数据融合理论与应用（第二版）课件：条件事件代数理论

条件事件代数理论11.1问题提出11.2条件事件代数的定义及其性质●补记

条件事件代数理论已被公认在态势评估和威胁估计领域有重要的应用前景，这种理论可用来解决不确定性、概率性和模糊性推理问题。美国国防部将其列为数据融合公共基础理论研究项目，计划在1997年前完成该理论的研究工作。

本章我们讨论条件事件代数产生的背景、基本思想和在证据组合以及专家系统中的应用。

11.1问题提出

事实上，我们正在努力使计算机模仿人脑的信息处理过程，而这一努力所面临的困难是如何处理条件信息。实际上，所有的信息、知识都具有条件性，条件性陈述广泛存在于自然语言、计算机语言、逻辑语言、概率统计和基于规则的专家系统中，提出一个没有假设的命题是不可能的，况且许多假设总是含糊不清的。

如“ifx，theny”、“x蕴含y”、“x引起y”、“y在x的范围之内”和“y是前提x的一个结果”，这些陈述都具有模糊性，前提和结论的部分相容，更容易引起条件陈述的模糊。

11.1.1逻辑与概率表示不相容

在二值逻辑里，条件陈述“ifx，theny”被表示为x'∨y或

x→y，在概率论里条件概率P(y/x)等于P(x∧y)/P(y)。下述定理表明逻辑和概率的表示不一致。

定理11．1[3，4]P(y∨x')⩾P(y/x)，等号当且仅当P(x)=1或P(y/x)=1时成立。

证明

故当

或

故命题得证。

在复合条件事件与多重条件的情形中，模糊性的问题尤为突出。例如在人工智能中，已知一条规则“ifythenz”后，一个事件x的概率，形式上似乎可以表示为P[x/(z/y)]，但由上述定理，这个概率不能解释为P[x/(y'∨z)]，针对条件情形的贝叶斯方法也不能解决这样的问题。

因为在标准的概率理论中，概率空间(Ω，A，P)是由一些非条件事件及其相应的概率分配所确定的，而条件事件(

x/y)在概率空间(Ω，A，P)中没有定义，它的概率是基于非条件事件x、y和xy的概率通过贝叶斯公式进行计算的。

更一般地，已知两条规则“ifa，thenb”和“ifc，thend”，那么我们如何基于“(ify，thenz)∧(ifc，thend)”来计算x的概率?这里实际上涉及到两个条件事件如何联结的问题。还有，在概率推断中，形如ifa，thenb的规则的概率是用P(b/a)来计算的，当a和b本身是条件事件时。例如，a表示“ifc，thend”，b表示“ife，thenf”，则这条规则可以表示为“if'ifc，thend'，then'ife，thenf'”。这种高阶条件形式应该如何表示，它的概率又如何计算?

其次，当a为假时，逻辑表达式“ifa，thenb”为真，即P(a'∨b)=1，而在概率理论中，如果a是假的，则P(a)=0，从而条件概率P(b/a)没有定义，所以必须把它推广到除数为零的情形。

11.1.2Simpson悖论

对于表11－1中的数据，可以理解为相关命题的条件概率。基于这些数据，应用传统的条件概率在解释某些现象时会出现相互矛盾的结果。以下是Simpson给出的一个较为直观的说明。

对于某一病症(结核)，用T和T'分别表示两种相对立的治疗方案(如，一种方案用链霉素，另一种方案则不考虑用链霉素)，用R和R'分别表示病人康复和没有康复两种事实。

由表11－1可得

P(R/T)=0.5>P(R/T')=0.4

由此得出的结论是，对该病症应该优先考虑用T治疗方案。如表11－2和表11－3所示，我们对病人按性别作进一步的划分，其中M和F分别表示男性患者和女性患者。

由表11－2和表11－3可得

即不管患者是什么性别，都应该优先采用T'治疗方案。这使我们陷入了一个矛盾的境地，面对一个特定的患者，究竟应该采用哪一种治疗方案呢?

出现Simpson悖论的原因是，对于条件事件的含义没有一个正确的理解。基于上述各种原因，我们迫切需要建立一个公共数学基础，以能够处理这些具有各种不同特性的条件陈述。在专家系统中，人们已经以概率理论为基础建立了主观贝叶斯模型、D－S证据模型、模糊推理模型等。它们都有各自的论域、运算公理并符合某种代数结构。在解决随机性问题及专家系统中的非精确推理方面它们无疑是很好的工具，但它们都有局限性。用自然语言表示的知识不容易转化为易被机器处理的数学表达式，更难以表示为概率分布的形式，对于各类不同信息的联合目前也没有完善的数学理论可供使用。因而，要改进目前的专家系统，进一步发展人工智能就必须建立面向自然语言中条件陈述的数学模型。

11.2条件事件代数的定义及其性质

11.2.1布尔代数

定义11－1设<A，⩽>是一个偏序集，如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称<A，⩽>为格。

定义11－2设<A，∨，∧>是一个格，如果在A中定义两个二元运算∨和∧，使得对于任意的a，b∈A，a∨b等于a和b的最小上界，a∧b等于a和b的最大下界，就称<A，∨，∧>为由格<A，⩽>所诱导的代数系统。二元运算∨和∧分别称为并运算和交运算。

定义11－3设<A，∨，∧>为由格<A，⩽>所诱导的代数系统。如果对任意的a，b，c∈A，满足

则称格<A，⩽>是分配格。

定义11－4设<A，⩽>是一个格，如果存在元素a∈A，对于任意的x∈A，都有

a⩽x

则称a为格<A，⩽>的全下界。记格的全上界为0。

定义11－5设<A，⩽>是一个格，如果存在元素b∈A，对于任意的x∈A，都有

x⩽b

则称b为格<A，⩽>的全上界。记格的全上界为1。

定义11－6如果一个格中存在全上界和全下界，则称该格为有界格。

定义11－7设<A，⩽>是一个有界格，对于A中的任一元素a，如果存在b∈A，使得a∨b=1和a∧b=0，则称元素a是b的补元。

定义11－8在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个补元，则称此格为有补格。

定义11－9一个有补格称为布尔格。

定义11－10由布尔格<A，⩽>，可以诱导一个代数系统<A，∨，∧，'>，这个代数系统称为布尔代数。

11.2.2Lewis定理

在前面我们证明了P(b→a)=P(a/b)一般来说不成立，那么能否在布尔环上建立一个二元运算f，使得P(f(a，b))=P(a/b)呢?下述Lewis定理表明这种与概率相容的二元运算是不存在的。

定理111(Lewis定理)令(Ω，A，P)表示一个度量空间，若A至少含有两个元素a，b，使得

则不存在映射f:A2→A，使得对任意的a，b∈A，

证明用反证法，假设存在一个满足(11－1)和(11－2)式的映射f，不失一般性，设a，b∈A，满足

和

则由假设和全概率公式得

这与(11－1)式矛盾，故定理成立。

这个定理表示在基本的事件空间Ω中不存在一个表示蕴含式b→a的非条件事件，从而在传统的概率空间中无法给出一种和P(a/b)相一致的P(b→a)的定义。因而为了解决相容性问题，就必须从基本的事件空间出发，构造一个包含原空间的更大的度量空间()，使得

而且传统运算∨、∧、□、|的意义在这个新空间中仍被保持，新的事件空间关于这几种运算最好仍是一个布尔代数(σ代数)结构。例如，如果．

其中

则(α/β)仍在新空间中，并且满足

针对不同的应用问题，人们建立了各种条件事件代数的数学模型，但目前还没有找到一个无论从理论角度还是从应用角度看都比较完满的模型。下面我们主要介绍Goodman的工作。

11.2.3GNW(Goodman-Nguyen-Walker)条件事件代数

根据前面的讨论，为了建立和概率相容的条件事件，必须首先对布尔环R进行扩张。我们用f:R×R→S来进行这种扩张，即，对于a，b∈R，f(a，b)表示一个条件事件，S是某个用来表示条件事件的空间。根据感觉经验，f应满足下列条件:

(Ⅰ)f(R，1)表示R上的一一对应，其中1表示布尔环R的单位元;

(Ⅱ)对于任意的(a，b)∈R×R，f(a，b)=f(ab，b);

(Ⅲ)对于R上的任意概率测度P，

其中

引理11－1设R是一个布尔环，如果对于任意的概率测度P，

则

引理11－2设R是一个布尔环，令a，b，c，d∈R，且b≠0，d≠0，则下述两个命题等价:

(1)对任意概率测度P，若P(b)≠0且P(d)≠0，则P(a/b)⩽P(c/d);

(2)ab⩽cd且c'd⩽a'b，或者ab=0，或者d⩽c。

证明假设(2)成立，若ab=0，或者d⩽c，则(1)显然成立。因此不妨设ab⩽cd且c'd⩽a'b，则对于任意t⩾0，容易证明对于P(y)⩾P(x)，有

从而

假设(1)成立，若ab=0和d⩽c都不成立，则ab≠0且c'd≠0。下面证明ab⩽cd。若ab⩽cd不成立，则(ab)(cd)'≠0，以下分两种情形讨论。

如果(ab)(cd)'d≠0，根据Stone表示定理，我们可以将R看成某个集合Ω的所有子集构成的布尔代数的子代数，设ω∈(ab)(cd)'d，令P是Ω上的概率测度函数，且P(ω)=1，则P(b)=P(d)=P(ab)=1，且P(cd)=0，故P(a/b)=1且P(c/d)=0，与假设矛盾。

如果(ab)(cd)'d=0，设γ和ω是Ω中的两个元素，满足γ∈(ab)(cd)'，ω∈c'd。令P是Ω上的概率测度函数，且P(γ)=P(ω)=1/2，则P(ab)/P(b)⩾1/2，且P(c/d)=0，与假设矛盾，故ab⩽cd。

同理可证c'd⩽a'b。

定理11－1如果f满足条件(Ⅰ)和(Ⅱ)，则对任意b∈R，R/[f(.，b)]=R/Rb'。

证明只需证明Rb'和f(.，b)的核在R定义的等价关系相同即可。对任意a，c∈R，

11.2.4条件事件代数的运算性质

关于事件这一具有普遍意义的概念目前还没有严格的定义，我们一