多模光纤波导

耦合：外耦合透镜棱镜光栅劈形全息外耦合透镜光栅光纤锥全息波导耦合（耦合波理论）光纤波导焊接调制调制电光声光磁光强度位相偏振波长频率调制内调制外调制强度位相（干涉）偏振波长频率（多普勒效应）法拉第克尔光弹第五章

普通光纤的基础理论内容提要

前言§1阶跃折射率光纤的光线理论§2偏射光线的传播§3光纤波导中的模式理论§4阶跃光纤的标量近似分析

前言1.光纤与光纤通信基本情况:占光学工业时间

产值比例1982年09.2%1985年20.7%2000年

46.0%图1.1光电子技术主体发展图1.2阶跃折射率光纤的横界面图2.历史的回顾

1854年，就认识到光纤导光传播的基本原理

—

全内反射。十九世纪二十年代，制成了无包层的玻璃光纤；二十世纪五十年代，用包层可以改善光纤特性，当时的主要目的是传输图像。

1967年，N.S.Kapany，FiberOptics：PrinciplesandAplications(Academic，NewYork)

缺点：损耗大

α~1000dB/km光纤之父高锟１９６5年，高锟提出了用玻璃代替铜线的大胆设想：利用玻璃清澈、透明的性质，使用光来传送信号。他当时的出发点是想改善传统的通讯系统，使它传输的信息量更多、速度更快。但高锟经过理论研究，充分论证了光导纤维的可行性。不过，他为寻找那种“没有杂质的玻璃”也费尽周折。为此，他去了许多玻璃工厂，到过美国的贝尔实验室及日本、德国，跟人们讨论玻璃的制法。他说：所有的科学家都应该固执，都要觉得自己是对的，否则不会成功。后来，他发明了石英玻璃，制造出世界上第一根光导纤维，使科学界大为震惊。2009年高锟获得诺贝尔奖七十年代：随着光纤制造技术的突破，使损耗降低到~0.2dB/km（1.55μm附近）仅受瑞利散射损耗限制。1973年从理论上预言通过光纤的色散和非线性互作用可以产生光孤子；1980年从实验上获得了光孤子，将超短光脉冲压缩到了6fs。

掺铒光纤放大器

掺杂光纤激光器

受激喇曼散射

受激布里渊散射

光纤群速色散,自相位调制——

超短光脉冲的产生、压缩和控制光纤通信领域的革命低损耗光纤非线性光纤光学新领域诞生

3.优点：良好的传导性能、巨大信息容量(一条光频通路上同时可容纳几十亿人通话，传送上千套电视节目)。与金属传输线相比:(1)机械方面:直径细(µm)、重量轻(30g/km)、可绕性好(节省铜料、价格低廉，一公斤熔融硅棒可拉光纤几百公里，100公里长18

路同轨电缆需铜12吨、铅50吨)。

(2)电气方面:电气绝缘性好、无感应。本身不辐射电磁场、噪声信号。(3)化学方面:耐火、耐水性好，耐腐蚀性好(安全)。(4)传输特性方面:低损耗(0.2dB/km

1.55

µm，0.5dB/km1.3µm，2.5db/km

0.8µm)、宽频带(1GHz·km、2.5GHz·km)、无串音。5.光纤的分类 1从材料来分：（1）高纯度石英（SiO2），0.2db/km（1500nm）（2）多组分玻璃，3.4db/km,840nm（3）塑料光纤，150db/km,650nm

（4）液芯光纤（5）晶体光纤2从模式来分：（1）单模光纤，芯径4－10微米（2）多模光纤，芯径50微米3从折射率分布来分：（1）阶跃型光纤（2）梯度折射率型光纤4从制作方法来分：（1）CVD（化学气相沉积法）

MCVD（改进化学气相沉积法）（2）双坩锅法（适用于制作多组分玻璃)5按传输偏振态来分：（1）保偏光纤（2）非保偏光纤6按结构来分：（1）普通光纤（2）光子晶体光纤§1阶跃折射率光纤的光线理论按照折射率分布:

1.

阶跃型光纤:光纤中心芯到包层的折射率是突变的。其成本低，模间色散高，。阶跃型光纤通常称为普通光纤。

2.

渐变型光纤:光纤中心芯到包层的折射率是渐变的。1.1子午光线的传播

3.子午面:在光纤中，通过光纤中心轴的任何平面。4.子午光线:位于子午面内的光线.根据光的反射定律，入射光线和反射光线始终在同一平面内。因此，子午光线经过多次全反射后仍在原入射面内，子午光线是(平面曲线)。5.偏射线:另一种光线不在一个平面里，不经过波导的轴，它们碰到边界时做内部全反射，也和点平面边界一样，反射角等于入射角，(空间曲线)。

如图1所示，n1，n2分别是纤芯和包层的折射率，n0为光纤周围介质折射率。设

图1光纤的传光原理光线通过光纤波导端面中心点A入射，进入波导后按子午光线传播，根据折射率定律，则:(1)当入射角

大于界面临界角，即:(2)光线在波导内部作全反射。为了得到波导，外面激发的角度θ0必须满足关系式:

(3)6.数值孔径(N.A.):在一般情况下，n0＝1(空气)，则子午光线对应的最大入射角为:(4)它决定了子午光线孔径角的最大值θmax，即代表光纤的集光本领。7.相对折射率差:因为纤芯和包层的折射率通常相差很小，

，所以可取。由(4)式可得:(5)

作为激光传输用的光纤波导，相对折射率差△值通常在1％~5％之内。1.2几何程长和全反射次数

1.几何程长:单位长度光纤内光路长度,用lm来表示，

2.总路程长度(光线在该光纤中所传播):lm再乘上光纤的总长度，。一般来说，光线在光纤中经过的光路长度大于光纤的长度。

图.2光纤长度与路程的关系

如图.2所示，与路程AB相对应的纤维长度是AE，所以有:(6)当n0＝1时，上式化为:(7)由(7)式看出，当n1一定时，lm只决定于光线的外部激发角θ0而与光纤本身的粗细无关。3.全反射次数ηm

:光纤每单位长度上的反射次数，

4.总反射次数

:ηm乘以光纤的长度即可得出。

(8)式中d是纤芯的直径，推导中假定n0=1。由(8)式可以看出ηm∝1/d，d小时ηm多1.3光纤弯曲对子午光线传播的影响

光纤的特点之一是可以弯曲，但是这并不代表光纤就可以随意弯曲。

聚合物光纤连接线

如图3所示，子午光线由光纤直部和弯部的界面上X点进入弯部，弯部的O点在光纤轴线上，OC=R为弯部的曲率半径，d为纤维的直径，、、各为子午光线在直部、弯部外表面和弯部内表面的入射角可以考察弯曲部分中子午光线的传播情况弯曲部分的、角不等于角，可以证明，而所以有可能变得小于临界角，这时光线就要逸出外表面。证明如下:设X点离O点的坐标为x，，在△

AXC中应用正弦定理:

(9)在上式中，因为，所以即。△在△ABC内应用正弦定理有:

(10)同样，因为，所以即。因此，当R小到一定程度时，原来在直部能产生全反射的子午光线，到了弯部，便要从芯线弯曲部分外侧面逸出。

R的减少还可能产生另外一种情形:子午光线只在外表面反射，而不在内表面反射。如图4所示。这时意味着已经增大到1，在图4子午线在外表面反射式(10)中，以代入，可解出:(11)当R的值比式(11)中的值还要小时，便会发生子午光线只在外表面反射而不到内表面反射的情形。

光纤弯曲后对θmax的影响。在式(9)中，当x=－d/2时，与相差最大，即:(12)当等于临界角，(恒大于)，这时可以计算相应的θmax如下:(13)一般情形中，R》d，上式可化为:(14)可见光纤弯曲会使θmax值减小，即数值孔径N.A.减小，从而使光纤的集光本领减弱。R越小，减弱越多。一般情况R》d，因而在弯曲不太大，弯曲次数不太多时，可忽略弯曲的影响。但是弯曲总要损失光能，对于长距离使用的通讯传输光纤，应尽量避免不必要的弯曲，实际光纤在制造时，形成的微弯也会导致光能损失。光纤弯曲时，由于全反射条件不满足，其透光量会下降，这时既要计算子午光线的全反射条件，又要推导偏射光线全反射条件，才能求出光纤弯曲时透光量和弯曲半径之间的关系。

实验表明，当R/d<50时透光量已经开始下降；当R/d≈20时透光量开始明显下降。1.4光纤端面倾斜效应光纤的端面倾斜对传播子午光线的影响:1)某些光纤束需要把整个光纤束的端面做成某种曲面状。2)实际制造的光纤的端面与光纤轴线有一定的不垂直度。3）光纤切割的不垂直度。

光纤融接机和光纤切割机

图5端面倾斜的光纤如图5所示，光纤的输入端面的法线NN’与轴线OO’有一个不为零的夹角，并且NN’在图面的子午面内。如果选取其他的截面，则由于NN’不在所选的截面之内，入射光便成了斜光线；光纤端面倾斜时，最大孔径角θmax与数值孔径N.A.的关系。从图5中可以看出:(15)由折射定律:(16)当角等于临界角时，有:(17)(18)代入式(16)后可得:

(19)将式(19)和式(4)比较，就看出端面倾斜角时对的影响，当时式(19)便回到式(4)。现在讨论由法线另一侧入射的子午光线，如图6所示，这时有:(20)即:(21)由折射定律得:图6从倾斜面另一侧入射(22)

于是可以求出:

(23)把式(19)和式(23)合写成:(24)当n0＝1时，式(24)变成:(25)式(25)说明了θmax和N.A.的关系。在图6中，当θmax=/2时，如果全反射正好能产生，则相当于光纤集光本领最大的情形，根据式(25)得到:(26)这是端面倾斜的光纤能够收集朗伯光源所发出的全部光流时，N.A.的最大值，由式(26)可见数值孔径N.A.在数值上是大于1的。光纤出射端面的倾斜引起出射光线角度的变化。从图7中可以看出，原来平行于光纤中心轴的光线不再是以与端面垂直的方向出射，而是偏折了一个角度θ。图7出射端面倾斜时光线的偏折对于正常的非倾斜出射端面，其出射光线对于光纤中心轴是对称的。出射端面的倾斜使这种对称性破坏了如果倾斜角度为，则偏折角θ可写为:(27)

由于光纤出射端面的倾斜使光线的出射光锥偏折的现象，我们用图8来形象说明。实际上我们也能观察到这个结果。有时往往在光纤中心轴附近的一侧观察不到出射光，而把视线偏一个角度后就能看到出射的光。

图8出射端面倾斜不同角度，出射光线的偏折1.5圆锥形光纤圆锥形光纤:如果直圆柱形光纤两端的直径不相等，并且其直径随长度线性变化。严格的说，每根光纤两端的直径都不可能完全相等，只是差别大小而已，但是这种直径的差别对光的传播是有影响的，尤其对于有些特殊应用这种影响不能不考虑，因而对直圆柱形光纤的直径变化有时就规定了一个范围，不能超越，否则就不能应用。另一方面，一定锥度的锥形光纤有聚光的能力，光线从小端入射，在大端出射光强度会提高。

图9表示的是子午光线通过锥形光纤的光路。设ω为锥形光纤的锥角。由图可知，在锥形光纤中，光线在纤芯和包层界面内壁的反射次数增加逐渐减小。当光线以θ角入射

图9锥形光纤1θ于锥形光纤的大端时，折射角为θ1，在锥角ω=0时，纤芯和包层界面内壁上的反射如下的数学式来表示角=90°－θ1

。由于锥角ω>0，所以光线在内壁上发生第一次反射后，反射角就减小ω/2，从第二次反射开始，以后每次反射后，反射角就减小ω。

(28)又

(29)将式(29)代入式(28)可得:

(30)这个公式说明，当光线从锥形光纤的大端入射时，全反射条件很容易被破坏。因为在光纤中发生全反射的条件是，而锥形光纤的反射角是一直在减小，所以总会在某一次反射后，全反射条件不满足了。光线也就会从光纤的侧壁逸出去。即使在锥角ω很小的情况下，只要反射次数足够多，就会在某一次反射后出现，而使全反射条件受到破坏。同时，由于内壁上的反射角逐步减小，光线从锥形光纤大端入射时，小端的出射光出现发散，这是由于此时出射光锥角比入射的大。反之，当光线从锥形光纤小端入射时，从纤芯和包层界面内壁上的反射角经每次反射后就会增加，所以大多数的光线都会满足全反射条件，这是和上面情况相反的。同样此时的出射光锥角比入射的小，因而出射光又会聚作用。图10就表示了这两种情况。图5.10锥形光纤大端与小端进光的比较要使光线都能从光纤另一端出射，则应满足:

对于大端入射的情况:a1和a2分别时光纤出a1a2l射端(小端)和入射端(大端)的半径，若，则由上式可得:这是一般情况下锥形光纤聚光条件，再利用:l是光纤长度，可得:上式为使锥形光纤聚光，光纤有最小长度l0另外，锥形光纤两端孔径角不一样，大端孔径角小，小端孔径角大，两者满足关系式:式中:由此可见，锥形光纤可以改变孔径角，因而可用于耦合。1.6光纤的集光本领数值孔径是表征光纤集光能力大小的一个参数。数值孔径越大即孔径角越大，光纤的集光能力就越强，也就是说能进入光纤的光通量就越多。光纤和普通的光学透镜相比，它的数值孔径大是一个显著的特点。设光学透镜的口径为d，焦距为f，如图5.11所示，透镜数值孔径可表示为:图5.11透镜的数值孔径上式说明了光学透镜的数值孔径由f/d决定(f/d为f数。d/f称为相对孔径)。(31)n0=1时，f数与N.A.的关系如下表所示:

可看出在n0=1时光学透镜要使孔径角达到90°是很难做到的。但是光纤的数值孔径可以做得很大。只要选取合适的芯材料和包层材料，其数值可以达到1。f数N.A.f/2.811°0.18f/1.915°0.26f/0.590°1

从式(4)可知，由于的数值可以大于1，从数学上来说，θmax的值只可能为90°，但从物理意义上来说，表明光纤的集光能力特别强，不但在n0=1时θmax可以达到90°，而且在n0>1时，θmax仍有可能达到90°，这在实际的应用中是很有意义的。朗伯光源:发光强度dI∝cosθ,亮度与方向无关。现在我们来计算光纤对朗伯光源发出的光的聚集能力。图5.12朗伯光源的发光如图12所示，朗伯光源处于半径为r的半球面的球心O处，则通过立体角到(图中环形阴影区域)的光通量dF为:(32)阴影区域的面积且于是可得:(33)由于光纤的可接受角范围是0~θmax

，对于式(33)积分后有:由于从面光源O点发出的总光能流为，所以光纤的集光效率为。由上面的讨论可以看出，光纤的数值孔径和集光本领有密切关系，当N.A.≤1时，子午光线的集光本领与数值孔径N.A.的平方成正比；当N.A.≥1时，集光本领达到最大值1。由于光纤的N.A.可以比光学镜头的大得多，所以与一般光学镜头比较，光纤的集光本领高。(34)§2偏射光线的传播

偏射光线:是一些和光纤中心轴即不平行，也不相交的光线，它们和光纤中心轴是异面直线。偏射光线在光纤中进行一次全反射，平面的方位就要改变一次。其光路轨迹是空间的螺旋折线，在端面上的投影可以是左旋折线，也可以是右旋折线，并且这些螺旋折线和光纤的中心轴是等距的。右旋左旋图5.13斜光线在光纤端面上的投影

2.1全反射条件如图14所示，QK为入射在光纤内的斜光线，QK和光纤中心oo’是既不平行，又不相交的异面直线。H为K在横截面(或端面)上的投影。∠QKH=

是斜光线和光纤轴之间的夹角，内壁上的入射角∠KQT＝，轴倾角∠HQT=

是斜光线在入射点横截面上的投影QH

图5.14斜光线的全反射条件和法线QT之间的夹角。HT⊥OT，则QT垂直于KHT平面。这样，△QTH，△QKT，△QKH均为直角三角形。在△QTH中，QT＝QHcos，在△QKH中，QK＝QH/sin，在△QKT中:

(35)上式说明这三个角度之间的关系。显然光线在光纤内壁发生全反射时是不变的，由于，而，这样就可以得到斜光线的全反射条件为:(36)因此，在光纤中传播的斜光线必须满足如下条件:(37)如果用光线在光纤端面上入射角θ来代替折射角，则上式可以改写成:(38)如果入射光线是子午光线，则QH和QT相重合，=0，公式变成:(39)我们从公式(38)就可以得到斜光线的数值孔径为:

(40)由于cos≤1，因而斜光线的数值孔径要比子午光线的数值孔径大。由于的数值依赖于入射角θ的取向，所以在斜光线的情况下θmax总有可能为90°，但此时相应的的数值应满足下式:(41)从式(40)可以得到轴倾角，令其为即有:(42)在全反射的条件下，的取值范围为

讨论偏射光线的传播，可以使我们理解所谓子午孔径外的黑带现象。如果我们用范围内的平行光线入射于光纤的内壁，则角的取值就是至90°的范围，这样，在光纤端面上就出现黑带现象。利用公式(42)还可以求出在全反射时偏射光线到光纤中心轴之间的距离。在图14中，作OM⊥QH，又OM⊥KH，所以OM垂直于偏射光线QK所在的平面，而OM就是偏射光线至光纤中心轴的距离，D为光纤直径。在△OQM中:(43)如果，则OM即为我们所要求的斜光线到中心轴的最小距离，利用和的关系，上式可改写为:化简后得:(44)上式说明在发生全反射时，偏射光线至光纤中心轴有一个最小距离OM。这个距离和光纤的直径，纤芯和包层的折射率及所在介质的折射率有关。如果入射光线在光纤上位移时，也发生变化，在光纤界面内壁上的全反射条件却仍是不变的。2.2光路长度和全反射次数现在我们来求偏射光线通过光纤时的几何程长和全反射次数。由图14可知，单位长度中的几何程长为:(45)比较(45)和(6)两式，可以看出两者是相同的，即l斜=lm。在θ角相等的情况下，斜光线和子午光线在光纤中的光路长度相同。

同样，单位长度内的全反射次数可写为:(46)由于

(47)代入式(46)可得:(48)比较(48)和(8)两式，可得:(49)上式说明偏射光线的全反射次数总是比子午光线多，它是和轴倾角密切相关的。在=0时，即在子午光线情况时，公式(49)和公式(8)是一致的。§3光纤波导中的模式理论

用几何光学分析--简单直观的优点，

--波动理论的初步近似。光纤的直径减小到和入射光波长同数量级时，光的干涉和衍射等波动性质十分明显，

模:

具有确定空间和时间分布的电磁场分量(模)才能在光纤中传播。这个模和光纤参数、入射光频率和包层的性质有关，并且是满足光纤的一定边界条件的麦克斯韦方程组的一个解。在光纤波导中导模:位相常数构成有限数目的分立谱辐射模:位相常数构成无限数目的连续谱。

在包层无限厚的普通光纤波导结构中，光纤波导仅由折射率为n1的芯和折射率为n2的包层(无限延拓)组成。只要光纤波导的包层厚度远大于电磁波的穿透深度，这样的光纤就可以当做包层无限厚的光纤来处理。

正规波导:光纤波导的折射率分布沿纵向(z向)不变，即。横向分层均匀横向分层非均匀光场可表示为分离形式:若不涉及光纤中的非线性，为常数，可略去，得:其中，为横截面二维分布项，为纵向波动项。β为相移常数、纵向传播常数。、都是复矢量，即有幅度、相位和方向，它表示了、沿光纤横截面的的分布，称为模式场。上式代入方程，特征解形式:为一个模式。光纤中的光场分布则是这些模式的线性组合:式中的ai，bi是分解系数，表示该模式的相对大小。一系列模式可以看成是一个光波导的场分布的空间谱。3.1标量波动方程光是一种电磁波，因此，光在介质中传播应满足介质中的麦克斯韦方程组，采用麦克斯韦方程组形式为:(50a)

(50b)(50c)(50d)这里表示电流密度矢量，是标量电荷密度在无源场的情况下，=0，=0。对于均匀的、各向同性物质，，。是介质的相对磁化率，在非磁性材料中

=1，是相对介电常数。因此，当光在内部没有场源、均匀的各向同性介质中传播时，麦克斯韦方程组可简化为:(51a)(51b)(51c)(51d)为了应用上的方便，我们将麦克斯韦方程组改写成另外一种形式，对方程(51a)取旋度后，我们得到:(52)代入矢量等式:(53)就可以将方程(5.52)改写成:

(54)解此波动方程式，得一复数形式的特解:(55)式中，表示光波的频率，称为波矢，它的方向代表了(55)式所表示的平面波的传播方向，大小表示位相传播的速度，，，n是介质折射率，c是真空中的光速，对光波的磁场，同样方法得:(56)由方程式(55)和(56)表示的平面波满足:

，(57)于是，波动方程(54)可简化为:(58)对于磁场有同样的结果:(59)方程(58)和(59)称为亥姆霍兹方程，是讨论光在介质中传播问题的基本方程，在直角坐标系(x，y，z)中，和的x，y，z分量均满足亥姆霍兹方程的标量形式:(60)

代表或的各个分量。光在有限大小的介质中传播，或在一个由折射率不同的几种介质所组成的物质中传播时，必须考虑不同介质组成的界面处电磁场应满足的边界条件:(61a)(61b)(61c)(61d)上式中的表示界面的法线方向。亥姆霍兹方程和边界条件以及麦克斯韦方程组是研究光纤波导的基本出发点。5.3.2光纤波导中的模式模:

具有确定空间和时间分布的电磁场分量是光波导中的一个基本概念，它具有以下特性:(1)稳定性:一个模式沿纵向传输时，其场分布形式不变，即沿z方向有稳定的分布。(2)有序性:模式是波导方程的一系列特征解，是离散的，可以排序的。排序方法有两种。一种是以传播常数β的大小排序(β越大序号越小)，另一

种是以(x，y)两个自变量排序，所以有两列序号。(3)迭加性:光波导中总的场分布是这些模式的线性迭加。(4)正交性:一个正规光波导的不同模式之间满足正交关系。对于圆柱形的光纤，取柱坐标比较合适。图5.15光波导的坐标系如图15所示，光纤的轴向为z，纤芯半径为a，折射率为n1，包层折射率为n2，且n1＞n2。在整个波导结构中，折射率分布均匀,没有自由电荷及传导电流，属各向同性介质。

(62)式中下标(1)和(2)分别代表纤芯和包层区域。根据规则波导理论，只要求出纵向分量Ez、Hz，横向场分量就可利用Ez、Hz求出。而Ez

、Hz满足标量亥姆霍兹方程:(63a)(63b)因此，能够沿光波导传输的波型或模式的场分布必须满足齐次亥姆霍兹方程(58)式和(59)式，在r=a处满足的边界条件下面我们以Ez为例求解式(63)，Hz可按同样方法处理。在圆柱坐标中，方程(63)可写成:(64)用分离变量法，令:(65)将式(65)代入式(64)并同除以得到:(66)可见决定Ez(z)的方程是:(67)令

β2＝k2-x2(68)则:(69)式中，β为纵向传播常数，x为横向位相常数。这是一个齐次常微分方程，如果我们只取沿z方向传播的波，则式(69)的解为:(70)式(66)即变成:(71)可见决定的方程是:(72)上式也是齐次常微分方程，其解是:(73)式中m=0，1，2，…。离散常数m是包含零在内的正整数，是初位相。则式(66)变成:(74)这就是著名的贝塞尔方程。它的解可以是各阶贝塞尔函数。因为它是一个二阶微分方程，它必定有两个相互无关的解。但任何能在光波导中传输的独立波型必须满足条件:r＜a时，Ez(r)有限；r＞a时，Ez(r)→0。根据贝赛尔函数的性质，所能选取的解只能是:(75)式中Jm是贝塞尔函数，Km第二类修正贝塞尔函数。x1--纤芯内的横向位相常数x2--包层内的衰减系数将式(5.70)、式(5.73)和式(5.75)代入式(5.65)，最后我们得到:

(r<a)(76)

(r>a)(77)

(78)(78)式决β值的上下限,由波动方程沿轴向z的解代入亥姆霍兹方程(58)和(59)，在圆柱坐标中，场的横向分量按下列关系求出:(79)现在我们利用边界条件(61)式来确定(76)式和(77)式中的常数Am，Bm，Cm，Dm，为简单计算，令W=x2a，U=x1a，当r=a时，电场切向分量连续，即:(80)

(81)r=a时，磁场切向分量连续，即:(82)(83)式中Jm’和Km’分别为Jm和Km的一阶导数。方程(5.80)~(5.83)组成四元一次方程组:当其系数行列式:

时，方程有无穷多组解。将(80)~(83)式代入上式并整理后得:(84)式中:(85)因式(84)左边与角度无关，故欲使式(84)成立则必须:(86)将式(86)代入式(84)得:(87)方程(78)和(87)决定了波导模式的传播常数β，式(78)决定了β值的上、下限，

色散关系(87):描述了在这个限度之内β随频率变化的规律，各模式的截止条件可从(87式导出。至此尚没有求出Am，Bm，Cm，Dm四个常数。实际上，只要不关心场的绝对值，也就没有必要求出这些常数的具体值。

相对参量P:表示分量的相对值。当Ez、Hz均不为零时，将式(80)、(81)代入式(82)并两边同除以Jm(U)，整理后有:(88)利用此关系，纤芯(r<a)中的纵向分量可写成:(89)(90)再利用式(89)、(90)及(79)，则纤芯中的横场分量可写成:(91)式(89)~(91)表示了光波导中的“混杂”模场量。沿用微波理论中的习惯，当P＝-1时，称为HEmn模；当P＝+1时，称为EHmn模。

m表示贝赛尔函数的阶数，场在角度方向变化的次数

n表示Jm(x1r)=0时的根的序号，场在半径方向变化的次数

“混杂”模的特点是Ez、Hz均不为零。

当Ez、Hz分别为零时，则称为横电模(TE0n)和横磁模(TM0n)，其场分布分别为:TE0n模(Ez=0)

(92)

TM0n模(Hz=0)

(93)3.3截止条件以上所讨论的各种模式仅是光波导中可能存在的模式，某一模式是否实际存在于光波导中，则要根据它所特有的截止条件来判断。对于结构一定的(即n1、n2及a值一定)光波导，每一可能存在的模式都有自己的截止条件。

传输模:从式(77)可知，当x2r→∞时，Km(x2r)≈exp(-x2r)。如果x2≠0是实数，表明包层中的场随r增大而单调地减小。

截止条件:如果当x2≈0时，包层中的场不再单调减小，表明它不再是传输模，即传输模被截止。这样，在色散关系式中令x2=0即可求得其截止条件。对TE0n模或TM0n模，因为m=0，所以式(87)变成:(94)对TE0n模:(95)对TM0n模:(96)显然，当W→0时，式(95)和式(96)都要求J0(U)=0，这就是TE0n和TM0n模的截止条件。因为J0(U)是个振荡函数，它有许多根

n=1时U01=2.41，当纤芯半径a的值使U01≤2.41时，TE0n模和TM0n模就截止而不复存在了。

n=2时，U02=5.52，当a值使U01≤5.52时，TE0n模和TM0n模就截止而不复存在。

对HEmn和EHmn模，因为m≠0，所以情况要复杂得多。故略去繁琐的数学运算，只给出如下结论。

HE1n模:J1(U)=0，当n=1时，U11=0，说明它没有截止限制，所以称HE11模为光波导中的优势模(即该模总是存在)。HEmn(m≥2)模

(97)这时模式截止条件与折射率n1，n2值有关。利用公式可将(97)式化简为。当n1≈n2时，即纤芯和包层折射率差很小时，即得到Jm-2(U)=0。

对EHmn模(m≥1)，Jm(U)=0但U≠0，这里U≠0表示m=1时Jm(U)=0的第一个根要从U≠0的根算起。如

EH11模:U11=3.83,当纤芯半径a值使U11≤3.83时EH11模就截止而不能存在了。几个低阶模的截止条件列于表1。现进一步讨论上述截止条件的物理意义。从式(78)可求得:表1低阶模的截止条件

(98)

nm12345模式02.4055.5208.65411.79214.931TE.TM103.8327.01610.17313.324HE13.8327.01610.17313.32416.471EH25.1368.41711.62014.79617.960EH36.3809.76113.01516.22319.409EH47.58811.06514.70017.61620.827EH式中，ω是光波频率，c是光速。截止频率:当x22=0时，令ω=ωc。因为x1=Umn/a，所以:(99)该式说明了截止频率与光波导参量之间的关系。在纤芯半径a，纤芯与包层的折射率n1和n2一定时，如果光波频率ω≤ωc，则相应的模式就不能在波导中传播。对TE01(或TM01)模:对HE11模，ωc=0此式表明HE11模没有截止频率。因此HE11模是光纤波导中的优势模，称为基模。它的单模工作频率范围是:(100)上式可改写为:归一化频率参量(V)

(101)单模光纤波导:当V<2.41时，光波导中只有HE11模。多模光纤波导:当V>2.41时其它高阶模就出现，V值愈大，出现的模式就愈多，对式(87)求解，可得到各模式传播常数β与归一化频率参量V的关系曲线，如图16所示。图中曲线明显反映出，随着V值增大传输模式不断增多的情况。图16归一化传播常数β/k与参量V的关系曲线§4阶跃光纤的标量近似

在分析光纤时，一般采用的近似方法之一为标量近似法:

阶跃光纤里的横向电场(，)或横向磁场(，)的幅度满足标量亥姆霍兹方程。(实际上，已知只有直角坐标系里各分量或圆柱坐标系里的Ez、Hz分量才严格满足亥姆霍兹方程。)现在假设，能够满足，就是假设它们的分布彼此相同，相对关系到处不变，横向电场的极化(偏振)方向到处相同(即偏振方向不变)。

这种近似在弱传导的情况下，即相对折射率差很小(102)以及入射角很小(即与光纤轴平行)的光纤里，传导模的一般理论将大大简化(①弱导情况:纤芯中电磁波几乎是横波Ez=Hz=0；②可不考虑介质分界面对电磁波偏振态的影响)，并能得到好的计算精度。一般模式理论:Ez、Hz——严格满足亥姆霍兹方程。标量近似():

也满足亥姆霍兹方程，横向分布彼此相同，相对关系到处不变，极化分量方向相同。在弱传导近似下，普通光纤的数值孔径可以近似表示成:(103)

光纤的归一化频率是:(104)式中的a是纤芯半径，k0为自由空间的波数。这时纤芯和包层交界处的边界条件是在两种介质的交界处，标量本身连续，标量在与边界正交的方向上(即法线上)的变化率连续；就是横向场的幅度和它的幅度沿r方向上的变化(即)连续。

近似方程可使许多重要问题如:1.模式的传输系数、2.截止条件、3.单模传输条件、4.多模传输时模式数量、5.各模式在纤芯、包层的功率及交界面的功率密度等等，得到简便的计算公式，这是近似方法的优点。4.1波动方程的解及特征方程设阶跃光纤中传播一平面电磁波，传播方向与光纤轴线(即z轴)方向一致，记为:(105)式中，ω为角频率，β为传播常数，为横向场。

根据标量近似法的假定，满足标量亥姆霍兹波动方程式(60)，式(60)的圆柱坐标系表示为:(106)根据分离变量法，设上式的解为:(107)将式(107)代入式(106)，得:(108)(109)式(109)的解为:(110)式(110)为椭圆极化(偏振)波，也可取线极化波或来表示。式(108)在纤芯是一个m阶的贝塞尔函数，以Jm(Ur/a)表示，对于包层，考虑到横向场是由界面起，沿径向按指数函数衰减的，应取第二类修正贝塞尔函数，以Km(Wr/a)表示。由式(105)的标量解表示为:(111)(112)

应用边界条件即可导出特征方程，阶跃光纤的边界条件是在r=a处，横向场幅度Ψ本身和沿边界的法线上的变化率连续。由式(111)、(112)有:(113)(114)

由贝塞尔函数的递推公式:(115)(116)(117)式(117)是阶跃光纤波导的一种特征方程。这是一个超越方程，由它可以求解U或W，β进而可定出常数A。4.2截止条件和传输模由第二奕修正的汉克尔函数性能可知，当W>0时，Km(Wr/a)将很快衰减到零，适合于描述阶跃光纤包层中光的传输。这样射入光纤的光将局限于纤芯中传播。

截止条件:W=0表示截止的入射角等于全反射临界条件(从几何光学的观点看，截止的临界状态即为入射光波的入射角等于全反射临界角的情况)。当W=0时，由式(117)得:(118)

例如:当m=0时，便有J-1(U)=0，其根为U=0，3.832，7.046，10.173，13.324，16.470…即当U等于上列值时，导模(正规模)将截止。

对应于这一系列截止时的U值，是一组标量模式，用Ψ0l表示。第一个角标“0”代表m=0；第二个角标代表第几根，用l表示，如Ψ00、Ψ01、Ψ02