新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.4二面角课件新人教B版选择性必修第一册

1．2.4二面角[课标解读]

1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习教材要点知识点一二面角的概念1．半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，______________都称为半平面．2．二面角：从________________________所组成的图形称为二面角，________称为二面角的棱，______________称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作________，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作________．3．二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上_________，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则________叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的大小用它的平面角来度量；二面角的平面角范围为：________．4．两个相交平面所成角的大小：两个平面相交时它们所成角的大小，指的是它们所成的四个二面角中，不小于零度且不大于90度的角的大小．其中的每一部分一条直线出发的两个半平面这条直线这两个半平面α­l­βA­l­B任取一点O∠AOB[0，π]状元随笔如何找二面角的平面角？[提示]

(1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．知识点二用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝________．(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝________或θ＝__________．特别的，sinθ＝__________．〈n1，n2〉〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉sin〈n1，n2〉

答案：C

答案：C

3．(教材例题改编)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小等于________．答案：90°解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.4．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．

课堂探究·素养提升题型1用定义法求二面角例1如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A－VB－C的余弦值．

状元随笔先判断△VAB，△VBC为等边三角形，取VB的中点E，连接AE，CE，再证明∠AEC是二面角的平面角．方法归纳用定义求二面角的步骤1．作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；2．证明所作平面角即为所求二面角的平面角；3．解三角形求角．跟踪训练1如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)证明：AB⊥平面VAD；解析：证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD.AB⊂平面ABCD，AB⊥AD.∴AB⊥平面VAD.(2)求平面VAD与平面VDB夹角的正切值．

题型2用向量法求二面角【思考探究】1．构成二面角的平面角有几个要素？[提示]

(1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ

答案：C

方法归纳1．用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角；(1)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角．

跟踪训练2如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC，D是AB的中点．(1)证明：AC⊥平面AA1B1B；

(2)求二面角C1－B1D－A1的正弦值．

(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．

方法归纳1．与空间角有关的翻折问题的解法翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．跟踪训练3如图所示，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.

解析：因为ABCD为矩形，故AB⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PA