初中数学-1.1.1 等腰三角形（备课件）-2021-2022学年八年级数学下册同步备课系列（北师大版）

北师大版

八年级下册数学第一章

三角形的证明

1.1.1

等腰三角形1.1.1

等腰三角形的性质与判定（含反证法）图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?斜拉桥梁埃及金字塔体育观看台架情景引入

如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并沿虚线剪去，再把剪下的部分展开,得到的△ABC有什么特点?剪一剪ACB定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ABC底边腰腰顶角底角

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.找一找

等腰三角形是轴对称图形吗？思考是它的对称轴是折痕所在的直线.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角

ACBDAB与AC

BD与CD

AD与AD∠B

与∠C.∠BAD

与∠CAD∠ADB与∠ADC

猜一猜：

由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.已知：△ABC中，AB=AC,求证：∠B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？猜想:等腰三角形的两个底角相等如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中思考：由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？

解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.

ABCD性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在△ABC中,3、等腰三角形的一个角是120°时，另两个角是多少？2、等腰三角形的一个角36°，另两个角是多少？

1、等腰三角形的顶角是36°，底角是多少？牛刀小试解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角)解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C=36º(等边对等角)由三角形内角和定理得:

①②CBA

36ºCAB36º由三角形内角和定理得:∠B=∠C=

分析:由于三角形中只能有一个钝角,所以在等腰三角形ABC中只有顶角∠A=120º。

BAC解:如图,在三角形ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C由三角形内角和定理得:

∠B=∠C=等腰三角形的顶角不超过180º,底角不超过90º。解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角)解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C=36º(等边对等角)

①②CBA

36ºCAB36º由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A=x+x+36º=180º设∠B=∠C=x解得:x=72º∴∠B=∠C=72º设∠A=x由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A=x+36º+36º=180º解得:x=108º即∠A=108º

分析:由于三角形中只能有一个钝角,所以在等腰三角形ABC中只有顶角∠A=120º。

BAC解:如图,在三角形ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)设∠B=∠C=x

由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A=x+x+120º=180º

解得:x=30º∴∠B=∠C=30º21ABCD在已知中,没有说明任何一个角的度数,只有一些边相等的条件.如果明确各内角的关系,那么可以根据三角形内角和是180º,求出各角的度数.AB=AC∠ABC=∠CBC=BD∠C=∠1AD=BD∠A=∠2∠1是△ABC的外角∠1=∠2+∠A∠1=∠ABC=∠C∠1=2∠A=2∠2∠ABC=∠C=2∠A不妨设∠A=x分析:例、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。例、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。在△ABD中，∠1=∠2+∠A=2x(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和和).在△ABC中，由三角形内角和定理得：

∠A+∠C+∠ABC=x+2x+2x=180º.∵BD=BC∴∠C=∠1=2x（等边对等角）.21ABCD解：设∠A=x∵AD=BD∴∠2=∠A=x（等边对等角）.∵AB=AC∴∠ABC=∠C=2x（等边对等角）.解得x=36º.在△ABC，∠A=36º，∠ABC=∠C=72º.轴对称图形两个底角相等，简称“等边对等角”顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合一”等腰三角形的性质小结教材知识点：

反证法1.反证法的定义:反证法的定义是先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法.2.用反证法证明命题的步骤:(1)假设命题的结论不成立;

(2)从这个假设出发,运用正确的推论方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相貌度的结果;

(3)由矛盾的结果判定假设不成立从而肯定命题的结论正确.

例题讲练：例1.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设

.解:三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°)例2.用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.证明:假设三角形中的外角有两个角是锐角.

根据三角形的外角与相邻的内角互补,知与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,大于90°,则这两个角的度数和一定大于180°,与三角形的内角和定理相矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中,外角最多有一个锐角.北师大版

八年级下册数学第一章

三角形的证明

1.1.1

等腰三角形1.1.1

等腰三角形的判定情境引入

在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm等腰三角形的判定ABC如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？互动探究已知：如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?建立数学模型：CAB做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？在△ABD与△ACD，∠1=∠2，∴△ABD

≌△ACD.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.∴

AC=AB.()即△ABC为等腰三角形.∵∠B=∠C，()知识要点等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.已知等角对等边在△ABC中，应用格式：BCA((ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角对等边）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.辨一辨：如图,下列推理正确吗?例1

求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．

证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．ABCE（（12D例2

已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.ABCDE证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴△AED是等腰三角形.例3

已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=ADBADC证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD.总结：平分角+平行=等腰三角形如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE变式训练

是由折叠可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.练一练：1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A.∠A＝50°，∠B＝70°B.∠A＝70°，∠B＝40°C.∠A＝30°，∠B＝90°D.∠A＝80°，∠B＝60°B2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm例4

已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.ah作法：1.作线段AB=a.2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB

于点D.3.在MN上取一点C，使DC=h.4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.ABCMND例5

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．例6

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.OABCEF解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.小结等腰三角形的判定等角对等边定义注意是指同一个三角形中有两边相等的三角形是等腰三角形课堂检测1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A．8B．9C．10或12D．11或133．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．11C．7或11D．7或104．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°