苏科版九年级数学上学期期末考前冲刺测试卷（三）含答案与解析

苏科版九年级上学期期末考前冲刺测试卷（三）

数学

班级姓名学号分数

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单选题（每题3分，共30分）

1.一元二次方程x（x-14）=0的根是（）

A.0B.14C.0或14D.0或-14

2.若一组数据3、4、5、3、6、7的平均数是5,则%的值是（）

A.4B.5C.6D.7

3.将抛物线y=-2/向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析

式为（）

A.y=-2（x+l/B.y=-2（%+l）?+2C.y=-2（x-l）2+2D.J;=-2（%-1）2+1

4.已知在RfABC中，ZC=90°,AB=13,AC=12,则NB的余弦值为（）

12512

1313125

5.若A（—4,y）,B（-l,y2）,C（2,%）为二次函数、=一/一3无+,〃（加为常数）的图象上

的三点，则必，%的大小关系是（）

A.必<%<%B.%<%<%

C.%<%<%D.弘<%<必

6.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的

年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为（）.

A.80（1+%）2=100B.100（1）2=80

C.80（1+2x）2=100D.80（1—x）2=100

7.如图是二次函数y=ar2+bx+c的图象，下列结论：

①ac>0,®2a+h>0,③4ac<〃，®a+b+c<0,⑤当x>0时，>随x的增大而

减小;

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，是。o直径，C,。是圆上的点，若N£>=30°,AC=4百，则。。半径

A.4B.8C.4百D.873

9.设。的半径为3,圆心。到直线/的距离OP=m,且机使得关于X的方程

6/—4百龙+〃2-1=0没有实数根，则直线/与。的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

10.如图，AABC的内切圆。O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=13,BC=15,

CA=14,则tan/EDF的值为（）

二、填空题（每题3分，共24分）

11.如果cosA=走，那么锐角A的度数为.

2

12.二次函数丫=（x-5）2+8的最小值是.

13.若二次函数y=9-2v+a-4的图象经过原点，则。=

14.如图，矩形4B8中，AB=2,E为CO的中点，连接AE、BD交于点、P，过点P

作PQLBC于点Q,则PQ=

15.如图，在坡度为1：2（垂直距离与水平距离的比值）的山坡上种树，要求株距（相邻

两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是

16.如图，扇形的半径为6,圆心角。为120°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆

的底面半径为

17.如图，AB为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上,

斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=4,则弧BQ的长为

18.如图，AB是。。的直径，AB=2,ZABC=60°,P是。O上一动点，D是AP的中点,

三、解答题（共96分）

19.（4分）计算:+tan45°

2x+6>x-3①

20.（8分）解不等式组:

2—3x>5—x(2)

21.(10分)求[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]-?—xy的值，其中x=(-cos60°)

4

y=-sin30°.

22.（10分）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有

一艘游船载着游客在遗爱湖中游览.当船在A处时，船上游客发现岸上M处的临皋亭和N

处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北

偏西15。方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60。

方向.求临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离（计算结果保留根号）.

23.(10分)如图，已知aABC中ADLBC于D,BEJ_AC于E.

（1）求证：ACDE-ACAB.

（2）若/C=60。，求SACDE：SACAB的值.

24.（10分）如图，点。是以AB为直径的。。上一点，过点B作。。的切线，交的延

长线于点C,E是BC的中点，连接。E并延长与AB的延长线交于点F.

(1)求证：OF是。。的切线；

(2)若OB=BF,EF=4,求阴影部分的面积.

25.(10分)已知关于x的方程(匕1*+(2k-l)x+2=0.

(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)当抛物线y=(k-l)x2+(2k-l)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正

整数时，若P(a,yi),Q(1,y2)是此抛物线上的两点，且yi>y2,请结合函数图象确定

实数a的取值范围.

(3)已知抛物线y=(k-l)x2+(2k-l)x+2恒过定点,求出定点坐标

26.(10分)如图，AC为。的直径，AC=4,8、O分别在AC两侧的圆上，440=60。，

与AC的交点为E.

(1)求点。到30的距离及ZOBD的度数；

(2)若DE=2BE，求cosNOEO的值和CO的长.

27.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线/=0?+汝+。的顶点坐标为(2,9),与

》轴交于点A(0,5),与x轴交于点E，B.

(1)求二次函数y=«/+Zzx+c的表达式；

(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上

方)，作PO平行于＞轴交A3于点。，当点尸在何位置时，四边形APCO的面积最大？

并求出最大面积；

(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N,M为顶点的四边形

是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标.

28.(12分)如图，已知四边形ABC。中，AB//DC,AB^DC,且4B=4cm,BC=8cm,

对角线AC=4有cm.

(1)求证：四边形ABC。是矩形；

(2)如图2,点。是AC上一点，点P是BC上一点，点尸不与点B重合，后BP=2CQ,

连接BQ、AP,若APJ_BQ,求BP的值；

(3)如图3,若动点。从点C出发，以每秒逐cm的速度在对角线AC上运动至点A止,

过点。作8c垂线于点P,连接尸。，将△PQC沿PQ折叠，使点C落在直线8c上的点E

处，得△PQE,是否存在某一时刻t,使得△E4。为直角三角形？请求出所有可能的结果.

参考答案与解析

一、单选题(每题3分，共30分)

1.一元二次方程x(x-14)=0的根是()

A.0B.14C.0或14D.0或-14

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案.

【详解】解：；x(x-14)=0,

：.x=0或x-14=0,

x=0或x=14,

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基

础题型.

2.若一组数据3、4、5、X、6、7的平均数是5,则X的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】由平均数的定义进行计算，即可得到答案.

【详解】

3+4+5+X+6+7

解：-----------------=5,

6

x-5；

故选：B.

【点睛】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的计算方法.

3.将抛物线y=-2f向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析

式为（）

A.y=-2（x+l）-B.y=-2（x+iy+2C.y=-2（x—1）一+2

D.y=—2（x—1）一+1

【答案】D

【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案.

【详解】解：将抛物线y=-2x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得抛

物线解析式为：y=-2（x-1）2+1.

故选：D.

【点睛】主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减,

并用规律求函数解析式.

4.己知在RfABC中，ZC=90°,AB=13,AC=12,则NB的余弦值为（）

125512

A.—B.—C.—D.—

1313125

【答案】B

【分析】根据勾股定理可得BC的值，由cosNB=型可得/B的余弦值.

AB

【详解】解：QZC=90°,AB=13,AC=12

BC=YIAB2-AC2=A/132-122=5

小BC5

cos/B=---二—

AB13

故选：B.

【点睛】本题主要考查了余弦，同时涉及了勾股定理，角的余弦等于其邻边比斜边，正确表

示角的余弦是解题的关键.

5.若A（-4,y）,B（—1,%），（2（2,%）为二次函数^=一/一3%+根（，律为常数）的图象上

的三点，则M,%，%的大小关系是（）

A.x<%<%B.%<%<y

C.%<y<%D.y<%<当

【答案】c

【分析】分别将x=-4,-l,2代入二次函数的解析式中，通过比较函数值的大小即可得出答

案.

【详解】当x=T•时，yt=-（~4）-3x（-4）+m=-4+m：

当*=一1时，％-3x（-1）+m=2+机；

2

当x=2时，y3--2-3x2+m=-10+m；

M<必，

故选：c.

【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，准确的计算是解题的关键.

6.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的

年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为（）.

A.80（1+%）2=100B.100（1-%）2=80

C.80（1+2x）2=100D.80（1-%）2=100

【答案】A

【分析】根据2019年的蔬菜产量=2017年的蔬菜产量X（l+年平均增长率产，把相关数值代

入即可.

【详解】解：设种植基地蔬菜产量的年平均增长率为X,根据题意得：

80(l+x)(l+x)=100,

即：80(1+x)2=100.

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用(增长率问题)，根据题意找到等量关系是解题关键.

7.如图是二次函数y=ar2+bx+c的图象，下列结论：

①ac>0,②2。+。>0,®4ac<b2>④a+Z?+c<0，⑤当x〉0时，》随x的增大而

减小；

其中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】解：①由图象可知：c>0,a<0,

.1.ac<0,故①错误；

b

②由于对称轴可知：-一<1,

2a

.1.2a+b<0,故②错误;

③由于抛物线与x轴有两个交点，

.,.△=b2-4ac>0,故③正确；

④由图象可知：x=l时，y=a+b+c>0,

故④错误；

⑤当0Vx<—=b时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；

2a

故选：A.

【点睛】本题考查:次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础

题型.

8.如图，AS是。O直径，C,O是圆上的点，若NO=30。，AC=4G，则。。半径

是（）

A.4B.8C.4百D.873

【答案】C

【分析】根据直径所对的角为直角得出NACB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出

NB=ND=30°，最后根据30度角所对的直角边等于斜边的一般得出AB的值即可得出半

径.

【详解】解：A3是③O直径，

ZACB=90°,

ND=30。,

.-.ZB=ZD=30°,

AC=473,

AB=2AC=8y/3,

・•・。0半径是4G.

故选C.

【点睛】本题考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形，熟练掌握性质是解题的关键.

9.设。的半径为3,圆心。到直线/的距离。P=m,且机使得关于工的方程

6——4g尤+加一1=0没有实数根，则直线/与。的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】A

【分析】欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d,再与半径r=2进行比

较，即可求解.若d<r,则直线与圆相交；若£1=「则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆

相离.

【详解】•关于X的方程6x2-4百x+m-1=0没有实数根,

A=b2-4ac<0,

即48-4x6x(m-l)<0,

解这个不等式得m>3,

又因为。。的半径为3,

所以直线与圆相禽.

故选：A.

【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式.解题关键在于通过比较

圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判断.

10.如图，AABC的内切圆。O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=13,BC=15,

CA=14,贝I]tan/EDF的值为()

【答案】B

【分析】由切线长定理可求AF=AE=6,BF=BD=7,CD=CE=8,由勾股定理可得AM=11.2,

由三角形面积公式可求EO=4,由圆周角定理可求NAOE=/EDF,即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AMJ_BC,连接AO,BO,CO,EO,FO,DO,

「△ABC的内切圆。O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,

，AF=AE,BF=BD,CD=CE,

：AF+BF=AB=13,BD+CD=BC=15,AE+CE=AC=14

；.AF=AE=6,BF=BD=7,CD=CE=8

AB2-BM2=AM2,AC2-MC2=AM2,

ABM=6.6,AM=11.2,

SZ\ABC=SAABO+SABCO+SAACO,

1111

/.—xBCxAM=—xABxFO+—xACxOE+—xBCxOD,

2222

A15x11.2=13EO+14EO+15EO

AEO=4

VZEOF=2ZEDF

.'.ZAOE=ZEDF

/AE63

tanZEDF=tanZAOE==-=—

EO42

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理.，勾股定理等知识，求出OE的长

是本题的关键.

二、填空题(每题3分，共24分)

11.如果cosA=立，那么锐角A的度数为.

2

【答案】300.

【解析】试题分析：•••cosA=也，.•.锐角A的度数为30。.

2

考点：特殊角的三角函数值.

12.二次函数丫=(x-5)2+8的最小值是.

【答案】8

【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k,其中a的正负确定抛物线的开口方向，对称

轴是直线*=%顶点坐标是(h,k),据此求解可得.

【详解】解：；二次函数y=(x-5)2+8中，a=l>0,

当x=5时，，y取得最小值8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的顶点式是解

题关键.

13.若二次函数y=N-2x+a-4的图象经过原点，贝ij.

【答案】4.

【分析】将原点(0,0)代入二次函数的解析式求解即可.

【详解】由题意，将(0,0)代入y=——2x+a—4得。-4=0

解得a=4

故答案为：4.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，读懂题意，将原点的坐标(0,0)代入求解是解

题关键.

14.如图，矩形ABC£＞中，A8=2,E为CO的中点，连接AE、BD交于点、P，过点尸

作PQ_L8C于点Q,则PQ=

【分析】根据矩形的性质得到AB〃CD,AB=CD,AD=BC,ZBAD-90%根据线段中点的

定义得到DE=4CD=!AB,根据相似三角形的性质即可得到结论.

22

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形，

AB/7CD,AB=CD,AD=BC,ZBAD=90°,

E为CD的中点，

11

DE=—CD=—AB,

22

△ABP^AEDP,

ABPB

~DE~~FD'

2pB

「而‘

PB_2

而一5’

PQ1BC,

PQ/7CD,

△BPQ^ADBC,

.PQBP_2

"CD~BD~3

VCD=2,

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

15.如图，在坡度为1：2（垂直距离与水平距离的比值）的山坡上种树，要求株距（相邻

两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是

【答案】3亚米.

【分析】先画出符合题意的几何图形，利用坡度为I:2,建立方程求解垂直高度，再利用

勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，由题意得：ZABC=90°,AB=6,-=-,

AB2

BC1

•,♦---一--，

62

BC—3,

AC=ylAB2+BC2=V32+62=36.

即斜坡上相邻两树间的坡面距离是3石米.

故答案为：3亚米.

【点睛】本题考查的解直角三角形的应用，掌握坡度的定义是解题的关键.

16.如图，扇形的半径为6,圆心角。为120。，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆

的底面半径为.

【答案】2.

【分析】先计算扇形的弧长，除以2兀即为圆锥的底面半径.

【详解】解：扇形的弧长=120"x6=4肛

180

.,.圆锥的底面半径为4兀-2无=2.

故答案为：2.

【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周

长.

17.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上,

斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=4,则弧BQ的长为.

【答案】口

【分析】连接AQ,OQ,根据圆周角定理求出NBOQ,根据弧长公式计算即可.

【详解】连接AQ,OQ,

.\ZQAB=ZP=45°,

,\ZQ0B=2ZQAB=90°,

1

VOA=OB=-AB=2,

2

90^x2

...弧BQ的长为覆-------=乃.

180180

故答案为:7t.

【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键.

18.如图，AB是。。的直径，AB=2,ZABC=60°,P是。O上一动点，D是AP的中点,

连接CD,则CD的最小值为一.

【分析】连接OD,则有ODLAP,进而可得动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹，然后

取OA的中点E,连接CE,最后根据圆的最值问题进行求解即可.

【详解】解：连接OD,如图所示:

.-.OD±AP,

，动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹，取OA的中点E,连接CE,交。E于点。则

CD的最小值为C。'的长，连接AC,过点C作CFLAB交于点F,如图所示：

AZCFB=ZCFA=90°,

VAB是直径，

/.ZACB=90°,

VZABC=60°,

AZCAB=30°,ZFCB=30°,

VAB=2,

AOA=OB=BC=1,

AE=OE=ED'=—,

2

i_________n

在RtZ\CFB中，BF=—,CF=^BC2-BF2=—,

22

AEF=1,

...在Rtz^CFE中，CE=ylCF2+EF2=—,

2

：.CD'=CE-ED'.即CD的最小值为立二1；

22

故答案为也二L

2

【点睛】本题主要考查圆的最值问题，关键是根据题意得到动点的运动轨迹是圆，进而求解

即可.

三、解答题（共96分）

19.（4分）计算：（一g）=+（万一3）°+卜一0|+tan45°

【答案】5+V2

【分析】先算负整指数哥和零指数暴，再化简绝对值和求三角函数值，最后算加减.

【详解】解：（―3尸+（乃—3）°+卜—&|+tan45。

=4+l+|l-V2|+tan45°

5+V2-1+1

=5+夜.

【点睛】本题考查实数的混合运算，理解并掌握负指数累，化简绝对值，零指数幕，特殊角

的三角函数.熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

2x+6>x-3①

20.(8分)解不等式组:

2—3x>5—x(2)

3

【答案】-9<x<—

2

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解.

2x+6>x-3①

【详解】解:

2—3x>5—A(2)

由①得，x>-9,

3

由②得，x<---,

2

3

所以不等式组的解集是一9<x<一—.

2

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解.求不等

式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).

21.(10分)求［4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)—xy的值，其中x=(-cos60。)』，

4

y=-sin30°.

【答案】-12

【解析】分析：根据三角函数值及负指数事化简小y的值，根据完全平方公式及平方差公

式化简整式，再将小y的值代入可得.

、4

详解：原式=[4(无2,_3，+1)-(22-X2>2)],--

孙

4

=(4.v2v2-8xy+4-4+x2y2^---

孙

4

=(5xy-8xy)---

孙

=20xy-32

当(-cos60°)*=(-—)**=-2,y=-sin30°=-,时,

22

原式=20X（-2）X（--）-32

2

=-12.

点睛：本题主要考查整式的化简求值能力，根据三角函数值及负整数指数基化简X、

y的值是基本，准确化简整式是关键.

22.（10分）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有

一艘游船载着游客在遗爱湖中游览.当船在A处时，船上游客发现岸上M处的临皋亭和N

处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600nl到达B处时，游客发现遗爱亭在北

偏西15。方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60。

方向.求临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离（计算结果保留根号）.

【答案】临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离为（8006-400面）米.

【分析】过M作MD_LAC于D,设MD=x,在直角三角形中，利用三角函数即可x表示

出AD与CD,根据AC=AD+CD即可列方程，从而求得MD的长，进一步求得AM的长;

过B作在直角三角形中，利用三角函数即可求出AE与NE,再求出ME,

从而求得MN.

【详解】过M作MD_LAC于D,

设MD=x,

在RtZ\MAD中，：/MAB=45°,

...△ADM是等腰直角三角形，

；.AD=MD=x,

在RtaMCD中，ZMCA=90o-60°=30°,

.,.DC=MD4-tan30°=V3MD=6x,

VAC=600+400=1000,

•'-x+V3x=1000,

解得：x=500（V3-1）.

.,.MD=500（6-1）m,

AM=72MD=500（V6-也）（m）,

过B作BE_LAN于E,

；/MAB=45°,NBA=75°,

.,.ZANB=60°,

在RtZ\ABE中，VZMAB=45°,AB=600,

.*.BE=AE=^>AB=300加，

.,.ME=AM-AE=500（瓜-72）-3000=500指-8000,

在RtZkNBE中,；/ANB=60°,

.•.NE=^BE="X3OO0=100指，

.*.MN=10076-（50076-80072）=（800血-400#）m,

即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（（800a-400遍）m.

【点睛】本题考查了直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅

助线是解题的关键.

23.（10分）如图，已知AABC中ADLBC于D,BEJ_AC于E.

（1）求证：ACDE-ACAB.

(2)若NC=60。,求SACDE：SACAB的值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

4

【分析】(1)先证明△ADC~^BEC,然后根据相似三角形的性质得出生=空，最后根

BCEC

据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明；

(2)先求出三DC，然后根据相似三角形的面积比为相似比的平方进行求解.

AC

【详解】(1)证明：VAD1BC,BE1AC,

，NADC=/BEC=90。，

vzc=zc,

.".△ADC-△BEC,

.ACDC

"~BC~EC'

'：zc=zc,

.♦.△CDE~ACAB.

(2)解：VACDE-△CAB,

.£CDE

"ACAB'

VZC=60°,NADC=90。，

，/DAC=30°,

.DC1

・・=—，

AC2

.I

••SACDE：SACAB=—.

4

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形

相似与相似三角形的性质是解题的关键.

24.(10分)如图，点。是以AB为直径的。。上一点，过点B作。。的切线，交AO的延

长线于点C,E是BC的中点，连接。E并延长与A8的延长线交于点F.

c

（1）求证：OF是。。的切线；

（2）若OB=BF,EF=4,求阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析；（2）373+2n

【分析】（1）连接0D,由AB为。O的宜径得NBDC=90°,根据BE=EC知N1=/3、

由OD=OB知/2=/4,根据BC是（DO的切线得N3+N4=90°,即/1+/2=90°,得

证；

（2）根据直角三角形的性质得到NF=30°,BE=^~EF=2,求得DE=BE=2,得到DF

2

=6,根据三角形的内角和得到OD=OA,求得/人=/人口0=工/80口=30°,根据等腰

2

三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】

.-.ZADB=ZBDC=90°.

在RtZSBDC中，

VBE=EC,

；.DE=EC=BE.

.\Z1=Z3.

：BC是G)0的切线，

；./3+/4=90°.

AZ1+Z4=9O°.

又,.,OB=OD

AZ2=Z4.

AZ1+Z2=9O°.

・・・DF为。。的切线.

(2)解：如上图所示,

・.・OB=BF,

AOF=2OD.

AZF=30°.

VZFBE=90°,

ABE="EF=2.

2

・・・DE=BE=2.

，DF=6.

VZF=30°,ZODF=90°.

・・・/FOD=60°.

VOD=OA,

ZA=ZADO=—ZBOD=30°.

2

AZA=ZF.

・・・AD=DF=6,OD=BD=—DF=2V3.

3

・•・阴影部分的面积=}x,AD・BD+6吧=j_*j_*$x273+2n=36+2n-

【点睛】本题考查了圆的切线的性质与判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质,

扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

25.(10分)已知关于x的方程(k-l)x2+(2k-l)x+2=0.

(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)当抛物线y=(k-l)x2+(2k-l)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正

整数时，若P(a,yD,Q(1,y2)是此抛物线上的两点，且yi>y2,请结合函数图象确定

实数a的取值范围.

(3)已知抛物线y=(k-l)x2+(2k-l)x+2恒过定点，求出定点坐标

【答案】(1)证明见解析；(2)a>l或aV-4：(3)(0,2)、(-2,0).

【分析】(1)分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况.当该方程为一元

二次方程时，根的判别式△》()，方程总有实数根；

(2)通过解(k-l)x2+(2k-l)x+2=0得至(]k=2,由此得到该抛物线解析式为y=x?+3x+2,

结合图象回答问题.

(3)根据题意得到(k-1)x2+(2k-l)x+2-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过

解方程组求得该定点坐标.

【详解】(1)证明：①当k=l时，方程为x+2=0,所以x=-2,方程有实数根，

②当VI时,

；△=(2k-l)2-4x(k-l)x2=4k2-l2k+9=(2k-3)2>0,ERA>0,

A无论k取任何实数时，方程总有实数根

(2)解：令y=0,则(k-l)x2+(2k-l)x+2=0,

(x-2)l(k-l)x+l]=0

解关于x的一元二次方程，得xi=-2,X2=-L，

1-k

•••二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

l-k=-l,k=2.

•••该抛物线解析式为y=x2+3x+2,

由图象得到：当yi>y2时，a>l或a<-4.

(3)依题意得(k-l)x2+(2k-l)x+2-y=0恒成立，

即k(x2+2x)-x2-x-y+2=0恒成立，得：x2+2x=0；xi=0,yi=2；X2=-2,yi=0

所以该抛物线恒过定点(0,2)、(-2,0).

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征,

解答(1)题时要注意分类讨论.

26.（10分）如图，AC为。的直径，AC=4,8、。分别在AC两侧的圆上，ZS4D=60°,

89与AC的交点为E.

（1）求点。到BO的距离及ZOBD的度数：

（2）若DE=2BE，求cosNOE。的值和CD的长.

【答案】（I）1,30°：（2）g,272

【分析】（I）作OFLBD于点F,连接OD,根据圆周角定理可得出NDOB=120。，再由

OB=OD=—AC=2,可得出NOBD的度数，也可以得出OF的长度，

2

（2）设BF=2x,则可表示出DF、EF的长度，从而可解出x的值，在RtaOEF中，利用三

角函数值的知识可求出NOED的度数，也可得出cos/OED的值，判断出DOLAC,然后

利用等腰直角三角形的性质可得出CD的长度.

【详解】（1）作OF_LBD于点F,连接OD,

ZBAD=60°,

ZBOD=2ZBAD=120°,

XVOB=OD,

/OBD=30。，

：AC为。O的直径，AC=4,

；.OB=OC=2,

在RtABOF中，

；/OFB=90°,OB=2,/OBF=30°,

/.OF=—OB=1,

2

即点O到BD的距离等于1,

D

(2)VOB=OD,OF_LBD于点F,

，BF=DF,

由DE=2BE,

设BE=2x,则DE=4x,

BD=6x,EF=x,BF=3x,

VBF=OB«COS300=V3，

.6M6

>>x-——,Er=——,

33

在RSOEF中，ZOFE=90°,

OF/r

VtanZOED=——=13,

EF

ZOED=60°,cosZOED=；,

二ZBOC=ZOED-ZOBD=30°,

ZDOC=ZDOE-ZBOE=90°,

ZC=45°,

•\CD=V2OC=2V2.

【点睛】本题考查属于圆的综合题，涉及等腰上角形的性质，三角函数值，及勾股定理等知

识，解答此类综合性题目，要求我们熟悉掌握一些小知识，做到将所学的知识融会贯通，难

度较大.

27.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=依2+云+。的顶点坐标为（2,9）,与

》轴交于点A（0,5）,与x轴交于点E，B.

y,

(1)求二次函数)+/)X+C的表达式；

(2)过点A作AC平行于X轴，交抛物线于点C,点p为抛物线上的一点(点p在AC上

方)，作平行于>轴交于点£>，当点P在何位置时，四边形APCZ)的面积最大？

并求出最大面积；

(3)若点“在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A,E，N,"为顶点的四边形

是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标.

53525

【答案】(1)y=-x2+4x+5；(2)点「(耳,-^-)时，S四选用APCD易人二—；(3)当M点的坐标为

(L8)时，N点坐标为(2,13),当M点的坐标为(3,8)时，N点坐标为(2,3).

【分析】(1)设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

(2)先求出直线AB解析式，设出点P坐标(x,-X2+4X+5),建立函数关系式5四边彩

APCD=-2X2+10X,根据二次函数表达式求出极值；

(3)先判断出4HMN也ZiAOE,求出M点的横坐标，从而求出点M,N的坐标.

【详解】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-2)2+9,

•.•抛物线与y轴交于点A(0,5),

；.4a+9=5,

••a=-1,

y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5；

(2)当y=0时，-x2+4x+5=0,

/.xi=-LX2=5,

：.E(-1,0),B(5,0),

设直线AB的解析式为y=mx+n,

VA(0,5),B(5,0),

由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y=・x+5；

设P(x,-x2+4x+5),

.'.D(x,-x+5),

PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x,

VAC=4,

AS四边的APCD=—xACxPD=2(-x2+5x)=-2x2+I0x,

.••当x=2时,

2

53525

**•即点PQ,二-)时'S四边形APCD最大=—；

242

(3)如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H,

.•.△HMN^AAOE(AAS),

.,.HM=OE=1,

AM点的横坐标为x=3或x=l,

当x=l时，M点纵坐标为8,

当x=3时，M点纵坐标为8,

・・・M点的坐标为Mi(1,8)或M2(3,8),

VA(0,5),E(-1,0),

，宜线AE解析式为y=5x+5,

：MN〃AE,

.'.MN的解析式为y=5x+b,

•.•点N在抛物线对称轴x=2上，

AN(2,10+b),

VAE2=OA2+OE2=26,

VMN=AE,

.,.MN2=AE2,

AMN2=(2-1)2+[8-(10+b)]2=1+(b+2)2

点的坐标为Mi(1,8)或M2(3,8),

二点M।,M2关于抛物线对称轴x=2对称，

•••点N在抛物线对称轴上，

.*.M|N=M2N,

1+(b+2)2=26,

b=3,或b=-7,

，10+b=13或10+b=3,

.•.当M点的坐标为(I,8)时，N点坐标为(2,13)；当M点的坐标为(3,8)时，N点

坐标为(2,3).

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值的确定方

法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值.

28.(12分)如图，已知四边形A8CD中，AB//DC,AB=DC,且A8=4cm,BC=8cm,

对角线AC=475cm.

(