高等代数欧几里得空间知识点总结

第九章欧几里得空间（***）一、 复习指导:在第九章中，有两个重要的考点：1•标准正交基（施密特正交化）2•实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。二、 考点精讲：三、首师大真题：（一）欧氏空间1•设V是是数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记为Q,卩），特具有一下性质：（1） （a,卩）=（卩,a）；（2） （ka,卩）=k（a,卩）（3） （a+卩，丫）=（a，Y）+（卩，丫）；（4） （a,a）>0，当且仅当a=0时（a,卩）=0•这里a,卩，丫是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。(a,a)2•非负实数J（a,a）称为向量(a,a)3•非零向量a,卩的夹角-a,卩;;规定为:a,卩;:=arccos4•如果向量a，卩的内积为零，即（a,卩）=0，那么a,卩称为正交或互相垂直，记为a丄卩。5•设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ss……,s令a=（8,8）,（i,j=1,2,....n）矩1,2,nijij阵A=(a)称为基ss……,s的度量矩阵。ijnxn 1,2, n（1） 度量矩阵是正定的；（2） 不同基底的度量矩阵是合同的。6•欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.以3个线性无关向量a”a2,a3为例.①令P1=a1,a (a，卩)o21（卩，卩）11卩2=勺-(0201)卩i21（卩，卩）11Q,卩）3 2-（卩,Q,卩）3 2-（卩,卩）22卩已-（O1）11此时卩］，卩2，卩3是和叫a2“3等价的正交非零向量组.（二）同构1•实数域R上欧氏空间V与v'称为同构，如果由V到v'有一个1-1上的映射b，适合（1）b（a+卩）=b（a）+b（卩）（2） b（ka）=kb（a）（3）Q（a）Q（卩））=（a,卩） 这里a,卩eV,keR，这样的映射b称为v到v'的同构映射。2・两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。三）正交矩阵1・基本概念（1） n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E。（2） 欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的a,卩eV都有（Aa,A卩）=（a,卩）2・主要结论设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价：（1） A是正交变换；（2） A保持向量的长度不变，即对于aeV，\Aa\=a\；（3） 如果ss……,s是标准正交基，那么AsAs……,As也是标准正交基；1,2,n1,2,n（4） A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。四）正交子空间1・基本概念（1） 设V,V是欧氏空间V中两个子空间。如果对于任意的aeV,卩eV恒有（a,卩）=0，则称1212V,V为正交的，记V丄V。一个向量a,如果对于任意的0eV，恒有（a,卩）=0,则称12121a与子空间V正交，记为a丄V。11（2） 子空间V称为子空间的一个正交补，如果V丄V，并且V+V=VO212122・主要结论（1）如果子空间V,.•…,V两两正交，那么和V+.•…+V是直和。1s1s欧氏空间V的每一个子空间V都有唯一的正交补V丄。11V丄恰由所有与V正交的向量组成。11对称矩阵的性质实对称矩阵的性质实对称矩阵的特征值皆为实数。设A是n级实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交。(3)对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使TAT=T-1AT成对角矩阵。对称矩阵设A是欧氏空间V中的一个线性变换，如果对于任意的a,卩wV,有(Aa,卩)=Q,A卩)则称A为对称变换。对称变换的性质对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。设A是对称变换，V是A-子空间，则V丄也是A-子空间。11设A是n维欧氏空间V中的对称变换，则V中存在一组由A得特征向量构成的标准正交基。(3)实对称矩阵的对角化A是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.A的特征值和特征向量有以下特点:特征值都是实数.对每个特征值九,其重数=n-r(XE-A)・属于不同特征值的特征向量互相正交.于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化・设A是实对称矩阵，构造正交矩阵Q(使得Q-AQ是对角矩阵)的步骤：求出A的特征值；对每个特征九，求(XE-A)X=0的单位正交基础解系，合在一起得到A的n个单位正交的特征向量;⑶用它们为列向量构造正交矩阵Q.向量到子空间的距离，最小二乘法1•长度弘-卩I称为向量a和0的距离，记为d(a，卩)，且d(a,0)=d(0,a)d(a,0)>0，当且仅当a=0时等号成立；d(a,0)<d(a,Y)+d(,0)(三角不等式)2・实系数线性方程组ax+ax+•—Fax—b=011i122 1nn1ax+ax+•—+ax—b=021 1 222 2nn2ax+ax+ Fax—b=0n1 1n22 nnnn可能无解，即任何一组实数x,x,……x都可能使£(ax+ax++ax—b)2不等于零，寻