【课件】三角函数的概念说课课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的概念

“天津之眼”创设情境，明确背景创设情境，明确背景思考1、我们是借助于什么来刻画点P的位置的？思考2、为了更好地体现“周而复始”的变化规律，我们是在哪里讨论角的？思考3、如何建系可简化问题？问题1.如图，单位圆☉O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况？角的大小变化在直角坐标系中以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴建立直角坐标系追问：任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？分析具体事例，归纳共同特征方法一：根据锐角三角函数求坐标方法二：根据直角三角形的性质,结合勾股定理求坐标问题2：当

时，点P的坐标是什么？如何求解？点P是唯一确定的吗？问题3：用同样的方法求当

时，点P的坐标又分别是什么？它们是唯一确定的吗？M分析具体实例，归纳共同特征问题4：通过观察视频，你有什么发现？这里有几个对应关系？这种对应关系满足函数的定义吗？生成概念问题5：如何给函数命名？设

是一个任意角，,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)正弦函数和余弦函数的定义域是什么？问题6：

是一个函数吗？若是，自变量是什么？函数值又是什么？这个函数的定义域如何求解？问题7：我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。根据以上分析，你能给三角函数下个统一的定义吗？三角函数是以角度为自变量，以角的终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。生成概念概念应用例1

利用三角函数的定义求

的正弦、余弦和正切值。方法总结：作图求坐标根据定义写函数值小试身手αsinαcosαtanα根据定义求出下列三角函数值问题8：根据以上计算，锐角三角函数与任意角的三角函数之间有什么联系？100-10-101000概念拓广

A(1,0)xyO·Q(x,y)思考1：三角函数的定义中的点P是角终边上的哪个点？如何找到那个点？思考2：如何求出点Q的坐标？解析：通过作图，得思考3：上述过程我们用了什么方法？当P(x,y)为角α终边上的任意一点（异于原点）时，你能用同样的方法求出角α的三个三角函数值吗？概念拓广例2

如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x,y)(异于原点)，点P与原点的距离为r，。求证：(x,y)证明：作图，可得如何去绝对值呢？同理可得：思考1：通过例2的证明，角α的三角函数值是否与终边上的点的位置有关？思考2：例2实际上给出了任意角三角函数的另一个概念，而且这种概念与已有的概念是等价的，你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为(x,y),则概念拓广概念应用知识上：思想方法上：归纳总结α三角函数模型(x,y)单位圆任意点推广从特殊到一般，从具体到抽象，数形结合布置作业：1、利用三角函数定义求出所有特殊角的三角函数值，以表格的形式呈现；2、课本180页2，3，4；184页习题2基础题（必做）拓展延伸：（选做）三角函数的概念教学阐释教材分析学情分析教学重点、难点教学过程教学思想教学目标和目标解析教法学法一、教材分析

本节课是人教A版必修一第五章第二节的第一课时，本节课是在学习了任意角和弧度制的基础上，通过继续研究单位圆周运动上点的位置与角度的关系，得出了三角函数的概念。它既是任意角和弧度制的延续，又是后面研究诱导公式和三角函数的性质的基础，在整个章节起着承上启下的作用。二、教学思想

本节课是概念新授课，概念的形成应按“事实-概念”的路径，即学生要经历“背景-研究对象-对应关系的本质-定义”的过程，在此过程中体现了“从特殊到一般”“从具体到抽象”以及数形结合的思想方法，培养学生数学抽象，数学建模的核心素养。三、学情分析知识上，学生在初中学习了锐角三角函数，对三角函数的形式有了初步了解，但对于三角函数周期性的认识存在欠缺。能力上，学生已具备了解直角三角形的基本运算能力和归纳概括能力，以及抽象思维能力。四、教学目标和目标解析1.教学目标(1)了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系(2)经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数的定义，发展数学抽象素养2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)学生能如了解指、对、幂等基本初等函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到圆周运动在周而复始变化现象中的代表性。(2)学生在经历“周期现象-圆周运动-单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题，使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数的概念；能根据定义求给定角的三角函数值。五、教学重点、难点任意角的正弦、余弦、正切的定义；重点影响单位圆上点的坐标变化的因素分析；三角函数的对应关系及三角函数定义方式的理解。难点0102六、教法学法根据以上教材分析和学情分析，本节课将采用问答式，小组讨论式的教学方法，合理利用多媒体和导学案的教学手段，使数学学习生动形象，并提高课堂有效性。学法指导：指导学生利用自主探究与合作交流的方式进行学习，利用问答式分散难点，达成目标。七、教学过程（一）创设情境，明确背景首先介绍生活中的“周而复始”的变化现象，引出圆周运动是这类现象的代表设计意图：为本节课提供生活实例，让学生感受数学来源于生活，激发学生学习本节课的兴趣。问题1.如图，单位圆☉O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况？思考1、我们是借助于什么来刻画点P的位置的？思考2、为了更好地体现“周而复始”的变化规律，我们是在哪里讨论角的？思考3、如何建系可简化问题？设计意图：通过问题1明确本节课的研究任务，将实际问题转化为数学问题，通过三个思考题逐步为建立数学模型做准备（二）分析具体实例，归纳共同特征问题2：当

时，点P的坐标是什么？如何求解？点P是唯一确定的吗？设计意图：通过求点P的坐标，让学生体会点P的坐标的唯一确定性。同时掌握求点坐标的两种计算方法：利用锐角三角函数直接求，或者根据直角三角形的性质。通过该过程培养学生数学运算素养。问题3：用同样的方法求当

时，点P的坐标又分别是什么？它们是唯一确定的吗？设计意图：让学生熟练求点的坐标的计算方法，并通过更多的实例感受角和点的坐标的这种对应关系。追问：任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？问题4：通过观察视频，你有什么发现？这里有几个对应关系？这种对应关系满足函数的定义吗？设计意图：通过“追问”将特殊拓展到一般，从具体转化为抽象。通过问题4引导学生通过任意角与点的坐标的唯一确定性找出两对对应关系，从而自然而然的得出三角函数的概念，突出重点，突破难点。

以上四个问题都是以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是角α的函数，为给出三角函数的定义作好准备。培养学生归纳概括的能力和数学抽象的能力。（三）生成概念问题5：如何给函数命名？设计意图：类比锐角三角函数的命名方式，理解任意角的三角函数的符号表示，引导学生在新知识与已有的知识经验间建立联系。然后让学生阅读概念，并标记出关键词设计意图：标出关键词可以帮助学生加深理解三角函数中的对应关系，培养学生阅读能力和提取信息的能力。问题6：

是一个函数吗？若是，自变量是什么？函数值又是什么？这个函数的定义域如何求解？为了回答该问题，我采取的是“先独立思考，然后小组内比较结果并讨论”。设计意图是通过讨论分享组内每个人的理解方式和方法。设计意图：通过问题6，让学生进一步明确在三角函数中，角α是自变量，终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值是函数值，加深理解三角函数的对应关系，突破本节课难点。问题7：我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。根据以上分析，你能用自然语言给三角函数下个统一的定义吗？设计意图：通过归纳共性，得出三角函数概念的本质特征：三角函数是角度与坐标之间的对应，是“几何元素间的对应”，三角函数值是通过求交点的坐标得到的。（四）概念应用例1

利用三角函数的定义求

的正弦、余弦和正切值。设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤：作图-求坐标-根据定义写出函数值，并得到答案。αsinαcosαtanα课堂练习设计意图：检验学生对定义的理解情况。（五）概念拓广

思考1：三角函数的定义中的点P是角终边上的哪个点？如何找到那个点？思考2：如何求出点Q的坐标？思考3：上述过程我们用了什么方法？当P(x,y)为角α终边上的任意一点（异于原点）时，你能用同样的方法求出角α的三个三角函数值吗？设计意图：该问题的解决是通过问题引导，逐步突破难点，最终得到答案。该问题是为得出“终边上任意点”定义的三角函数概念作铺垫的。通过求终边过点P的三角函数值，学生可以得出利用三角函数的定义和三角形相似的方法，求出已知终边上任意一点的坐标时的三角函数值。这为证明“终边上任意点”的三角函数概念提供了方法和思路，同时也可自然而然的引出三角函数的另一个概念。例2

如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x,y)(异于原点)，点P与原点的距离为r，。求证：思考1：通过例2的证明，角α的三角函数值是否与终边上的点的位置有关？思考2：例2实际上给出了任意角三角函数的另一个概念，而且这种概念与已有的概念是等价的，你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？设计意图：从特殊到一般，得到“终边上任意点”定义的三角函数，将单位圆周运动拓展到所有的圆周运动，使学生理解了三角函数是描述圆周运动的数学模型，达成目标。最后通过“概念应用”中的练习，检验学生对“任意角”定义的三角函数的应用能力。(六)归纳小结知识上：思想方法上：α