信息光学习题答案

信息光学习题答案

第一章线性系统分析

1.1简要说明以下系统是否有线性与平移不变性.

〔1〕〔2〕g(x)=J/(x)公；

〔3〕g(x)=|/(x];〔4〕=j-a)]2da;

-00

00

〔5〕j/(a)exp(-j2^a)da

-00

解：〔1〕线性、平移不变；〔2〕线性、平移不变；〔3〕

非线性、平移不变；

〔4〕线性、平移不变；〔5〕线性、非平移不变。

1.2证明conib\—=comb{x)w(JTZX)+conib(x)

证明：左边=coml?[-\=ZC-=E5—(x-2n)=2£b(x-2〃)

I2y/”=-00l2)/J=-CO2«=-oo

当n为奇数时，右边=0,当n为偶数时，右边=

所以当n为偶数时，左右两边相等。

1.3证明芯(sin;zx)=comb(x)

证明：根据复合函数形式的6函数公式

式中七是h(x)=0的根，"(七)表示人(x)在x=x,处的导数。于是

1.4计算图题L1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。当-14XW0时，如图题1.1(a)所示,

当0<xW1时，如图题1.1(b)所示，

111

-+—x——X3,-l<x<0

326

1113

即g(x)='------XH-----X,0<x<1

326

0,其它

1.5计算以下一维卷积。

〔1〕

〔3〕comb{x)*rect(x)

解：〔1〕8(2x-?))*rect

⑵设卷积为g(x),当X&0时,如图题1.2(a)所示,

当0<x时,如图题1.2(b)所示

即

〔3〕comb(x)*rect(x)=1

1.6exp(-欣2)的傅立叶变换为exp(一待2),试求

〔1〕次xp(-Y)}=?〔2〕次冲(--/2/)}=?

解：设y=z=&己即p{exp(-7Cy2)}-exp(-T£,2)

由坐标缩放性质血/(血力)}=占得

\ab\yab)

[1〕@{e冷(一，)}=@{e乎(-J/%}=邛(一万z?)=V^ejqX一"话？)

〔2〕犯{exp(-//2/)}=犯{exp(-y?/2m?)}

1.7计算积分.〔1〕〔2〕

解：应用广义巴塞伐定理可得

1]

ooooC

jsinc2(x)sinc2(^x)dx=jA(^)A(^)^=j(l+J)2dJ+=一

—oo-oo3

〔2〕jsinc2(x)cos;tvdr=；{jAOS(J+g)dJ+>

1.8应用卷积定理求/(%)=sinc(x)sinc(2x)的傅里叶变换.

解:纪{sinc(x)sinc(2x)}=匏{sinc(x)}*p{sinc(2x)}=grect(^)*recf(1)

当时，如图题L3(a)所示,

当时，如图题1.3(b)所示，

当时，如图题1.3(c)所示，

2G©的图形如图题1.3(d)所示，由图可知

1.9设/(x)=exp(-砌)，尸＞0,求

解：纪{exp(-/?W)}=Jexp(/Jr)exp(-j27i^x)dx+exp(-j3x)exp(-j27t^x)dx

1.10设线性平移不变系统的原点响应为Mx)=exp(-x)srep(x),试

计算系统对阶跃函数"e『(x)的响应.

解：由阶跃函数定义

得

线性平移不变系统的原点响应为

所以系统对解阶跃函数sre『(x)的响应为

1.11有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为

%(x)=sinc(x)与〃2(x)=sinc(3x).试计算各自对输入函数/(x)=cos2^x的

响应g[x)与g2(x).

解：

1.12一平面波的复振幅表达式为

试计算其波长人以及沿x,y,z方向的空间频率。

解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

由题可知，kcosa=2,kcos/3=-3,Acos/=4

又因为COS20+COS2P+cos2/=1所以上=正寸

波长为

沿x,y,z方向的空间频率为

1.13单色平面波的复振幅表达式为

求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率.

解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

3

由题可知,kcosa-kcos/3-,kcosy

后V14

又因为cos?a+cos?尸+cos?y=1所以左=1

波长为

沿%,y,z方向的空间频率为

第三章光学成像系统的传递函数

3.1参看图3.1.1,在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)

式时，对于积分号前的相位因子

试问：〔口物平面上半径多大时，相位因子

相对于它在原点之值正好改变兀弧度？

〔2〕设光瞳函数是一个半径为a的圆，则在物平面上相应h

的第一个零点的半径是多少？

〔3〕由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进展，则a,入与

之间存在什么关系时可以弃去相位因子

解：〔1〕由于原点的相位为零，于是与原点相位差为死的条件是

〔2〕根据

相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其

中心位于理想像点（兀，工）

式中/,而

P〔1〕

)

在点扩散函数的第一个零点处，（2加2）=0,此时应有2加心=3.83,即

（2）

将⑵式代入⑴式，并注意观察点在原点a=%=0）,于是得

⑶

〔3〕根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上

所有点在像面上的点扩散函数对于原点的奉献以人,，％0,0）o按照上面

的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮

斑对原点的奉献，则这个奉献仅仅来自于物平面原点附近

〃,=0.6£4,/a范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子

exp""；/2d］变化不大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于

几分之一弧度（例如K/16）就满足以上要求，则

ki^l2do<~,14就/16,也即

1O

a>2.447M〔4〕

例如入=600,=600,则光瞳半径a>1.46,显然这一条件是极

易满足的。

3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

放在图3.1.1所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平

面波的传播方向在&z平面内，与z轴夹角为6。透镜焦距为1,孔径

为D。

(1)求物体透射光场的频谱；

(2)使像平面出现条纹的最大e角等于多少？求此时像面强度

分布;

〔3〕假设e采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅

频率是多少？与e=o时的截止频率比拟，结论如何？

解：〔1〕斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为

Aexp(^x°,sine),为确定起见设0,则物平面上的透射光场为

Uo(xo,yo)=Aexp(网,sin0)t(xo,yo)

sin。sin。

=-"^exdj2mo+7exp-j2m\/„

其频谱为

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿§轴整体平移了6/入距离。

〔2〕欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系

统的截至频率金=。/4秒，于是要求

由此得

口〕

e角的最大值为

⑵

此时像面上复振幅分布与强度分布为

〔3〕照明光束的倾角取最大值时，由⑴式与⑵式可得

或fJL

即Jo=

~2Af"J"max22/

⑶

e=0时，系统的截止频率为4=D*#',因此光栅的最大频率

(4)

比拟⑶与⑷式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提

高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在J=〃=0处都等于1,这是为什么？光学传

递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这

时的光学传递函数怎样？

解：在

00

JJ%(巧,/)exp~/2乃(先〃％)团血

N©〃)="人⑷=々--------------------------〔1〕

JJhl(xi,yi)dxidyi

—00

式中，令以孙为)=」即必)一

J\h,(xi,yi)dxjdyi

-O0

为归一化强度点扩散函数，因此⑴式可写成

00

而Z(0,0)=1=JJh(Xj,yjdXjdy

-00

即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全

部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。

〔2〕不能大于lo

〔3〕对于理想成像，归一化点扩散函数是8函数，其频谱为常

数1,即系统对任何频率的传递都是无损的。

3.4当非相干成像系统的点扩散函数成点对称时，则其

光学传递函数是实函数.

解：由于〃/口,%）是实函数并且是中心对称的，即有

%（须，%）=居（玉，%）,hl（xi,yi）=hl（-xi,-yi）,应用光学传递函数的定义式

易于证明N©"）=N*C，〃），即寸小〃）为实函数

3.5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。

小圆孔的直径都为2a,出瞳到像面的距离为，光波长为X,这种系

统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？

解：用公式来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，

因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统

的截止频率在任何方向上均一样。其次，作为近似估计，只考虑每个

小孔自身的重叠情况，而不计及与其它小孔的重叠。这时N个小孔

的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况

是一样的，即截至频率约为20/2<,由于2a很小，所以系统实现了

低通滤波。

第四章局部相干理论

4.1假设光波的波长宽度为△入，频率宽度为Av,试证明：。设

光波波长为1=632.8〃九”=2x10%%试计算它的频宽Av=假设把

光谱分布看成是矩形线型，则相干长度/,=?

证明：因为频率与波长的关系为c=其中C为光速）

对上式两边求导得dc=vM+Adv=0

dvdXAvA2AvAA

所以__s=—s=

v2v2v2

因2=632.8加n,Al=2xIO-8nm

所以1=1.5x104赫

有因为相干长度%=M

4.2设迈克耳孙干预仪所用光源为4=589〃%42=589.6〃加的钠

双线，每一谱线的宽度为o.oi.

〔1〕试求光场的复相干度的模；

〔2〕当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？

〔3〕可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？

解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为

〔1〕光场的复相干度为

式中△"匕-9，复相干度的模为

由于，故第一个因子是工的慢变化非周期函数，第二个因子是［的快

变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在

「1/8的地方，Q即为相干时间，故相干长度

(2)可见到的条纹总数TV=4=4=^V-58930

/Im().1

〔3〕复相干度的模中第二个因子的变化周期r=l/Av,故

可见度的变化周期〃=三=孚=警=2=60

TOVOA0.1

每个周期内的条纹数

4.3假定气体激光器以N个等强度的纵模振荡。其归一化功率

谱密度可表示为

式中，Av是纵模间隔，G为中心频率。为简单起见，假定N为奇数。

〔1〕证明复相干度的模为

〔2〕假设N=3,且0<T《1/AV,画出|加1与Avr的关系曲线。

〔1〕证明：复相干度函数为

00

/(T)="(u)exp(/2^vr)Jv得

o

所以复相干度得模为

〔2〕当3时，复相干度的模为

4.4在例4.7.1所示的杨氏干预实验中,假设缝光源用两个相距

为a,强度相等的准单色点光源代替，试计算此时的复相干系数。

解：应用范西泰特-策尼克定理得

4.5利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z

的平面上任意两点Pi与P2之间的复相干系数H(Pi2).

解：设光源所在平面的坐标为a,0;孔平面的坐标为x。点

P1与P2的坐标为(X11)与(X22)。对于准单色点光源，其强度可表为

在傍轴近似下，由范西泰特一策尼克定理得

因为|〃(耳,£)|=1，由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说

面上的相干面积趋于无限大。

第六章计算全息

6.1一个二维物函数f(x,y),在空域尺寸为10X10,最高空

间频率为5线，为了制作一张傅里叶变换全息图：

(1)确定物面抽样点总数.

(2)假设采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元

总数是多少？

⑶假设采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元

总数是多少？

(4)两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什

么？

解：(1)假定物的空间尺寸与频宽均是有限的。设物面的空间尺寸

为Ax,Ay;频宽为2,2.根据抽样定理，抽样间距6x,6y必须满足8x

<1/2,8y<1/2才能使物复原。故抽样点总N(即空间带宽积)为

(2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开

孔的大小与开孔的位置来编码物光波在该点的振幅与相位。根据抽样

定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即N=SW=104。

要制作傅里叶变换全息图，为了不丧失信息，空间带宽积应保持不变,

故在谱面上的抽样点数仍应为N=IO。.

(3)对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，

载频a应满足a>

为满足制作全息图的要求,其抽样间隔必须满足1/2,8y<l/2o

因此其抽样点数为

(4)两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型

编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样

单元编码一实数。

修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个

抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅

与相位进展编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息

图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。防止了相位编码是以增加抽

样点数为代价的。

6.2比照光学离轴全息函数与修正型离轴全息函数，说明如何选

择载频与制作计算全息图的抽样频率.

解：设物的频宽为(2星,2纥,)

⑴对于频宽a的选择光学离轴，由图6.2.5(b)可知，

a>3BV

修正离轴，由图6.2.5(d)可知，

a>B、

载频的选择是为了保证全息函数在频域中各构造分量不混叠。

(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择

光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：

在x方向的抽样频率应28纥，即x方向的抽样间距蜃41/8纥o

在y方向的抽样频率应>4BV,即X方向的抽样间距aw1/4Byo

修正离轴全息，由图6.2.5(e)可知：

在X方向的抽样频率应N4B、，即X方向的抽样间距及41/4纥。

在y方向的抽样频率应>2BV,即X方向的抽样间距aW1/2B,。

6.3一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏()法，这种方

法在偏置项中参加物函数本身，所构成的全息函数为

(1)画出该全息函数的空间频率构造，说明如何选择载频.

(2)画出黄氏计算全息图的空间频率构造，说明如何选择抽样载

频.

解：把全息函数重写为

物函数为f(x,y)=A(x,y)exp["(x,y)]

并且归一化的，即|4%刈2=1,参考光波R=lo经过处理后的

振幅透过率为

其频谱为

(1)设物的带宽为2a,2%，如图题6.3(a)所示。全息函数的空间频

谱构造如图题6.3(b)所示，载频纥。

(2)黄氏全息图的空间频率构造如图题6.3(c)所示，由此可得出：

在x方向的抽样频率应26从，即x方向的抽样间距及41/6纥。

在y方向的抽样频率应＞2B,,即X方向的抽样间距aw1/2B,。

抽样点数即空间带宽积为N=SW==12xyBB.

oxoyvv

黄氏计算全息图的特点：

⑴占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积

SW=8盯8出)，不具有降低空间带宽积的优点。

(2)黄氏全息图具有更高的比照度，可以放松对显示器与胶片曝光

显影精度的要求。

6.4罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1

所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是

如何对振幅与相位进展编码的.

解：对于I型与出型，是用A及来编码振幅A(),用d及来编码相

位。(x,y),在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题6.4(a).

对于罗曼E型是用两个一样宽度的矩孔来代替I,皿型中的一个

矩孔。两矩孔之间的距离A位是变化的，用这个变化来编码振幅A()。

在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。两个矩孔中心距离抽样单元

中心的位移量“会用作相位0(x,y)的编码。在复平面上两矢量的合成方

向即表示了O(x,y)的大小，如图题6.4(b)所示。

第八章空间滤波

8.1利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨

距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比拟。

解:显微镜是用于观察微笑物以决定，截止频率为sin',"。从

体的，可近似看作一个点，物近几何上看，近似有sin%笈0/2/。

似位于物镜的前焦点上。设物镜截止频率的倒数的倒数即

直径为D,焦距为f,如图8.1为分辨距，即

所示。对于相干照明，系统的截对于非相干照明，由几何光学可

止频率由物镜孔径的最大孔径角知其分辨距为

非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。

8.2在4f系统输入平面放置401的光栅，入射光波长632.8。

为了使频谱面上至少能够获得±5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不

小于2,求透镜的焦距与直径。

解：设光栅宽度比拟大，可近似看成无穷，设周期为d,透光局

部为a,则其透过率函数可表为

其频谱为

即谱点的位置由J=//"=加4决定，即m级衍射在后焦面上的位置

由下式确定：

相邻衍射斑之间的间距MTd

由此得焦距f为八牛马-795

物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的±5级衍射斑

对应于能通过透镜的最大空间频率应满足

于是求得透镜直径

8.3观察相位型物体的所谓中心暗场方法,是在成像透镜的后焦

面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相

位延迟<<1弧度，求所观察到的像强度（用物体的相位延迟表示出来）o

解：相位物体的透过率为

其频谱为丁（4〃）=韵｛1+,y）｝=7）+川7）

假设在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零

频背景分量，则透过的频谱为

尸《川）=/①《川）

再经过一次傅里叶变换（在反演坐标系）得严（%为）="。3，%）

强度分布为

因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将

相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分

析带来困难。

8.4当策尼克相衬显微镜的相移点还有局部吸收,其强度透射率

等于Q（O<a<l）时，求观察到的像强度表示式。

解：相位物体的频谱为

现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个±兀/2的相

移，即滤波器的透过率表达式为

于是TM（虞〃）=H记力）T记，哨=土）仍（0〃）+/①

像的复振幅分布为严。3，%）=±/。+/。。3，y3）

像强度分布为

像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。

8.5用（阴极射线管）记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔

为0.2,图像最高空间频率为10%如欲完全去掉离散扫描点，得到

一帧连续灰阶图像，空间滤波器的形状与尺寸应当如何设计？输出图

像的分辨率如何（设傅立叶变换物镜的焦距f=1000，入=632⑻。

解：扫描点的表达式为

其频谱为

在上式的化简中应用了公式

由此可见，点状构造的频谱仍然是点状构造，但点与点之间的距离不

同。扫描点频谱出现的位置为

点状构造是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径

为

能传递的最高空间频率为

即高于51的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为5lo

8.6某一相干处理系统的输入孔径为30X30的方形，头一个变

换透镜的焦距为100,波长是632.8。假定频率平面模片构造的精细

程度可与输入频谱相比拟，问此模片在焦平面上的定位必须准确到何

种程度？

解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数

p(),根据题意其表达式为

设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为

/(再/)，它的频谱分布为尸《力)，透镜后焦面上的场分布

式中4=々//,〃=必//。由U/的表达式可见，频谱面上能分辨的细

节由sinc(30g)sinc(30〃)决定。取一个方向来看，将函数由最大降为零

的宽度取为最小分辨单元，即要求满足30A4=1或30—2/4=1，于是有

因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它

的一半，约1MH1.

第九章相干光学处理

9.1参看图9.1.1,在这种图像相减方法的编码过程中，如果使

用的光栅透光局部与不透光局部间距分别为a与b,并且a^bo试

证明图像与的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇

数倍频的调制。

解：如图题9.3所示，先将t(x)展开成傅立叶级数

式中

所以

第一次曝光得

对于/'(X)是将光栅向x的负方向移动半个周期即()/2,将它展开

成傅立叶级数得

第二次曝光得

即图像与的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差的信息受到光栅奇

数信频的调制。

9.2用方法来综合一个平年元平面滤波器，如图9.1(左)所示，

一个振幅透射率为s()的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前

面，用照相底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率

正比于曝光量。这样制得的透明片放在图题9.1(右)的系统中，假定

在下述每种情况下考察输出平面的适当部位，问输入平面与第一个透

镜之间的距离d应为多少，才能综合出：

〔1〕脉冲响应为s()的滤波器？

〔2〕脉冲响应为s*()的“匹配”滤波器？

解：〔1〕参看图题9.1左，设物面坐标为x1,y】；胶片坐标为X2,

y2o则参考光波在记录胶片上造成的场分布为

Ur(x2,y2)=Aexp(-j2my2)〔1〕

式中A为常数，a=6/入为空间频率。物透明片在记录胶片上造成

的场分布为

式中S(§,n)为s(x】,yj的频谱，且§=X2/入f,肥/入f。胶片上的光强分

布为

2

I(x2,y2)^\Ur(x2,y2)+U^x2,y2)\

=A'+。2.修,〃)3+cAS"C，〃)exp一j2兀/+和2+(2)

CAS(g,〃)expjl7i%+%]+也

将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射

光的强度，即

f(x2,y2)xI(x2,y2)〔3〕

将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题9.1右所示的滤波

系统中。要综合出脉冲响应s(x,y)或s*(,),只要考察当输入信号为

单位脉冲6(x,y)时，在什么条件下系统的脉冲响应为s(x,y)或

s*(,)。

参看右图，当输入信号为8(X】，yj时，在L2的后焦面上形成的

光场复振幅分布，根据公式

(——4)(/+/)oO

U(x,y)=c'exp<jkJ卜(X”y。)exp-jkdx.dy。

2b(/-4)+凤］q(f-d0)+及

-00_

得