=xe，-x-l.

⑴求函数/(x)在区间［0』上的最小值；

⑵不等式a［/(x)+x+l］>lnx+x-2对于xe(0,+<»)恒成立，求实数a的取值范围.

40.已知函数/。)=；》3-3(4+1)/+办.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

2

(2)当ae(l,3］时，若/(*)在区间［0,a+l］上的最大值为M,最小值为加，求证：

41.已知函数/(xblnj-xe'+x+m(X>0,TMeR).

⑴若g(x)=/(x)-lnx,求g(x)在［1,2］上的最大值与最小值之差;

⑵若〃x)<0,证明：狙<1

42.己知函数/(x)=x-lnx-2.

⑴求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)函数/(x)在区间(左，4+l)(AeN)上有零点，求小的值;

13

(3)记函数g(x)=/x2-bx-2-/(x),设士/2(为<当)是函数g(x)的两个极值点，^b>~,

且g(XI)-g(X2)2%恒成立，求实数人的取值范围.

43.已知椭圆C：5+，=l(a>b>0)的离心率是正，不鸟分别是椭圆C的左、右

焦点，以线段闺国为直径的圆的内接正三角形的边长为指.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点P(疝2&)，直线/：尸x+m与椭圆C交于4、8两点，求AP/B面积的最

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大值.

44.已知函数/(*)=ln(x-l)-%(x-l)+l.

(1)求函数/(x)的单调区间；

/、、'市口口In2ln3ln4Inn.....

(2)证明：——+——+——+…+---<------(neN,〃〉1).

345〃+14

45.己知函数/(x)=」-x+〃lnx.

x

⑴讨论/(》)的单调性；

(2)若函数有两个极值点/、巧且玉<乙，求证：a<2x2-2\nx2.

46.已知函数=_x-inx(o.

⑴讨论了(X)的单调性；

(2)当工」时，I/WI..2,求。的取值范围；

47.已知函数/(x)=ln(x+l)—ax.

⑴讨论函数/(x)的零点个数；

⑵若数列｛』的前〃项和为S,,证明：S„+1-l<ln(rt+l)<S„.

48.已知=-((7+l)x+alnx.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)若x轴为函数/(x)的切线，求a的值.

49.已知函数/(x)=ln(ax)-x+a,其中a>0.

⑴求/(x)的单调区间；

(2)若对于任意x>0,/(x)<S+2)ln”恒成立，求实数a的取值范围.

50.已知函数/(x)=x-l-alnx(其中a为参数).

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意xe(0,+功都有/(A)20成立，求实数a的取值集合；

(3)证明：［1+：)<e<(l+：)(其中〃eN*，e为自然对数的底数).

51.已知函数〃x)=aAe=(x+l)2(aeR,e为自然对数的底数).

⑴若/(x)在x=0处的切线与直线尸ar垂直，求。的值：

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⑵讨论函数/(X)的单调性；

(3)当时、求证：/(x)>Inx-xi-x-2.

e

52.已知函数/(x)=xlnx-x,g(x)=alnx-x2+1.

⑴求函数/(x)的最小值；

⑵若g(x)40在(0,+s)上恒成立，求实数。的值;

(3)证明：e"另**士>2023，e是自然对数的底数.

53.已知函数f(x)=/.

(1)求曲线y=/(x)在点:

处的切线方程;

2

⑵设g(x)=/(k)-左有两个不同的零点为,三，求证：xtx2>e.

54.已知/(x)=e"+"tv("?<-l).

⑴当机=-2时，求曲线y=/(x)上的斜率为-1的切线方程；

(2)当xNO时，/(x)zgx2+gl-3恒成立，求实数机的范围.

55.某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中

第左(斤=1,2,…,100)个箱子中有发个数学题，100-左个物理题.每一轮竞赛活动规则如

下：任选一个箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作答完毕，则该轮

活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.

(1)己知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数

学题的概率为人答对每一个物理题的概率为必

①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；

②已知p+q=l,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时。、

4的值.

(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.

56.已知函数/(x)=alnx-x+'(4>0).

(1)当时，/(x)40恒成立，求实数。的取值范围；

(2)当a=1时，g(x)=M(x)+/-l,方程g(x)=，〃的根为玉、x2,且求证：

x2-x(>1+e/n.

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57.直线/：y=h+，交抛物线f=4y于A,8两点，过A,B作抛物线的两条切线，相

交于点C,点C在直线y=-3上.

(1)求证：直线/恒过定点T,并求出点7坐标；

(2)以7为圆心的圆交抛物线于PQMN四点，求四边形PQMN面积的取值范围.

58.已知〃力=「"""Lg(x)=ln(x+a).

x+3,x<-l

，,

(1)存在/满足：/(Ar0)=g(x0),/(x0)=g(x0),求a的值;

(2)当“44时，讨论A(x)=/(x)-g(x)的零点个数.

X21

59.已知函数/(x)=alnx+5-(a+l)x+a+](aeR)有一个大于1的零点x0.

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：对任意的xw(l,x0],都有alnx-x+l>0恒成立.

60.已知函数f(x)=2x+2-lnx.

x

(1)求函数的单调区间和极值；

⑵若玉WX2且/(再)=/(々)，求证:XyX2<l.

ft,'I

61.已知/(x)=--(tn^0),g(x)=xev--^ix2-ax(aG3.

(1)当x>o时，讨论/a)的单调性;

(2)若机=-；,对可€口,+<»),气€[0,+8),使得g(X2)>/(xJ恒成立，求。的取值范

围.

62.已知函数_/'(x)=qlnx+f-(a+2)x,其中aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵若函数/(x)的导函数/(X)在区间(l,e)上存在零点，证明：当xe(l,e)时，/(x)>-e2.

63.已知函数/(》)=6飞11'+1)("1<),/"(X)为"X)的导数.

(1)设函数g(x)=AD,求g(x)的单调区间；

e

(2)若/(x)有两个极值点，玉/2区<七)，求实数a的取值范围

64.已知函数/(x)=e*+sinx-cosx-ax.

(1)若函数/(X)在[0,+e)上单调递增，求实数。的取值范围；

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⑵设函数g(x)=/(x)-ln(l-x),若g(x)20,求a的值.

65.已知/3=北-了.

(1)若函数/(X)有两个极值点，求实数人的取值范围；

I23n

(2)证明：当NCN*时，尹+五+转+...+(〃+17,1<1.

66.已知函数/(x)=lnx,g(x)=f-x+1.

⑴求函数〃(x)=/(x)-g(x)的单调区间;

(2)若直线/与函数〃x),g(x)的图象都相切，求直线/的条数.

67.已知函数/(x)=x2-ar+(a-l)lnx.

⑴若x=2是函数/")的一个极值点，实数。的值；

(2)讨论函数〃力单调性.

68.设函数f(x)=ae"'-lnr-1,其中a>0

(1)当“=1时，讨论/(x)单调性；

(2)证明:/(X)有唯一极值点%，且f(%)20.

69.设函数/(x)=ln(x+l)+“(工2_工)，其中aeR.

(l)a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)讨论函数/(x)极值点的个数，并说明理由；

⑶若Vx>0J(x)…0成立，求a的取值范围.

70.已知函数/⑺=(・4”2、+1.

⑴求f(x)的极值.

(2)设/("?)=/(")(机H"),证明：m+n<l.

71.已知函数/(x)=lnx+ar+l,aeR,函数g(x)=(，-x+l)e*+xInx-2x,

xe[e~2,+oo).

(1)试讨论函数/(x)的单调性;

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(2)若%是函数g(x)的最小值点，且函数〃(x)=M(x)在x=x0处的切线斜率为2,试求

a的值.

72.已知函数f(x)=(x2+2-a)e1

(1)讨论函数的单调性；

⑵若x£(0,+口)J(x)2-a恒成立，求整数a的最大值.

73.定义：如果点用(%,凡)在函数N=/(x)的图像上，那么点用(%,％)关于直线》=x的

对称点耳(%,与)在函数夕=g(x)的图像，则我们称函数V=/(x)与函数y=g(x)的图像

关于直线y=X对称.例如，如果点P0(x0,y0)在函数“X)=2"的图像上，那么点用小,%)关

于直线N=x的对称点々(为,/)在函数g(x)=log,x的图像，则我们称函数/(%)=2,与函

数g(x)=lo&x的图像关于直线y=x对称.

已知函数y=/(x)与函数y=g(x)的图像关于直线y=x对称，且g(x)=k)g4(4'—l),

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)设函数〃a)=logK%-h2')+],若函数y=〃x)的图像在函数y=/i(x)图像的上方，

试求实数左的取值范围.

74.已知函数/(x)=e*-fcv,g(x)=2x---81nx((zG/?).

⑴当人=1时，求函数“X)在区间卜川的最大值和最小值；

(2)当/(力=0在1.2有解，求实数4的取值范围；

(3)当函数g(x)有两个极值点再，x2(xt<x2),且占#1时，是否存在实数机，总有

鲁?>机(5x?-x；)成立，若存在，求出实数，”的取值范围，若不存在，请说明理由.

75.已知函数/(x)=V+lnx(a为常数)，且函数/⑶的图象在x=2处的切线斜率小于

X-1

~2,

(1)求实数”的取值范围；

⑵试判断(a-l)lne与(e-l)lna的大小，并说明理由.

76.已知函数/(x)=21n_r-ax,a€R.

⑴当a=0时，求曲线夕=/(切在(1,/(1))处的切线方程；

(2)设函数g(x)=/(x)-lnr-2x+l,若g(x)40在其定义域内恒成立,求实数a的最小

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值；

(3)若关于X的方程/(x)=x2+hw恰有两个相异的实根和马，求实数。的取值范围，并

证明>1.

77.已知一动圆经过点加(2,0),且在V轴上截得的弦长为4,设动圆圆心的轨迹为曲

线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)过点N(1,O)任意作相互垂直的两条直线h％,分别交曲线C于不同的两点4B和不同

的两点.设线段AB,DE的中点分别为P,Q.

①求证：直线尸。过定点心并求出定点R的坐标；②求|尸。|的最小值.

78.己知/(x)=+ax(aeR).

⑴求a=l时，/(x)在处的切线方程；

⑵若/(x)存在两个极值点为，々且〃再)+/(超)4加，求实数机的取值范围.

79.已知函数/(x)=4，g(x)=4(x-l).

\nx

⑴证明：VZeR,直线y=g(x)都不是曲线y=/(x)的切线；

(2)若Vxe[e,e],使/(x)4g(x)恒成立，求实数％的取值范围.

80.设函数/'(刈=胆一色，其中“eR且。声0,e是自然对数的底数.

ax

⑴设/(X)是函数/(X)的导函数，若/'(X)在(2,3)上存在零点，求〃的取值范围；

4

(2)^a>-,证明：/(x)<0.

e

81.已知函数/(x)=x-2-21nx.

⑴判断函数/(x)的单调性；

(2)设g(x)=/(x2)-8"(x),当x>I时，g(x)>0,求实数6的取值范围.

82.已知函数/(x)=e,-2zzx,g(x)=2a2x-sinx+1,其中e是自然对数的底数，aeR.

(1)试判断函数/(x)的单调性与极值点个数；

(2)若关于x的方程q/'(x)+g(x)=0在[0,可上有两个不等实根，求实数a的最小值.

83.已知函数/(x)=ev-w(x+1)2(me7?,e«2.718).

试卷第13页，共16页

(1)选择下列两个条件之一：①，"=5；②"=1,判断“X)在区间(0,+8)上是否存在极

小值点，并说明理由；

(2)已知">0,设函数8(力=/(》-1)+侬10(加)若8(力在区间(0,+8)上存在零点,

求实数用的取值范围.

84.已知函数/'(无)=：/-or+lnr(aeR).

(1)试讨论函数/(x)的单调性：

⑵设〃岑加，〃分别是/(x)的极大值和极小值，且S=w-〃，求S的取值范围.

85.已知函数/(x)=alnx+x2,其中aeR且awO.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当。=1时，证明：/(x)<x2+x-l；

(3)求证：对任意的〃eN"且〃22,都有：[1+齐)[1+铲](1+不…[1+/]<e.(其

中ez2.718为自然对数的底数)

86.已知函数〃x)f+(6-l)x+l

(1)当。=(，b=-l时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵当0<°We2,且x>2时;〃x)>bln[a(x-l)]恒成立，求6的取值范围.

87.设函数/(x)=ln(2x)+ax+b.

⑴求函数/(X)的单调区间；

⑵若“X)的图象在x=l处的切线方程为x-y+l=O,求证：/(x)<e2x.

88.已知函数/'(x)=。sinx+bcosx+csinxcosx+l(tz,Z),ceR).

(1)当a=b=c=l时,求/(x)的值域；

(2)当a=l,c=0时，设g(x)=/(x)-l,且g(x)关于直线x=g对称，当xe[0,句时,

6

方程g(X)-，〃=0恰有两个不等的实根，求实数加的取值范围；

(3)当4=6，b=\,c=0时、若实数加，«,。使得w(x)+"(x-p)=l对任意实数X

恒成立，求普的值.

3nl+n

89.已知函数f(x)=lnx-四，g(x)=a(x-2)e'-v-l,其中aeR.

X

试卷第14页，共16页

(1)讨论〃x)的单调性;

(2)当0<a<g时，是否存在占户2，且X|WXz，使得/(xj=g(xj(i=l,2)?证明你的结

论.

90.已知函数-(2/-a+l)x+(2q-l)lnx+2,其中awO.

⑴当“=1时，求“X)的单调区间：

(2)当a>0且。工1时，/(x)存在一个极小值点％,若x0>3.求实数。的取值范围.

91.直线y=fcc+2交抛物线C：炉=4夕于Z,8两点，分别过点N,8作抛物线C的切

线//，h，若//,/2分别交x轴于点〃，N,求四边形4面积的最小值.

四、填空题

92.已知函数/卜)=呼，若关于x的不等式卜(力了-4(x)N0有且仅有1个整数解,

则«的取值范围为.

93.已知函数/(x)=mx+-!-(加>0,”>0)的定义域为(0,+8),若x=l时，9(x)取得

nx

最小值，则吟1+卫文的取值范围是___________.

n+2加+2

94.已知函数〃x)="；大,若对£(1，+8),MW/，都有

|/(再)-/(工2)|训In再-In%|,则1的取值范围是.

95.已知〃x)=KT"若方程.f(x)=F+2有一个实数根，则实数机的取值范围

2-er,x,1

是.

96.设函数，(x)是定义在(-8,0)U(0,+oo)上的奇函数，/(x)为“X)的导函数，当x>0

时，xlnx./-(x)+/(x)>0,则使得(x+2)/(x%o成立的x的取值范围

X-1

97.已知存在。>0,使得函数/(x)=Hnx与g(x)=x2-3x-b的图象存在相同的切线，

且切线的斜率为1,则b的最大值为—.

98.已知函数，(x)=sin(0x+?J(w>0),若/(x)在(),等上恰有两个零点，且在

7T1T

上单调递增，则。的取值范围是

_424_--------

五、双空题

99.将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成I级Ko"曲

线“一/、_"，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可

试卷第15页，共16页

得3级KoM曲线（如图1）,…，KoM曲线是几何中最简单的分形.若一个图形由N

个与它的上一级图形相似，相似比为，•的部分组成，称。=|bg,N|为该图形分形维数,

则Koch曲线的分形维数是.（精确到0.01,log,2^0.631）在第24届北京冬

奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未

来”的美好愿景.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条、级Koch曲线组成，再

将六角雪花曲线每一边生成一条1级KoM曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）,

依次得到〃级（〃eN*）角雪花曲线.若正三角形边长为1,则〃级K”角雪花曲线

的周长G=

图2图3

100.已知/（x）是定义在R上的奇函数，且/（凶+1）=2/（国-1）.若当xe（O,l）时，

/（x）=l-|2x-l|,则/.（X）在区间（-1,3）上的值域为,g（x）=/（x）-1x在

区间（-1,3）内的所有零点之和为

试卷第16页，共16页

参考答案：

1.A

【解析】

【分析】

先判断出。4/(x)1nM.利用同构，把/(x)=xe'-lnx-x转化为y=e'-f(/=lnx+x,(x>0)),

利用导数判断单调性，求出最小值，即可得到。的最大值.

【详解】

要使不等式“X)之〃恒成立，只需。V/(x)min.

函数/'(x)=xe*-lnx-x的定义域为(0,+<»).

因为xeW、"，所以令r=lnx+x,(x>0),则y=e'-/.

对于f=lnx+x,(x>0),/=，+1>0,所以f=lnx+x在(0,+s)上单调递增，

当X—>0+时，ITY°；当x—>+°0时，t—>+8.

所以EwR.

对于y=e'-f(/GR).y'=e'-l.

令V>0,解得：t>0；令V<0,解得:r<0.

所以歹=e'T在(0,e)上单调递增，在(-8,0)上单调递减.

所以ymi„=e°-0=l,BP/(x)min=l.

所以a4/(X)min=l.

故选：A

【点睛】

导数的应用主要有：

(1)利用导函数几何意义求切线方程；

(2)利用导数研究原函数的单调性，求极值(最值)；

(3)利用导数求参数的取值范围.

2.C

【解析】

【分析】

答案第1页，共127页

先研究x>l时，/(x)=:匚的单调性和极值，然后画出分段函数的图象，再令/(X)=，，通过

elnx

换元后数形结合，可转化为一元二次方程根的分布问题，从而即可求解.

【详解】

解：当X>1时，/")=f，贝1」-。)=生]，

elnxelnx

当l<x<e时，f'(x)<0,/(x)单调递减，当x>e时，f'(x)>0,/(/单调递增,

所以x>l时，/(x)../(e)=l；

当X,1时，f(x)=5-2x-Xt=-(x+l)2+5.5；

作出/(x)大致图象如下：

由函数y=[f(x)]2+(2-4a)/(x)+l恰有5个不同零点，即方程+(2-44)/(x)+l=0恰

有5个不等实根,

令/(x)=，，则方程*+(2-4a)f+1=0(*),令函数w(f)=*+(2-4a)/+l,

i/(l)=l+2-4a+l<0

①方程(*)在区间(-吗1)和(1,5)上各有一个实数根，则,解得

〃(5)=25+5(2-4a)+l>0

K.<1,

②_方程(*)在区间(,1,5、)和(5,”)各_有一个实数根，则t/“(;l)6=)=l+252+-54(a2+-l4“>)0+1<0'不等式组

无解；

③方程(*)的两根为1和5,此时-4。)无解.

[1x5=1

9

综上>1<tz<—.

故选：C.

答案第2页，共127页

3.A

【解析】

【分析】

先求出函数/（x）的单调区间，根据题意得出参数。的范围，设f=+则

f,由2初r+手］,得出函数夕=sinf在（£,2。%上的零点情况

出答案.

【详解】

7t71n^.Tt2TT2kn_n2k兀,„

由---卜2卜兀WcoxT—W—F24zr,kwZ,得-----1-------WxW-----1--------,ksZ,

2623coco3（oco

24(71

取％=0,可得一?4》4占.若〃X）在［-U］上单词递增，贝人3606

3（o3（o''L64」冗>71

茄一了

4TC（7T7ZI

解得若xe（O,2乃），贝ij（vx+工e|二，20乃+二.

36166）

_7Trt।7T_71j,__.._71\71174

设%，=5+二，则ZW7,2切T+川，因为t2。万+;£二,一^―

6\66）ov66

所以函数…皿在仁,2。万+2）上的零点最多有2个.

所以/（X）在（0,27）上的零点最多有2个.

故选：A

4.D

【解析】

【分析】

利用极值与导数的关系可判断①的正误；利用导数分析函数v=/（x）-x的极值与单调性，结

合零点存在定理可判断②的正误；利用参变量分离法结合导数可判断③的正误；利用对数平

均不等式7A二A>而'结合基本不等式可判断④的正误.

InX,一Inx2

【详解】

对于①，函数/'（x）=2+inx的定义域为（0,+e）,广口）=工-与=华，

XXXX"

当0<x<2时，r（x）<0,此时函数/（X）单调递减，

当x>2时，/'（x）>0,此时函数/（X）单调递增,

答案第3页，共127页

所以，x=2是〃x)极小值点，①错;