(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直（课时训练）原卷版+解析

专题08空间直线与平面、平面与平面的垂直A组基础巩固1．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形，、分别是、的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线平行，直线平面2．（2021·安徽合肥·高二期末（理））设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则3．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是（

）A． B．C． D．4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）如图，在正方体中，点E，F分别是AB和的中点，则下列说法正确的是（

）A．与EF共面，平面 B．与垂直，平面C．与EF异面，平面 D．EF与垂直，平面5．（2022·天津河西·高三期末）设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列说法正确的序号为(

)①，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④6．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（）A．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m； B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β； D．若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.8．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））已知，是相异两平面，，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若∥，，则B．若，，则∥C．若，，则D．若∥，，则∥9．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．（2022·全国·模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，若三棱锥为“鳖臑”，平面，，，，则此“鳖臑”的表面积为______.11．（2022·四川德阳·二模（文））如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______．①翻折到某个位置，使得②翻折到某个位置，使得平面③四棱锥体积的最大值为④点M在某个球面上运动12．（2022·山西晋中·模拟预测（文））如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．①；

②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；③的最小值为；

④的取值范围是．13．（2021·安徽省怀宁中学高三阶段练习（理））在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则以下结论正确是______（填序号）．①②平面平面ABC③三棱锥的体积为④三棱锥的外接球的表面积为14．（2022·重庆市天星桥中学一模）如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，.D为的中点，M，N分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当M，N运动时，下列结论中正确的是___________（填写序号）.①平面平面②在内总存在与平面ABC平行的线段③三棱锥的体积为定值④可能为直角三角形15．（2022·甘肃酒泉·高三期中）已知l、m表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：①若，则，②若，则；③若，则；④若，则．其中所有正确的命题是______．16．（2022·北京昌平·高二期末）已知正方体的棱长为2，E为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：①的面积的最大值为；②满足使的面积为2的点P有且只有两个；③点P可以是的中点；④线段的最大值为3．其中所有正确结论的序号是________．17．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：①若，，，则直线与可能平行；②若，，，则直线与可能相交､平行或异面；③若，，则直线与一定垂直；④若，，，则直线与一定平行.以上说法正确的是___________.（填序号）18．（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））如图，点P在正方体的面对角线上运动，有以下4个结论：①三棱锥的体积不变

②平面③

④平面平面则所有正确结论的序号是______________.19．（2021·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是____．①平面平面；②；③的取值范围是；④三棱锥的体积为定值．

B组能力提升20．（2022·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和上的动点，则下列结论正确的是（

）A．MN与AB为异面直线B．C．三棱锥体积的最大值为D．当N为的中点时，线段MN长度的最小值为21．（2022·广东江门·模拟预测）如图，三棱锥中，，，，则下列说法正确的是(

)A．B．平面平面C．三棱锥的体积为D．以为直径的球被平面所截得的圆在内的弧的长度为22．（2022·重庆八中高三阶段练习）（多选题）棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（

）A．与是异面直线 B．与所成角为C．平面平面 D．若，则点的运动轨迹长度为23．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（

）A． B．是等边三角形C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面24．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿直线AC翻折，形成三棱锥.下列说法正确的是（

）A．在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值B．在翻折过程中，存在某个位置，使得C．当平面平面ABC时，D．当平面平面ABC时，三棱锥的体积为25．（2022·湖北襄阳·高二期末）（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上不与A，重合的动点，则下列选项中正确的是（

）A．异面直线CP与所成角的取值范围是B．当点P运动时，平面平面C．当点P运动时，三棱锥的体积不变D．当点P运动时，的面积存在最小值为26．（2022·宁夏银川·一模（文））如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，.(1)证明：平面ABCD；(2)求三棱锥与三棱锥组成的几何体的体积.

27．（2022·陕西西安·一模（文））如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，D，E分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．

28．（河南省大联考2021-2022学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学试题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．(1)求证：平面；(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．

29．（2021·天津一中高三阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线与平面所成的角的正弦值.

30．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；(2)求二面角P－BC－A的平面角的大小.

31．（2022·新疆·一模（文））如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A､B的一点，平面PAB，，.(1)求证：平面平面PAD；(2)若，求三棱锥的体积.

32．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为．(1)求点P到平面的距离；(2)求面与面所成二面角的大小．专题08空间直线与平面、平面与平面的垂直A组基础巩固1．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形，、分别是、的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线平行，直线平面【答案】A【解析】【分析】连接，利用线面平行的判定可判断平面，利用线面垂直的性质可得出，分析出与不垂直，可判断与平面不垂直，由此可得出合适的选项.【详解】如图，连接，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面，因为，则与所成角为，故与平面不垂直，由图可知，与异面，因为四边形为正方形，则，又因为平面，平面，则，，平面，平面，则，故选：A.2．（2021·安徽合肥·高二期末（理））设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】【分析】ABC选项，均可以举出反例；D选项，可以由线面垂直的性质进行证明.【详解】选项A中若，，则，还有直线在平面内的情况，故A不正确，选项B中若，，，则，有可能两个平面相交，故B不正确，选项C中若，，则，还有两个平面相交的可能，故C不正确．选项D，若，，则，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确；故选：D．3．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，如图，因为为所在棱的中点，故由正方体的性质易得，所以，由于，故平面，故A选项正确；对于B选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，由正方体的性质得，所以平面，故，所以，同理得，，故平面，故B选项正确；对于C选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，所以在中，与夹角为，故异面直线与所成的角为，故平面不成立，故错误；对于D选项，同A选项，可判断平面.故选：C4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）如图，在正方体中，点E，F分别是AB和的中点，则下列说法正确的是（

）A．与EF共面，平面 B．与垂直，平面C．与EF异面，平面 D．EF与垂直，平面【答案】B【解析】【分析】反证法：假设平面有，根据正方体的性质及勾股定理证明是否相等，即可确定矛盾结论，排除C、D；应用异面直线的证明判断与EF异面排除A，即可得答案.【详解】假设平面，而面，则，若正方体棱长为2，则，，，显然，∴不垂直，与矛盾，故平面不成立，排除C、D；由面，面，，而，面，∴与EF异面，排除A.故选：B.5．（2022·天津河西·高三期末）设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列说法正确的序号为(

)①，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】【分析】根据空间里面线和面的位置关系、面和面的位置关系逐个判断即可.【详解】对于①，若，，则与相交或平行，故①错误；对于②，若，，，则，故②正确；对于③，若，，，则与相交、平行或，故③错误；对于④，若，，，由面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理得可知，故④正确；故选：C.6．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.【详解】A，若，则或异面，故该选项错误；B，若，则或相交，故该选项错误；C，若，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D，若，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确.故选：D.7．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（）A．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m； B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β； D．若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.【答案】C【解析】【分析】对于选项A，B，D，举出符合选项条件的事例判断；对于C，推理说明判断作答.【详解】对于A，在长方体中，令平面为平面，平面为平面，如图，直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而l与m不垂直，A不正确；对于B，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而，B不正确；对于C，过l作平面，如图，因，则，又，而，于是得，所以，C正确；对于D，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，直线AB为直线l，直线AD，BC分别视为m，n，满足，而，D不正确.故选：C8．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））已知，是相异两平面，，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若∥，，则B．若，，则∥C．若，，则D．若∥，，则∥【答案】D【解析】【分析】将上面条件放到长方体或正方体中，再结合性质定理和判定定理即可判断结论是否成立.【详解】因为，是相异两平面，，是相异两直线，知：对于A：若∥，，则，故A正确；对于B：若，，则∥，故B正确；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若∥，，则与相交、平行或异面，故D不正确.故选：D.9．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】【分析】依据线面垂直判定定理、面面垂直判定定理和线面垂直性质定理、面面平行性质定理去判断四个选项的说法.【详解】选项A:若，则或或与相交.说法错误；选项B:若，则.说法正确；选项C:若，则.说法错误；选项D:若，则或是异面直线.说法错误.故选：B10．（2022·全国·模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，若三棱锥为“鳖臑”，平面，，，，则此“鳖臑”的表面积为______.【答案】【解析】【分析】根据“鳖臑”的定义和已知数据可求得，，，从而可求出其表面积【详解】因为平面，平面，所以,因为，，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以，，，所以“鳖臑”的表面积为.故答案为：11．（2022·四川德阳·二模（文））如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______．①翻折到某个位置，使得②翻折到某个位置，使得平面③四棱锥体积的最大值为④点M在某个球面上运动【答案】①③④【解析】【分析】对于①，当时，即时满足条件；对于②，由于不成立，进而可判断；对于③，当平面平面时，四棱锥体积的最大，再求解即可；对于④，取中点，连接，即可得在以点为球心的球面上．【详解】解：对于①，由题知，若存在某个位置使得，由于，平面，所以平面，又平面，即，由于，故，由于在折叠过程中，，所以存在某个位置，使得，故存在某个位置，使得，故①正确；对于②，若存在某个位置，使得平面，因为平面，所以，另一方面，在矩形中，，故不成立，所以②错误；对于③，四棱锥体积的最大时，平面平面，由于是等腰直角三角形，所以此时点到平面的距离为，所以四棱锥体积的最大值为，故③正确；对于④，取中点，连接，由于为线段的中点，所以，所以在以点为球心的球面上，故④正确．故答案为：①③④．12．（2022·山西晋中·模拟预测（文））如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．①；

②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；③的最小值为；

④的取值范围是．【答案】①③④【解析】【分析】①可以根据线面垂直的性质可得证，②可以先证明平面，得到三棱锥的体积为定值来判断正误，③通过，得到进而可以判断正误，④可用余弦定理来求得其范围.【详解】易知，平面，而平面，所以，①正确；在中，点M，N分别为线段，的中点，所以，因为平面，而平面，所以平面，所以点P到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，②错误；易知，所以，所以，③正确；设，易知x的取值范围为，则，所以的取值范围是，④正确．故答案为：①③④．13．（2021·安徽省怀宁中学高三阶段练习（理））在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则以下结论正确是______（填序号）．①②平面平面ABC③三棱锥的体积为④三棱锥的外接球的表面积为【答案】①②③④【解析】【分析】由余弦定理得，过D作，面面垂直得出平面ABC，，假设DB，DE不重合，可得平面DBC，，这样与矛盾，可判断①②；三棱锥的体积可判断③；设三角形ABC的外心为F，过F作平面ABC，设O为外接球的球心，利用，求得和，可判断④．【详解】因为，，所以，所以，过D作于E．因为平面平面ABC，平面平面，所以平面ABC，所以，假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，所以，这样与矛盾，所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，所以平面平面ABC，所以①②正确；三棱锥的体积为，所以③正确；设三角形ABC的外心为F，则，过F作平面ABC，设O为外接球的球心，，则，，所以，所以，解得，，所以外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，所以④正确．故答案为：①②③④.14．（2022·重庆市天星桥中学一模）如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，.D为的中点，M，N分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当M，N运动时，下列结论中正确的是___________（填写序号）.①平面平面②在内总存在与平面ABC平行的线段③三棱锥的体积为定值④可能为直角三角形【答案】①②③【解析】【分析】对于①：作NK⊥AK，MH⊥AD，利用面面垂直的判定定理即可证明平面DMN⊥平面BCC1B1；对于②：连接DO，可以判断出DO∥平面ABC，即可判断；对于③：直接求出，即可证明；对于④：判断出当M和N在中点时，△DMN为等边三角形，为最大角，即可判断.【详解】如图所示：对于①：作NK⊥AK，MH⊥AD，所以，整理得:，所以△DMN为等腰三角形，所以DO⊥MN，同理DO⊥BC1，所以DO⊥平面BCC1B1，所以平面DMN⊥平面BCC1B1，故①正确；对于②：连接DO，由于D、O为中点，所以DO∥平面ABC，故在△DMN内存在DO与平面ABC平行的线段，故②正确；对于③：VA−DMN对于④：当M和N在中点时，△DMN为等边三角形，为最大角，不可能为直角三角形，故④错误.故答案为:①②③15．（2022·甘肃酒泉·高三期中）已知l、m表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：①若，则，②若，则；③若，则；④若，则．其中所有正确的命题是______．【答案】①③【解析】【分析】以面面平行的性质去判断选项①；以面面垂直的性质去判断选项②；以线面垂直的性质去判断选项③④.【详解】选项①：，又，.判断正确；选项②：，或，又直线位置关系为相交或平行或异面，直线不能判定为平行关系.判断错误；选项③：，又，.判断正确；选项④：，或，又，或位置关系为相交.判断错误.故答案为：①③．16．（2022·北京昌平·高二期末）已知正方体的棱长为2，E为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：①的面积的最大值为；②满足使的面积为2的点P有且只有两个；③点P可以是的中点；④线段的最大值为3．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】先找出P的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解.【详解】解：连接,,,、分别为的中点，易得,从而知,又，又，得平面平面，故点P在矩形(除线段)上运动,对于①，由图可知，当P与H重合时，此时三角形面积最大，最大值为，故①对；对于②，由图可知，当或时，的面积为2，故②对；对于③，由图易知，点P不可能在线段,故③错；对于④,由图易知，当P与H重合时，此时长度最大，最大值为，故④对；故答案为：①②④；17．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：①若，，，则直线与可能平行；②若，，，则直线与可能相交､平行或异面；③若，，则直线与一定垂直；④若，，，则直线与一定平行.以上说法正确的是___________.（填序号）【答案】①③【解析】【分析】①可以举出直线与平行的情况；②若与平行，在，的前提下是不能使，故②错误；③可以利用利用线面垂直和线面平行的的性质进行证明；④可以举出不成立的反例.【详解】对于①，若是两个平面的交线时，能够找到且的直线，故①正确；对于②，若，，，直线与不可能平行，故②错误；对于③，根据线面垂直､线面平行的性质可知直线与一定垂直，故③正确；对于④，若，，，则直线与可能平行也可能异面，故④错误.故答案为：①③18．（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））如图，点P在正方体的面对角线上运动，有以下4个结论：①三棱锥的体积不变

②平面③

④平面平面则所有正确结论的序号是______________.【答案】①②④【解析】【分析】利用三棱锥体积公式，结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、平行线的性质逐一判断即可.【详解】对于①，由题意知，从而平面，故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；对于②，连接，，，由于知：，所以面，从而由面面平行的性质可得，平面，故正确；对于③，由于平面，所以，若，则平面DCP，，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于④，连接，由且，可得面，从而由面面垂直的判定知，平面平面，故正确．故答案为：①②④19．（2021·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是____．①平面平面；②；③的取值范围是；④三棱锥的体积为定值．【答案】①②④【解析】【分析】由正方体的特征知平面，对角面，由面面垂直的判定和线面垂直的性质可知①②正确；当点为线段的一个四等分点且靠近点时，由长度关系可求得，知③错误；由体积桥和三棱锥体积公式可确定④正确.【详解】对于①，几何体是正方体，平面，又平面，平面平面，①正确；对于②，在正方体中，对角面，对角面，，②正确；对于③，当点为线段的一个四等分点且靠近点时，可得：，，，由余弦定理得：，此时，③错误；对于④，的面积是定值，点到面的距离为，三棱锥的体积，④正确．故答案为：①②④．

B组能力提升20．（2022·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和上的动点，则下列结论正确的是（

）A．MN与AB为异面直线B．C．三棱锥体积的最大值为D．当N为的中点时，线段MN长度的最小值为【答案】BC【解析】【分析】根据M，N分别为线段和上的动点，由直线与直线、直线与平面之间的位置关系判断A，B选项的正误；利用等体积转化法确定C选项的正误；当M为的中点时，MN的长度最小，从而判断D选项.【详解】对于选项A，当N与B重合时，MN与AB为相交直线，故选项A错误；对于选项B，易知平面，平面，∴，连接，则，而，平面，，∴平面，又平面，∴，而点M在线段上，∴，故选项B正确；对于选项C，∵点M为线段上的动点，∴当M与D重合时，的面积最大，而当N与B重合时，点N到平面的距离最大，故，故选项C正确；对于选项D，当N为的中点时，取的中点E，连接NE，，则，故，∵M在线段上运动，∴当M与E重合时，线段MN长度最小，此时，故选项D错误.故选：BC.21．（2022·广东江门·模拟预测）如图，三棱锥中，，，，则下列说法正确的是(

)A．B．平面平面C．三棱锥的体积为D．以为直径的球被平面所截得的圆在内的弧的长度为【答案】AC【解析】【分析】A：设O为BC中点，连接AO，DO，由△ACD和△ABD全等，证明平面即可；B：证明DO与AO不垂直即可；C：；D：求出球心到平面ACD的距离，求出球被平面ACD截得圆的半径即可根据弧长公式求弧长.【详解】设O为BC中点，连接AO，DO，由△ACD和△ABD全等，可知DC＝DB，AC＝AB，则DO⊥BC，AO⊥BC，∴平面，∴，∴A正确.∵平面，∴∠AOD为二面角A－BC－D的平面角.计算可得，，，，故∠AOD≠90°，故错误.，∴，∴C正确；，设B到平面ACD的距离为，则以AB为直径的球的球心到平面ACD的距离d＝，即，∴由得.如图所示，设AD交球与F，AC交球于E，平面ACD截得球的圆为圆，设圆半径为r，则＝，，则，∴，∴D错误.故选：AC.22．（2022·重庆八中高三阶段练习）（多选题）棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（

）A．与是异面直线 B．与所成角为C．平面平面 D．若，则点的运动轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】由展开图还原正方体，根据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.【详解】由展开图还原正方体如下图所示，对于A，，四边形为平行四边形，，与是共面直线，A错误；对于B，，与所成角即为，，为等边三角形，，即与所成角为，B正确；对于C，平面，平面，；又，，平面，平面，又平面，平面平面，C正确；对于D，由正方体性质可知平面，取中点，连接，则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，点的轨迹长度为，D正确.故选：BCD.23．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（

）A． B．是等边三角形C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面【答案】ABC【解析】【分析】利用面面垂直以及线面垂直的性质可判断A选项；设，利用勾股定理可判断B选项；利用正棱锥的定义可判断C选项；利用面面垂直的性质结合面面垂直的性质可判断D选项.【详解】对于A选项，翻折前，因为，为的中点，则，翻折后，对应地有，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，故，A对；对于B选项，设，翻折前，因为为等腰直角三角形，为的中点，则，且，，由勾股定理可得，翻折后，因为平面，平面，则，由勾股定理得，在三棱锥中，，则为等边三角形，B对；对于C选项，在三棱锥中，因为为等边三角形，，故三棱锥为正三棱锥，C对；对于D选项，假设平面平面，如下图所示：取的中点，连接、，因为，为的中点，则，若平面平面，因为平面平面，平面，所以，平面，设等边的中心为点，连接，由正棱锥的性质可知，平面，因为过点作平面的垂线，有且只有一条，故假设不成立，即平面与平面不垂直，D错.故选：ABC.24．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿直线AC翻折，形成三棱锥.下列说法正确的是（

）A．在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值B．在翻折过程中，存在某个位置，使得C．当平面平面ABC时，D．当平面平面ABC时，三棱锥的体积为【答案】ACD【解析】【分析】设O为AC的中点，三棱锥外接球的半径为5，所以三棱锥外接球的体积为定值，故A正确；在翻折过程中，存在某个位置，使得，从而斜边CD的长大于直角边BC，这与，矛盾，故B错误；当平面平面ABC时，过D作AC的垂线DE，垂足为E，在平面ABC上，过B作AC的垂线BF，垂足为F，所以，故C正确；当平面平面ABC时，平面DBC，三棱锥的体积为，故D正确.【详解】解：设O为AC的中点，则，所以三棱锥外接球的半径为5，所以三棱锥外接球的体积为定值，故A正确；若在翻折过程中，存在某个位置，使得，又，则平面ABD，而平面ABD，所以，从而斜边CD的长大于直角边BC，这与，矛盾，故B错误；当平面平面ABC时，过D作AC的垂线DE，垂足为E，则平面ABC，，，在平面ABC上，过B作AC的垂线BF，垂足为F，则平面DAC，，，所以，故C正确；当平面平面ABC时，平面平面.又，平面ABC，所以平面DBC，计算得，因为，，所以，所以三棱锥的体积为，故D正确.故选：ACD25．（2022·湖北襄阳·高二期末）（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上不与A，重合的动点，则下列选项中正确的是（

）A．异面直线CP与所成角的取值范围是B．当点P运动时，平面平面C．当点P运动时，三棱锥的体积不变D．当点P运动时，的面积存在最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对A，先证明，进而找到异面直线所成的角，然后得到答案；对B，先证明平面，然后根据面面垂直的判定定理得到答案；对C，先证明平面，进而判断答案；对D，先证明，然后结合三角形的面积公式求得答案.【详解】对A，如图1，因为，所以四边形是平行四边形，则，所以（易知其为锐角）是与所成的角，而若P与A重合，容易判断为等边三角形，，则与所成角的范围是.故A错误；对B，如图2，因为平面，所以，又，则面，于是.因为平面，所以，又，则面，于是.又，所以平面，当P在线段上运动时，恒有平面，所以平面平面.故B正确；对C，如图3，因为，所以四边形是平行四边形，则，而平面，所以平面，当P在线段上运动时，点P到平面的距离d不变，所以三棱锥的体积不变.故C正确；对于D，如图4，因为平面，平面，所以，于是三角形的面积，当最小时，三角形面积最小，当P为线段的中点时，，最小，此时三角形的面积最小，最小值为.故D正确．故选：BCD.26．（2022·宁夏银川·一模（文））如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，.(1)证明：平面ABCD；(2)求三棱锥与三棱锥组成的几何体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接，，可证明，再证明，从而可证明结论.（2）由，可得答案.(1)连接，，由题意，，，，知与为全等三角形，所以，故.不妨设，则，，，在中由余弦定理可得，故，在中，，故，AO与BD相交于点O，且AO与BD都包含于平面ABCD，所以平面.(2)由（1）可知，，，所以，三棱锥与三棱锥组成的几何体的体积为.27．（2022·陕西西安·一模（文））如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，D，E分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、等腰三角形的性质进行证明即可；（2）根据三棱锥的等积性进行求解即可.(1)在正三棱柱中，平面，又平面，∴．∵D是的中点，为正三角形，∴．又，，平面，∴平面．(2)在正三棱柱中，平面，又平面，，∴点D到直线的距离为．∴．由（1）知点B到平面的距离为，∴．28．（河南省大联考2021-2022学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学试题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．(1)求证：平面；(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，再由勾股定理逆定理得到线线垂直，最后证明出线面垂直；（2）用等体积法求解线段长度.(1)∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴．在中，，根据勾股定理逆定理可得：，又，∴平面，即，在中，，F为的中点，∴，又∵，∴平面．(2)根据题意，，∵平面，∴，∴，∴．∵，∴，∴．29．（2021·天津一中高三阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）取交点P，构造三角形中位线可证；（2）将面面垂直转化为线面垂直，结合已知根据等边三角形三线合一，以及勾股定理可证；（3）