数学建模简明教程课件：概率模型

概率模型7.1传送带的效率模型7.2报童问题模型7.3随机性决策模型随机现象是现实世界广泛存在的一类现象.利用概率统计方法，建立随机性的数学模型，描述随机因素的影响，在科技、管理、经济等领域有着广泛的应用.本章主要介绍用随机变量和概率分布建立的简单随机模型——概率模型.

1.问题的提出

排列整齐的工作台旁，工人们生产同一种产品.工作台上方一条传送带在运转，传送带上有若干个钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上，产品被带走，如图7-1所示.当生产进入稳定状态后，每个工人生产出一种产品的时间不变，但他要挂产品的时刻却是随机的.考虑一下，如何描述这种传送带的效率.7.1传送带的效率模型

图7-1

2.模型的分析

工人在生产出一件产品后，要么恰有空钩子经过他的工作台，使他可将产品挂上带走，要么他将产品放下立即投入下一件产品的生产.

工人的生产周期(生产出一件产品的时间)虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰，经过相当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻可以认为是随机的，并且在一个生产周期内任一时刻的可能性是一致的.因此，传送带长期运转的效率等于一个生产周期的效率，即等于它在一个周期内能带走的产品数与一个周期内生产的全部产品数之比.即

3.模型的假设

(1)车间共有n个工人，他们的生产是互相独立的，生产周期是常数，n个工作台均匀排列；

(2)生产已进入稳定状态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一周期内是等可能的；

(3)在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方，钩子均匀排列，每个钩子至多只能挂上一件产品；

(4)在任何时刻，每个工人都能且只能接触到一只钩子，于是在他生产出一件产品的瞬间，如果他能接触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子非空，则他只能将这件产品放在地上，退出传送系统.

4.建模与求解

设：s——传送带在一个周期内带走的产品数，由于含有随机因素，故s取期望值；

n——在一个周期内生产的全部产品数；

D——传送带的效率.则：

因此，模型关键是计算s.

先计算概率，即考虑钩子能挂上产品的可能性.设ξ为某指定钩子能挂上的产品数，则ξ的可能取值是0，1；P为一个周期内某指定钩子能挂上产品的概率.

对于任一指定的工人来讲，由于在一个周期内他完成一件产品，而他把这件产品挂上经过他上方的m个钩子中的任一个是等可能的.

因此，对于任一指定的钩子而言，它被任一指定的工人挂上产品的概率是

，没有被指定的工人挂上产品的概率是 .又由于工人生产的独立性，故任一指定的钩子经过n个工作台的上方后都没有被挂上产品的概率是

，能挂上产品的概率

，从而ξ有分布律：

某指定钩子在一个周期内平均能挂上的产品数为：

因为传送带有m个钩子，所以传送带在一周期内送走的产品数的期望是：5.问题的结果

当m

n时，利用公式

则传送带效率可化简为：

即没有被带走的产品比例约为：

特别地，当n＝10，m＝40时，大约有11%的产品未被带走.

若在传送带的每一只钩子旁边多放一个钩子，则此时的传送带效率如何？思考题

1.问题的提出

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a－b，退回一份赔b－c.报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，又要赔钱.请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.7.2报童问题模型

2.问题的分析及假设

众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就可以建立关于购进量的优化模型了.

假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.

3.模型的建立及求解

记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n－r份；如果这天的需求量r>n，则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以

问题归结为在f(r)、a、b、c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)，式(7.2.1)变成

计算

令

，得到

使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足式(7.2.3).因为 ，所以式(7.2.3)又可表示为：

根据需求量的概率密度函数p(r)的图形很容易从式(7.2.3)确定购进量n.

如图7-2所示，用P1，P2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则式(7.2.3)可记作

因为当购进n份报纸时，

是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率；

是需求量r超过n的概率，即卖完的概率，所以式(7.2.3)表明，购进的份数应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a－b与退回一份赔的钱b－c之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.

图7-2

决策是人们在生活和工作中普遍存在的一种活动，是为解决当前或未来可能发生的问题选择最佳方案的一种过程.比如，某人决定要到某地出差，而天气预报可能有寒流，考虑出差是否要带棉大衣，带上棉大衣无寒流是个累赘，若不带又可能遇上寒流而挨冻，到底带不带?这就要他做出决策.小至个人生活，大至企业经营以及国家的政治经济问题，都需要决策.在做出决策时，往往受某些随机性的因素影响，7.3随机性决策模型而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险，这就是所谓的风险型决策.解决风险型决策问题最典型的方法是利用树形图法表示决策过程.

1.问题的提出

天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国.如果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为0.5，其分别的获利为1200万元与－500万元，如取消生产销售计划，则损失设计与准备费用40万元.为稳妥起见，可先小批量生产试销，试销的投入需45万元.据历史资料与专家估计，试销成功与失败的概率分别为0.6与0.4，又据过去的情况，大批生产销售成功的事例中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%.试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值准则确定最优决策.

2.问题分析与模型假设

(1)问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销售这样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果.

(2)决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否.

(3)尚需注意后面几句话：“大批生产销售成功的事例中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%”，这意味着要计算两个概率，其一是当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率；其二是试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味着要利用贝叶斯概率公式.

(4)设定变量：

A——试销成功，——试销失败

B——大量销售成功，——大量销售失败

3.建立模型

先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：

从而

.即当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率分别为0.78和0.22.

同理可以算出在试销失败的情况下，大批量销售成功与失败的概率分别为0.22和0.78.

以试销与否作为决策思路，从左至右画出决策树模型如图7-3所示.

这棵树即为所求的数学模型.

其中：□表示决策点，从它引出的分支称为方案分支.分支的数目就是方案的个数.

○表示机会节点，从它引出的分支称为概率分支.一条概率分支代表一种自然状态，其上标有相应发生的概率.

△表示末梢节点，右边的数字代表各个方案在不同的自然状态下的效益值.

图7-3

4.模型的求解

根据期望利润值最大准则对决策树进行求解：对决策树进行计算遵循从右向左的顺序。遇到机会节点，则计算在该点的期望值，并将结果标在节点上方；遇到决策点就比较各方案分支的效益期望值，以决定各方案的优劣.在淘汰的分支上标上×，余下的方案即最佳