弹塑性力学基本理论及应用-刘土光-华中科技大学研究生院教材基金资助-第四章-本构方程

第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。但是只有这些方程还缺乏以解决变形体内的应力和变形问题。对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术开展水平还不能解决这一难题。如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，那么总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体外表一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了根底。1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。这个条件是弹性的另一种定义。换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。满足这个假设的物体在卸载后一定回到其初始尺寸和形状，也就是说该物体是理想弹性的。在上述条件下，使弹性体的未变形微元变形所需的功可表达为，即等于单元初始体积和6个应变分量的某个函数的乘积。该函数称为物体的应变能函数或应变能密度。它依赖于材料的物理特性，但与物体的形状和尺寸无关。应该注意到应变能函数仅依赖于6个应变分量，和刚体运动无关。另一方面，应变分量可以用三个主应变分量()和对于应变主轴()的方向余弦()来表示，而且由于主轴相互正交，并且()是单位矢量的分量，所以方向余弦可表示为三个独立角度()的函数。这样无穷小微无变形所需要的功为(4.1-1)从方程(4.1-1)可清楚地看出，使一体积元(就是说一平行六面体)变形所消耗的功不仅依赖于主应变分量()的大小，而且依赖于受到()作用的体元纤维的主方向(六面体各面的方向)。以上说明体元在不同方向对变形的响应是不同的，当一个物体呈现这种行为的性质称为各向异性，更完整地说，组成该物体的材料是各向异性的。它在不同方向呈现出不同性质(对给定力的不同响应)。反之，如果材料在各方向的响应都相同(对给定力)，那么称该材料(物体)为各向同性的。对在各个方向有相同性质的物体使一体元变形所需的功不依赖于该单元的方向性(即不依赖于确定主方向位置的角度)，因此仅仅是是主应变()的函数。这样，对各向同性材料，(4.1-2)从第三章知，主应变()也可以用应变不变量()，故(4.1-2)式也可写为(4.1-3)对一般变形理论，方程(4.1-3)比方程(4.1-2)更适用，然而对于小位移理论，方程(4.1-2)的形式是有用的，因为()具有简单的物理意义。由方程(4.1-3)，整个物体变形消耗的功为(4.1-4)函数以及方程(4.1-1)和(5.1-2)中的函数称为应变能函数，或称应变能密度，它表示相对于不变形状态物体单位体积的变形能。1.2应力分量与应变能密度函数的关系对于处于弹性小变形的物体，即处于小应变状态的物体，设物体的闭合外表为，被所包围的体积为，假设物体处于变形的平衡状态(包括物体处于变形过程中)，可以证明所得到的应力分量与应变能密度函数之间的关系保持不变。设表示变形过程中外力作用于体积上的功，表示由变形所引起的体积内能的变化或变分。如果变形是绝热的，那么由能量守恒定律导出。因此有，其中是弹性变形能函数，因此有，(a)功是作用于体积的体力功，和作用于外表的面力功之和。由应力状态理论知，功为(b)式中和分别是在坐标方向的位移矢量和相应于体积的体力分量。类似地，根据应力边界条件可得面力功为(c)根据散度定理，该面积分可转换为体积分(d)根据变分与微分符号可以互换，并注意，那么由(a)、(b)、(c)、(d)式可得(e)因为方程(e)反映了固体变形的绝热过程，所以由该式可得(f)在绝热情况下，方程(f)右端的表达式就是应变的微分，并且存在一函数，具有由以下关系所表达的性质(4.1-5a)由该式可得(4.1-5b)函数表示由于变形(应变)而贮存在物体单位体积内的应变势能。采用工程符号上式可写为(4.1-5c)当物体为绝热变形时，的变分与物体内能密度的变分相同。满足关系(4.1-5)的函数称为总应变能密度函数。应变能密度函数的存在也可说明一个等温(恒温度)过程。实际上说，一个绝热过程可以由物体内经历小而迅速的振动变化来近似表示，反过来等温过程可以由逐渐加载引起物体缓慢变形，且物体的温度与周围物体连续保持平衡在物体内所引起的变化来近似表示。方程(4.1-5)极大地简化了在弹性力学小挠废理论中确定应力分量的问题，因为我们只需寻找一个函数代替寻找6个未知函数()。一般说来是6个应变分量的函数，或者是6个应力分量的函数。如果材料是各向同性的，结果就会更简单，因为主应变方向与应变能密度无关，是主应变的函数．于是由方程(4.1-5)，主应力为,,主应力和主应变不受介质质点旋转的影响，即使位移是大的，但只要应变与1相比是小的，方程(4.1-5)也是正确的。4.2线弹性变形体的广义虎克定律不同材料具有不同的拉伸曲线的，但是它们也有一些共同的规律，一般说来，当变形较小时，即应力小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹性的，因而是可以恢复的。当卸除外载荷后，物体可以完全恢复到变形前的初始状态，在物体内没有任何剩余变形和剩余应力。这时应力与应变之间的关系可以用虎克定律表示，即，称为弹性模量。另外，在线弹性范围内，当试件在轴向()拉伸或压缩过程中，其横截面的侧向()也相应地在缩小或增大，根据试验知，侧向应变与轴向应变之间存在如下关系：对于三维应力状态，依据前述应力张量与应变张量的对称性，因此描述一点的应力状态一共有6个应力分量和6个应变分量。当材料处在线弹性阶段时，应力与应变之间仍存在线性关系，所以对于均匀的理想弹性体，应力与应变之间的关系可写为(4.2-1)其中为弹性系数。由材料的均匀性可知，系数与坐标无关。式(4.1-1)建立了应力与应变之间的关系，称为广义虎克(Hooke,R)定律或弹性本构关系。在式(4.2-1)中，系数一共有36个。一般情况下，系数不是常数，除依赖温度外，还依赖于物体中的位置，通常是随着温度的增高而减小。实际上，方程(4.2-1)不是定律，仅是对小应变正确的一种近似，因为任何连续函数在变量的足够小的范围内是近似线性的。对于物体内给定温度和位置，方程(4.2-1)中的系数是代表材料特性的常数。2.1各向异性材料对于各向异性材料这36个常数也并不是独立的。由方程()4.2-1)和(4.1-5b)可知(4.2-2)将(4.2-2)式分别进行微分，那么得(4.2-3)这些方程说明，即弹性系数是对称的，因此只有21个不同的系数。也即对于各向异性弹性材料有21个弹性系数。由此可知，一般各向异性材料的应变能函数为(4.2-4)2.2对称性材料在某些结构材料中，可能存在着特殊的对称性，如在坐标变换中中弹性系数可能保持变换，这种变换称为相对于平面的反射。这种变换的方向余弦由表3.2知，分别为(4.2-5)将方程(4.2-5)代入方程(2.3-4)和(3.3-5)，并注意到可得(4.2-6)和(4.2-7)因此在方程(4.2-4)的变换下，方程(4.2-1)的第一个方程给出，(4.2-8)将方程(4.2-6)和(4.2-7)代入方程(4.2-8)可得(4.2-9)比拟方程(4.2-1)的第一式和方程(4.4-9)得出条件，因此必然。类似地考虑，发现因此，如果一种材料的弹性性质对于()平面反射(即该物体有一弹性对称面)是不变的，那么该材料独立的的弹性系数共有13个，其矩阵形式为(4.2-10)如果材料有两个互相垂直的弹性对称平面，可以证明，那么矩阵(4.2-9)可简化为(4.2-11)矩阵(4.2-11)中仅有9个独立的弹性常数，因此，方程(4.2-1)得到进一步简化。2.3各向同性正交异性材料对某些特殊性质的材料，其系数可以用杨氏模量、剪切模量和泊松比3类工程系数来表示。如，平面是各向同性材料的特性可用5个系数描述，而在与该平面垂直的方向那么呈各向异性。换句话说，在绕对称轴旋转任何角度时，其弹性系数保持不变。因此，横观各向同性材料有如下特征的弹性系数矩阵(4.2-12)其中。按工程表示法，(4.2-13a),(4.2-13b)此处。由确定系数。剩下的工程(弹性)系数与4个系数()有如下关系，(4.2-13c)2.3各向同性材料如果材料在三个方向力学性质是相同的，那么称为各向同性材料，例如金属材料即属于此类材料。此时弹性系数只有2个，即，但独立的弹性系数只有2个。因此，在(4.2-11)式中，应有，，，各系数分别为，，这样，(4.2-1)式广义虎克定律简化为(4.2-14a)式(4.2-14c)式还可写为(4.2-14b)通常也将广义虎克定律写为(4.2-14c)如果引入拉梅(Lamé,G)常数，那么广义虎克定律还可写为(4.2-14d)其中，与工程材料常数之间有如下关系在平面应力情况下，因，(4.2-14a，b)可分别简化为(4.2-15a)(4.2-15b)对于平面应变问题，由于，于是从(4.2-14a，b)可得(4.2-16a)(4.2-16b)2.4参数的物理意义、体积变形与体积模量式(4.2-14a，b)可用张量形式分别写为(4.2-17a)和(4.2-17b)令(4.2-18)那么广义虎克定律又可写为(4.2-19)其中分别为应力偏量和应变偏量，，称为体积模量。从式(4.2-19)可以看出，物体的变形可分为两局部：一局部是各向相等的正应力(静水压力)引起的相对体积变形；一局部是应力偏张量作用引起的物体几何形状的变化。并可认为前一种变形不包括物体形状的改变(即畸变)而后一种变形那么不包括体积的变化，从而可以将变形分解为两局部。这种分解在塑性理论中很有用处。如果令变形体中的微小六面体单元的原始体积为，即，那么变形后的体积为上式中略去高阶微量后，那么可得或由此可见，为变形前后单位体积的相对体积变化，称为体积应变或相对体积变形。显然，对于体积不可压缩材料有。由广义虎克定律，有当时,那么记(4.2-20)称为体积模量，又称弹性体积膨胀系数。如将代入(4.2-19)式，那么得(4.2-19)式的第一式。4.3屈服函数与应力空间对了简单拉伸问题，屈服应力可由试验确定，并用简单应力状态的强度计算。然而工程中的实际结构不仅受力状态十分复杂，其应力状态也多属二向或三向应力状态，统称为复杂应力状态。在复杂应力状态下，由于弹塑性分界面不再如同简单应力状态那样有明显的分界面而使问题变得比拟复杂。同时塑性变形规律确实定也不能由实验予以确定。这是因为，一方面，当材料内任一点的主应力有两个或三个不为零时，它们之间的相互比值(组合)就会有无限多，要按每一种比值来进行实验是不可能的；另一方面．目前要实现复杂应力状态下的各种实验，在技术和设备上也都是因难的。因此，关于复杂应力状态下屈服条件及塑性本构关系确实定．就只能在一定的实验根底上，通过一些假设和推理确定。3.１.均压试验布里奇曼(Bridgman，P.W)曾对金属材料大量的均压实验，发现在大气压下，弹簧钢体积缩小2.2%，镍缩小1.8%，而构造疏松的碱性材料，体积改变很大，如锶在15000个大气压Ｆ，体积改变约等于原来1/3。但对于大多数金属材料，在平均压力下体积改变很小，并得到如下关系式(4.3-1)式中分别为压力强度、体积应变、体积模量和派生模量。实验说明，在压力到达15000个大气压的水平时，(4.3-1)式都适用；当压力值等于金属材料的屈服极限时，用(4.3-1)式计算的体积应变与用弹性规律(4.3-2)算得的值仅相差，且越小，式(4.3-1)和(4.3-2)的差异越小。因此，在工程实用范围内，可以认为(4.3-2)式是正确的。或者说，在复杂应力状态下，平均应力可取(4.3-3)试验说明，即使在塑性变形范围内，体积改变也是可逆的，即仍是弹性的。因此(4.3-3)式称为体积弹性定律。将物体的总应变分解为弹性应变和塑性应变，即由于体积变形是弹性的，因此由上式可知即塑性体积应变为零。在实际应用中，由于塑性应变往往比弹性应变大得多，因此为了简化计算，当结构材料进入塑性变形阶段后，常常假定材料是不可压缩的。根据广义虎克定律有在上式中，因为，那么可得(4.3-4)上式是忽略弹性应变效应的一种简化假定，但这一假定可使求解大大简化。由以上可知，布里奇曼的均压试验说明材料的屈服应力与压力强度无关。由此可得出结论：金属材料屈服与平均应力无关，即金属材料屈服与体积改变无关，只决定于形状改变(剪切应变)。由于材料的塑性行为与弹性行为不同，因此，在塑性力学中，要将应力和应变张量分解为它们的球张量和偏张量，其中仅偏张量才与金属的塑性行为密切相关。注意，上述结论仅对各向同性材料而言，对于各向异性材料，在各向等压下不仅要产生体积变形，而且还要产生形状改变，因此情况要比各向同性材料复杂得多。另外，由于各向等拉试验难以实现，至今尚缺乏这方面的资料，所以将布里奇曼试验所得结论用于各向等拉是一种假设。3.2初始屈服函数由材料的简单拉伸(或压缩)实验的应力应变曲线可知，当应力到达后，那么材料由弹性状态进入塑性状态，应力应变关系不再服从虎克定律。因此，是材料由弹性过渡到塑性的条件。这便是单向应力状态的初始屈服条件，是判断材料是否进入塑性状态的准那么。由上述概念可建立一般情况下屈服条件的定义：屈服条件：在载荷作用下，物体内某一点开始产生塑性变形时，应力所必须满足的条件。一般情况下，工程中的结构材料是处于复杂应力状态下，如果复杂应力状态的屈服条件均要如同简单拉伸那样通过试验决定，那么各种复杂应力状态情况是不相同的，其试验次数将是非常可观的。对于理论分析而言，那么要求给出屈服条件的解析式。即在复杂应力状态下建立一个统一的关系来表达这个准那么，即对各种材料和在不同的应力状态下怎样用一个公共的函数形式来表达。通常屈服条件与所考虑的应力状态有关，即与应力空间的6个应力分量有关，且是这些应力分量的函数，假定这个公共的函数存在，那么称之为“屈服函数〞，即为(4.3-5)由于材料初始屈服时，它仍处于弹性状态，应力相应变有唯一关系，因此称(4.3-5)式为初始屈服函数。式(4.3-5)表示在一个以6个应力分量矢量的6维应力空间内的超曲面。空间内的任一点都代表一个确定的应力状态。是这个应力空间内的一个曲面，因此称为超曲面。该曲面上的任一点都表示一个屈服应力状态，所以又称为初始屈服面。如简单拉伸时，屈服应力应在6维应力空间中屈服面内的一个点，其坐标为()。对于各向同性材料，坐标方向的变换对屈服条件没有影响，故可用主应力来表示屈服函数，或用应力不变量表示，即(4.3-5)式改写为(4.3-6)由前面可知，平均应力(静水压力)不影响屈服，因此屈服条件也可以用应力偏量或应力偏量不变量来表示，即(4.3-7)需要注意的是，由于应力偏量不变量中恒为正值。而当应力变号时，也随之变号，故屈服函数必是的偶函数。因此，(4.3-7)式中的第二式必须改写为(4.3-8)3.3屈服面的特征由(4.3-6)式知，屈服函数可以用主应力表示，因此可以在主应力空间内进行讨论。主应力空间是一个3维空间，在这个空间内可以给出屈服函数的几何图形，从而有助于对屈服面的认识。某一点应力状态，可用应力空间一点来表示如图4.1。为该点的应力矢量。考虑过坐标原点与三个坐标轴成等倾斜的直线(等倾斜面法线)，其方向余弦为都相等，由，可知在图4.1中的应力矢量可分解为沿等斜面法线及平行于等倾斜面的两个分矢量和，即假设，该点的应力状态为静水压力，那么必沿方向。因此，在直线上的任意一点的应力状态均为：，即应力状态为静水压力，即对应于一个球形应力状态。对于一般应力状态，将其分解为静水压力及应力偏量状态时，分矢量代表静水压力局部，而代表应力偏量局部，也就是确定材料是否屈服的有关局部。由解析几何知，任一与正交的平面的方程为图4.1应力状态矢量图式中为沿线方向从坐标原点至该平面耐距离。显然，当时，此平的方程为该平面为过坐标原点，并与坐标轴成等倾斜面，称该平面为平面。如有任一应力状态，那么在上的投影为，称为静水应力分量，共值为而与而相垂直，即平行于平面的分量为应力偏量分量，其值为如考虑在过点面平行于的线上任一点的应力状念，那么在平面上的投影必与在该面上的投影相同，仅静水压力分量不同。即过点平行于的线上所有的点都有相同的应力偏量分量。由于一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态，而与静水应力无关。因此，屈服函数必定是平面上的一条封闭曲线。称为屈服曲线。对于整个应力空间来说，这条曲线并不随的大小而变化。于是，在主应力空间内，屈服面是以等倾线为轴线，以平面上的屈服曲线为截面形状，与坐标轴成等倾斜的一个柱体的外表。屈服曲线在平面内有以下重要性质：(1)屈服曲线是将坐标原点包围在内的一条封闭曲线。因为坐标原点是—个无应力状态，材料不能在无应力状态下屈服，所以屈服曲线必定不过坐标原点。另一方面，初始屈服面内是弹性应力状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否那么将出现在某些应力状态下材料不屈服的情况，这是不可能的。(2)屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次．是仅相交一次。在只讨论初始屈服的条件下．材料既然在一种应力状态下己经到达屈服，就不可能又在与同一应力状态差假设干倍数的另一应力状态再到达屈服。初始屈服只有一次。(3)屈服曲线对三个应力主轴的正负方向均为对称。由于应力偏量对主应力坐标轴具有对称牲和不计鲍辛格尔效应，因此对应力主轴的两侧及其正负方向均是对称的。(4)屈服曲线相对于坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。屈服面的外凸性是屈服函数的重要特性，将在下面予以证明。3.4杜拉克(Drucker)公设为了证明上述屈服条件的外凸牲及其相关特性，需引进材料稳定性假设。对于图4.2(a)所示强化材料，如果应力增量，那么产生应变增量，那末应力增量在应变增量上所做功为，具有这种特性的材料称为稳定的。如果当时(图4.2b)，或时(图4.2c)，均有，称这类材料为不稳定的。对于处于复杂应力状态的稳定材料，假设材料从某个弹性应力状态开始加载，在到达加载应力后，再增加应力，它将引起一个新的塑牲应变图4.2稳定材料与不稳定材料增量，在这样一个变形过程中，应力做了功，且以下关系式必然成立(4.3-9)如果现在将应力重新降回到，弹性应变将恢复，弹性应变能披释放，由于塑性应变能局部那么是不可逆的，因此在这样一个应力循环过程中，所作的功恒大于零，也即消耗了功。这个功是消耗于塑性变形的，叫做塑性功(参看图4.3)，可表示如下：(4.3-10)不等式(4.3-9)、(4.3-10)分别表示：图4.3加载与卸载图4.3加载与卸载(1)在加载过程中，应力增量对于附加应变所做功恒为正。(2)在加载与御载的整个循环过程中，所完成的净功恒不为非负。上面的第一条为稳定材料的定义，而第二条并未对弹塑性材料的材料性质予以限制，因此对理想弹塑性材料和弹塑性强化材料都适用。对于强化材料，当应力超过初始屈服面后，应力继续增加时，屈服面将随应力变化过程按一定规律变化，形成一系列屈服面，相对于初始屈服面称这些屈服面为后继屈服面，有时也称为继生屈服面或加载面(如图4.4所示)。如果物体中某点的应力状态相应于应力空间中的点(见图4.4)，然合再加载，应力点的移动轨迹为，再由卸载至。由于阶段为弹性加载过程，段为弹性规律的卸载过程，所以塑性应变增量只在段产生。于是(4.3-10)式可写为在应力循环中，塑牲应变的变化是一无穷小量。当，可近似得(4.3-11)不等式(4.3-9)、(4.3-11)可认为是应变强化的数学表达式。如果将塑性应变与应力空间重合在一起(图4.5)，那么不等式(4.3-9)可解图4.4初始屈服面与后继屈服面图4.5外凸屈服面释为与的数量积(如图4.5)，即于是一定有这表示与之间的夹角必为锐角。另一方面，同样的情况，因为可使的模大于的模，及或于是必有即矢量与互成锐角。由于是任意的，而与屈服面的外法线方向一致，图4.6内内凹屈服面因此所有的应力点均应在垂直于的平面的一侧，即屈服面必为外凸的曲面。对于凹的屈服面(图4.6)，将会得出与互成钝角，因此与图4.5矛盾。3.5伊留辛(Il´yushin)公设如果将上述讨论置于应变空间中(图4.7a)，伊留辛于1961年提出了一个假设：弹塑性材料的微元体在应变空间的任一应变循环中所做功均为非负，即(4.3-12)成立，且仅当此过程为弹性循环时取等号。伊留辛公设比杜拉克公设应用更广，图4.7伊留辛公设描述且对软化材料应用更方便。对于图4.7(b)所示一维情形，当材料进入塑性状态以后，不管是强化还是软化材料，弹性卸载过程中的塑性应变具有不可逆性，所引起的全部应变能皆是非负，为图4.7(b)中的阴影局部，即式(4.3-12)成立。由此可见，杜拉克公设(4.3-12)式讨论的是图4.7(b)中的12341局部，而伊留辛公设(4.3-11)式讨论的是123451局部。因此有伊留辛公设所得的非负功大于杜拉克公设所得的非负功。4.4常用(初始)屈服条件两个多世纪以来，人们都在对材料的屈服条件进行不懈的研究，直至现在也还在研究中。经大量实验验证，符合工程应用的金属材料特性，应用又较方便的常用屈服条件有屈雷斯加(Tresda)屈服条件和米塞斯(Mises)屈服条件。4.1屈雷斯加屈服条件屈雷斯加屈服条件又称为最大剪应力屈服条件，是屈雷斯加于1868年根据金属挤压流过小孔的实验提出的一个屈服条件。这个条件认为当韧性金属的最大剪应力到达一定数值时材料便开始屈服。即屈雷斯加屈服条件要求预先知道最大与最小主应力。设，那么(4.4-1)对于简单拉伸，当(简单拉伸时材料的屈服应力)，，由(4.4-1)式可得(4.4-2)或写为对于纯剪情况，，将它代入(4.4-1)式，得由此可见，根据简单拉伸试验和纯剪切可知，屈雷斯加屈服条件中的值为简单拉伸屈服应力的1/2。在一般情况下，不按大小次序排列，那么以下表示最大剪应力的六个条件中的任一个成立时，材料就开始屈服上式通常可写为(4.4-3)图4.8初始屈服条件图4.9屈雷斯加二维屈服曲线式(4.4-3)即为屈雷斯加屈服条件的数学表达式。在主应力空间，它为如图4.8所示的一个与坐标轴成等倾斜的各边长相等的正六棱柱体，称为屈雷斯加六棱柱体。对于二维应力状态()，那么有(4.4-4)式(4.4-4)在平面内组成如图4.9所示的六边形，称为屈雷斯加屈服六边形。在应力空间讨论屈服条件时，对于二维应力状态那么退化为一个平面，称为主平面。显然，对于确定的应力状态()，在主应力平面内是一个确定的应力点，当物体中某一点的应力状态处在屈服六边形内部时，表示物体在该处的材料尚处于弹性状态；如果物体中某一点的应力状态到达屈服六边形上的任一点，意味着物体在该处的材料开始进入塑性状态。对于理想弹塑性材料，应力点不可能处在屈服六边形以外，而对于弹塑性强化材料开始屈服后的情况，需作专门讨论，可参阅有关著作。因此，这里所讨论的屈服条件为初始屈服条件，其屈服六棱柱体和屈服六边形分别为初始屈服面和初始屈服曲线。4.2米塞斯屈服条件对于各向同性材料，根据广义虎克定律，物体总的变形能可由式(4.2-4)得(4.4-5)又根据物体的变形可分解为体积变化和形状变化两局部，因此应变能也可分解为体积改变能密度和形状改变能密度，即引起体积变化的是平均正应力，与之相应的平均应变，因而(4.4-6)引起形状改变的是应力偏量和相应的应变偏量，注意到广义虎克定律，可以将形状改变能密度，即畸变能密度采用主应力表示为(4.4-7)米塞斯屈服条件又称为畸变能屈服条件，或形状改变比能屈服条件。该屈服条件认为，当构件中某一点的应力状态所对应的畸变能到达一定值时，该点便屈服。因此由畸变能公式(4.2-6)可得(4.4-8)其中为表征材料屈服特征的参数。当以主应力表示，式(4.4-8)可写为(4.4-9)材料屈服特征参数，如同屈雷斯加屈服条件那样，可由简单拉伸试验确定。此时，，。将这些值代入(4.4-9)式有(4.4-10)对于纯剪状态，那么恒等于纯剪应力状态屈服时的最大剪应力，即，它可由薄壁圆管受扭作用试验得到。根据畸变能条件，式(4.4-10)说明，纯剪切屈服应力是简单拉伸屈服应力的倍。对于二维应力状态，畸变能条件为(4.4-11)也可写为(4.4-12)式(4.4-12)在坐标平面内为如图4.10的一个椭圆。如同前面所述那样，当应力点处于屈服椭圆以内，也即当时，或屈服函数，那么物体中的材料处于弹性状态，当应力点处在屈服曲线上的任一点，此时，或，那么材料进入塑性状态。式(4.4-8)是米塞斯屈服条件的一般表达式。由式(4.4-9)可以看出，米塞斯屈服条件在三维主应力空间为与坐标轴成等倾斜的圆柱体，称该圆柱体为米塞斯圆柱体。进一步可证明，米塞斯圆柱体外接于屈雷斯加六棱柱体。图4.10米塞斯二维屈服曲线以上两种屈服条件各有优缺点，最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，因而对于主应力方向及主应力间的相对值的—类问题，是比拟简便的，而畸变能条件那么显然复杂得多。但从理论上讲最大剪应力条件忽略了中间主应力对屈服的影响，是其缺陷。而畸变能条件那么克服了这一缺乏。实验证明：畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果。4.3二维应力状态的初始屈服条件前面所述二维应力状态是对主应力而言，但在处理实际问题时，对于二维应力状态，即平面应变状态和平面应力状态，一般所设直角坐标轴不一定正好是应力主轴，因此为了今后处理问题使用方便，必须导出这两种应力状态在直角坐标轴下的屈雷斯加屈服条件和米赛斯屈服条件的具体表达式。1)、平面应力状态规定纯拉伸时两种屈服条件相重合，根据式(4.4-2)和式(4.4-8)并注意到式(4.4-10)，以及假设材料是不可压缩，即，屈雷斯加屈服条件和米塞斯屈服条件分别为屈雷斯加屈服条件(a)米塞斯屈服条件(b)平面应力状态的应力特征为(c)于是(b)式可写为该式可进一步简化为(d)由式(c)知，是主应力之一，而另二个主应力为由于的关系恒成立，因此三个主应力的大小次序只有下面三种情况：(1)。这一关系式表示如果这个不等式成立，显然下式必成立(e)在(e)式成立的条件下，主应力大小的顺序为(f)将(f)式代入(a)式，得将上式整理后得(g)(2)。这一关系式等价于上式可写为要使该不等式成立，显然要求成立。那么主应力大小的排列顺为相应的屈里雷斯加屈服条件可写为(h)(3)。这一关系可表述为显然，该不等式成立的条件为于是，主应力的排列顺序为相应的屈雷斯加屈服条件为该式也可写为(i)综上所述，在平面应力状态下，两个屈服条件的具体形式如下：根据式(g)、(h)和(i)，屈雷斯加屈服条件的具体表达式为：(4.4-13)而米塞斯屈服条件，为(d)式，即(4.4-14)2)、平面应变状态规定纯拉时两种屈服条件重合，采用主应力表示，那么由(a)、(b)两式可知，两个屈服条件为：屈雷斯加条件(j)米塞斯条件(k)由于平面应变问题有，由广义虎克定律可知，平面应力状态下的应力特征为因此，三个主应力为(l)根据上式，显然有，将它代入(j)式，得即(m)将式(l)代入式(k)，有(n)将式(m)和式(n)写成统一的形式，可得到平面应变状态下两种屈服条件的具体表达式为(4.4-15)4.5后继屈服条件5.1初始屈服条件描述了变形体内一点开始产生塑性变形时该点的各应力分量之间应当满足的关系，它可用来确定初始弹性变形范围的界限。这个界限在应力空间中是一个包含原点的初始屈服面。由于假定结构材料为初始各向同性和初始弹性，因此初始屈服条件只与应力状态有关，而与加载历史无关。这也就限制了它不适用变形体内这样的一些点，即这些点处的材料屈服与否不仅与应力状态有关，还与加载历史有关。显然，它们是变形体内经历过塑性变形的那些点。变形体内经历过塑性变形的点重新进入屈服时各应力分量之间应当满足的条件称为后继屈服条件。对于理想弹—塑性材料，不难理解，其初始屈服条件与后继屈服条件是相同的。因此后继屈服条件仅为强化材料所特有。本节讨论强化材料的后继屈服条件及其在应力空间中的轨迹，即后继屈服曲面。5.1后继屈服函数与强化规律的一般性概念强化材料在经历塑性变形以后，不仅变成了各向异性，而且经历过塑性变形的点的屈服应力也随加载历史的不同而变化。因此，对于经历过塑性变形而力学性态记录史为的那些点，在卸载后重新加载时，该点的材料是否会产生新的屈服不仅与重新加载时的应力状态有关，而且还依赖于力学性态记录史。这样，后继屈服条件应当写成(4.5-1)该式说明，对于变形体内经历过塑性变形，力学性态记录史为的点，卸载后重新加载时，只有当重新加载的应力水平满足式(4.5-1)时，该点的材料才会产生新的屈服，否那么将处于后继弹性状态。式(4.5-1)给出了后继屈服函数的一般形式，但函数的具体形式是怎样的，即对和的具体依赖关系是怎样的还不知道，这是强化规律所要解决的。换句话说，强化规律就是经历过加载和卸载的强化材料的后继屈服函数随和的变化规律。由于当不变时，式(4.5-1)在应力空间内的轨迹是一个固定的后继屈服曲面；当变化时，该式那么给出一组屈服曲面族，因此，强化规律是：(1)当给定时，描述后继屈服曲面在应力空间中的形状；(2)当变化时，描述屈服曲面在应力空间中随的变化规律。5.2两个常用的近似强化想律前述已指出，强化规律描述的是屈服曲面在应力空间中随的变化规律。但是，现有资料说明，屈服曲面的真实变化规律是非常复杂的，特别是随着塑性变形的增加，材料变形的各向异性效应愈加显著，其变化规律也就更加复杂。因此，为了便于推导和应用，不得不对屈服面的真实变化规律进行假设干简化假设。通过简化假设，可得到近似的强化规律，它们可用来近似地描述屈服曲面在应力空间中的形状和变化。在复杂加载情况下，比拟通用的近似强化规律有两类，一类是各向同性强化规律，另一类是随动强化规律，下面分别予以阐述。(1)各向同性强化规律(也称为等向强化规律)各向同性强化规律认为，在加载过程中，后继屈服曲面在应力空间中作形状相似的均匀膨胀，但其中心保持不变。这个规律按下述方式求出式(4.5-1)中的后继屈服函数对和的具体依赖关系。假定初始屈服面的方程为(4.5-2)式中，描绘了初始屈服面的形状，决定了初始屈服曲面的大小。根据等向强化规律假设，在加载过程中，后继屈服面在形状上保持与式(4.5-2)给出的初始屈服面相似，中心保持不变，只是曲面的大小不同。因此描述后继屈服曲面变化规律的函数，可通过在式(4.5-2)中的常数的前面乘以形状相似比而获得。假设设后继屈服面对初始屈服面的形状相似比为，它是力学性态记录史的函数，那么后继屈服面的方程为该式也可写为(4.5-3)式中。根据等向强化规律，后继屈服面在加载过程中均匀膨胀，因此必然是的单调增加的正函数。如果取初始屈服面为米赛斯屈服曲面，即在式(4.5-3)中取为那么在等向强化规律下，与米赛斯屈服条件相应的后继屈服条件为(4.5-4a)如果初始屈服面取屈雷斯加屈服条件那么与屈雷斯加屈服条件相对应的等向强化规律的后继屈服条件为(4.5-4b)式(4.5-4a)及式(4.5-4b)中的力学性态记录史是与塑性变形有关的那局部应力史的记录，因此可用总的塑性变形比功或总的等效塑性应变作为参数，即可表示为或(4.5-5)式中和的定义分别为(4.5-6a)和(4.5-6b)式(4.5-5)中的两个积分表达式的积分是沿着加载路径进行的。将式(4.5-5)中两式代入式(4.5-3)，可以得到(4.5-7)或(4.5-8)对于米塞斯初始屈服函数的情形，式(4.5-7)和式(4.5-8)给出(4.5-9)或(4.5-10)对于屈雷斯加初始屈服函数的情况，有(4.5-11)或(4.5-12)式(4.5-9)～(4.5-12)中的函数和可由单向拉伸实验确定。下面以式(4.5-9)和式(4.5-10)为例，具体说明如何由单向拉伸实验确定函数和。在单向拉伸(压缩)情况下，因为，，以及，假设体积不可压缩，那么。因此，式(4.5-9)和式(4.5-10)可简化为(4.5-13)函数确实定在单向拉伸情况下，式(4.5-6a)简化为(4.5-14)图4.11函数几何意义图4.12函数确实定由图4.11可知，，即图4.11中的平行四边形的面积，因是微量，因此可认为平行四边形的面积与曲边四边形的面积相等，所以将上式积分可得于是在几何上就是图4.11中曲边四边形的面积。由该图中的几何关系可得(a)式中为图４.１２中三角形的面积。由该图正可知为(b)由(a)、(b)式可得(4.5-15)根据单向拉伸试验曲线，并利用(4.5-15)式，那么可确定，其步骤为如图4.13，在单向拉伸曲线图的轴上取个点并求出相应的应力值(其中)。从中分解出弹性应变和塑性应变，即图4.13单向拉伸曲线进而可求出塑性功(3)根据(1)和(2)，可得到一组与的对应关系如下：……这组对应关系可用函数表示为()(c)式(c)表示，当在塑性功为时卸载，那么重新加载时的应力到达时，材料开始产生新的屈服。(4)根据式(4.5-13)中的第一式可得到下面的一组对应关系()(d)式(c)说明：假设在塑性功为时卸载，那么重新加载时的应力到达时，材料开始产生新的塑性变形。将式(c)、(d)进行比拟，井假定在单向拉伸时米赛斯屈服条件准确，那么可得到下面一组对应值：……根据上述与值可作出如图4.14的曲线。这条曲线确定了相对于的具体依赖关系。图４.１４～关系曲线图４.１5线性强化材料单向拉伸曲线对于如图4.15所示的线性强化材料，与之间存在如下关系(4.5-16)令，那么可得到函数的形式为(4.5-17)将(4.5-17)式代入(4.5-9)式，可得利用等效应カ，上式可写为(4.5-18)其中(4.5-19)式(4.5-18)和式(4.5-19)是利用等向强化规律求得的线性强化材料在复杂应力状态下的米赛斯后继屈服条件。因此，对于线性强化材料，上面确定函数的过程可得到简化。根据(4.5-16)式，由图4.15可得将它代入(4.5-14)式，有由此式可解得将式(4.5-13)的第一式与上式比拟，得再将上式代入(4.5-9)式，那么有(4.5-20)这就是由等向强化规律得到的线性强化材料在复杂应力状态下米赛斯后继屈服条件的另一种形式。函数确实定式(4.5-13)中的第二式表示：在单向拉伸情况下，假设经过塑性变形后卸载，那么重新加载时的应力到达时，材料开始产生新的屈服，即新的屈服应力应为。因此可以作出如图4.16所示的单向拉伸实验曲线。由拉伸曲线可得到下面一组对应值：图4.16单向拉伸实验曲线图4.17后继屈服曲线确实定……由于和，因此可作出如图4.17所示的后继屈服曲线，于是由单向拉伸试验曲线完全确定了做形式。对于线性强化材料，利用图4.15所示的单向拉伸实验曲线，函数确实定过程可得到简化。即令，并注意式(4.5-15)，那么可得到函数的形式为(4.5-21)图4.18线性强化材科的后继屈服条件将(4.5-21)式代入(4.5-10)式，可得当用等效应力表示时，上式可写为(4.5-22)式中(4.5-23)式(4.5-22)和式(4.5-23)是利用等向强化规律求得的线性强化材料在复杂应力状态下的米赛斯后继屈服条件，其后继屈服曲线如图4.18所示。必须注意各向同性强化规律假设加载过程中屈服面在应力空间中均匀膨胀，中心保持不变，因此忽略了鲍氏效应，即忽略了材料在塑性变形过程中呈现的各向异性。虽然各向同性强化规律完全没有计入鲍氏效应，但当结构只承受加载而没有卸载时，或者变形不大以及应力偏量之间的相互比例改变不大时，由它求得的结果与实验结果仍能较好地吻合，加之在分析问题中使用简单方便，因此是一个最为广泛应用的强化模型。(2)运动强化规律运动强化规律认为，在加载过程中，屈服面的形状和大小保持不变，只是在应力空间中作刚性移动。假定初始屈服曲面的方程仍如式(4.5-2)所示，这是一个中心在坐标原点的曲面。根据运动强化规律的假设，只要将初始屈服曲面的中心位置移动，而保持它的形状(即保持的形式)和大小(即保持常数的大小)不变，即可获得后继屈服曲面。因此，后继屈服曲面的方程可写为(4.5-24)如果取初始屈服面为米赛斯屈服面，那么上式给出(4.5-25)式中，为初始屈服面中心在应力空间中的位移。可以证明，是的函数，且有以下关系：(4.5-26)由式(4.5-25)、式(4.5-26)可以看出，只要确定了c，也就确定了后继屈服面中心的位置，后继屈服函数的形式即可完全确定。与等向强化规律的情况类似，c也可通过拉伸实验来确定。下面讨论c为常数的情况，这是最简单的运动强化规律，称为线性运动强化。对于线性运动强化模型，式(4.5-26)可写成全量形式(参见4.7节)：将上式代入式(4.5-25)，可得(4.5-27)上式就是线性强化规律下的米赛斯后继屈服条件。在单向拉伸时，可简化为或写为(4.5-28)上式说明，在简单拉伸时，假设采用线性运动强化规律，那么当卸载后再重新加载的应力到达时，材料开始产生新的屈服。另一方面，对于线性强化材料，单向拉伸实验曲线给出将上式与(4.5-28)式比拟，得将它代入(4.5-25)，有(4.5-29)式(4.5-29)即是由线性运动强化规律求得的线性强化材料在复杂应力状态下的米赛斯后继屈服条件。由以上的讨论可见，运动强化规律与各向同性强化规律的根本区别在于运动强化规律由于假定屈服面在应力空间中移动，从而考虑了材料在塑性变形过程中呈现的各向异性，计入了鲍氏效应。当变形较大，特别是应力有反复变化时，各向同性强化规律求得的结果与实验结果不符，这时应考虑采用较为复杂的运动强化模型。5.3加载与卸载准那么材料在单向应力状态下的加载和卸载准那么，可由其单向拉伸实验确定。例如，对于理想弹—塑性材料，假设设为位于屈服点上的应力水平，为施加的应力增量，根据单向拉伸实验曲线图4.19(a)，其加载与卸载准那么可表示为(a)理想弹—塑性材料(b)强化材料图4.19单向应力状态下的加载与卸载对于强化材料(如图4.19b所示)，那么当材料处于复杂应力状态时，由于产生塑性变形时的物理过程的复杂性及实验资料的不充分，加载过程与卸载过程的判别变得十分复杂。下面所建立的加载与卸载准那么实际上是单向应力状态下加载与卸载准那么的推广。这些准那么在加载路径不太复杂(载荷没有突然上下的反复变化，且加载路径的方向没有大改变)的情况下，已为实验所证实，它们能够相当广泛地适用于工程结构构加载情况。(1)理想弹—塑性材料的加载与卸载理想弹—塑性材料的后继屈服条件与初始屈服条件是相同的，其屈服面方程可表示为：式中、分别为屈服面和材料常数，与变形历史无关。现设为位于屈服面上的应力水平，为施加的应力增量，假设新的应力点仍然位于屈服面上，或即使得应力点在屈服面上自A点移至B点(图4.20)，这一过程称为加载；假设使应力点从屈服面上移到屈服面内，这一过程称为卸载。注意到为屈服面的外法线方向，那么理想弹—塑性材料的加载与卸载准那么可表示为图4.20理想弹-塑性材料的加载与卸载图4.21强化材料的加戴、中性变载和卸载(4.5-30)2)强化材料的加载、中性变裁与卸载强化材料的屈服面方程为：仍设为位于屈服面上的应力水平，为施加的应力增量。假设使得应力点从上移至与之无限邻近的新的屈服面上(图4.21)，这一过程称为加载；假设使应力点在屈服面上移动，这一过程称为中性变载；假设使应力点返回屈服面之内，这一过程称为卸载。这三个过程的判别准那么为(4.5-31)中性变载过程是强化材料所特有。根据上面定义，中性变载过程不产生新的塑性变形，但材料仍处于塑性状态。塑性应力应变关系的增量理论如果受力物体中某点的应力状态满足屈服条件，那么该点己进入塑性阶段，因此对于该点弹性本构关系(即广义虎克定律)就不再适用。这就需要建立塑性阶段的本构方程来描述塑性应力和应变之间或应力增量和应变增量之间的关系。在第一章已经知道，塑性加力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性，即应力应变关系不再是线性的，应变不能由应力唯一确定。当外载荷变化时，应力也要变化，在应力空间代表一点应力状态的应力点就要移动，应力点移动的轨迹称为应力路径，这一过程称为应力历史。对应于外载荷就是加载路径和加载历史。在弹性阶段，应变可由应力直接用虎克定律求出，不需了解这一应力状态是怎样到达的，即不必了解其应力历史。在塑性阶段，应变状态不但与应力状态有关，而且依赖于整个的应力历史，或者说，应变是应力和应力历史的函数。例如由简单拉伸曲线可知，零应力状态可对应于经过各种加载历史而最终卸载至零而残留的应变状态，这说明应变是与应力和应力历史有关。由于实际结构材料所经历的变形历史的复杂性，因此，在一般加载条件下，很难建立一个能够包括各种变形历史影响的全量形式的塑性应力—应变关系，而只能就增量应力与增量应变之间建立起增量形式的塑性本构关系，此即所谓增量理论或流动理论。由加载与卸载准那么可知，当结构材料进入塑性状态之后，应力点位于屈服面上，此时材料的应力—应变关系将根据加载与卸载的不同情况而服从不同的规律。假设为卸载，那么施加的应力增量将使应力点从屈服面上返回到屈服面内，增量应力与增量应变之间仍服从虎克定律。假设为加载，那么所施加的增量应力将使应力点在屈服面上移动或移动到新的屈服面上，此时材料的本构关系服从流动规律。因此，(1)塑性流动理论解决的是加载过程中应力增量与应变增量之间所服从的规律；(2)结构材料因加载与卸载的不同而有不同的本构关系。当—点处应力状态进入塑性状态以后，相应的总应变可以分为弹性应变和塑性应变两局部，即(4.6-1)其中弹性局部服从虎克定律，塑性局部为总应变与弹性应变之差，是卸载后不能恢复的残留应变，当卸载发生时保持不变，而仅在继续加载时才发生变化。有时为了方便，的初值假定为零，之后的应变值便是与零应变相比拟的相对值。以上说明，塑性应变与加载路径有关，所以，必须讨论应力的变化特征和应变的变化特征，并且将进一步限定从考虑无穷小的变化，计算其全部加载历史过程的增量，之后用积分或求和的方法求出总应变。这就是塑性理论为什么具有增量特征的原因。6.1应变增量与应力偏增量弹塑性体内任一点的总应变为(4.6-1)式，当外荷载有微小增量时，总应变必有微小增量，为弹性应变量与塑性应变增量之和，从而有展开上式，即(4.6-2)由前面已经知道：对于金属类材料，即使在高压下，平均正应力使物体发生弹性体积改变，而不会产生塑性体积改变。仅在应力偏量作用下，物体将产生畸变，而不发生体积改变。物体的畸变可分为弹性变形和塑性变形两局部，即塑性变形仅由应力偏量所引起。在塑性状态，材料不可压缩，即体积变形等于零又因上式表示平均应变增量等于平均弹性应变增量。于是，应变偏量的增量为(4.6-3)在弹性阶段，根据广义虎克定律，有(4.6-4)因，等等，那么有(4.6-5)注意到，，，那么有(4.6-6)式(4.6-6)说明，在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量成比例，其比例常数为2G。另外，平均正应力增量和平均正应变增量之间的关系可以用增量形式的广义虎克定律表示为(4.6-7)由式(4.6-3)的笫一式解得，并代入式(4.6-2)中的第一式，有类似可得(4.6-8)也可将上式简写作(4.6-9)6.2应力增量与应变增量之间的关系增量理论基于如下假设：在塑性变形过程中的任一微小时间增量内，瞬时应力偏量与应变增量成比例，即(4.6-10)在上式中的后三个分式的分母为零，那么分子必须同时为零。这说明该关系要求应力主轴与塑性应变增量主轴重合。上式可简写为(4.6-11)其中为非负的标量比例系数，且随加载历史不同而变化。在式(4.6-11)中，因体积变化是弹性的，即平均正应变的塑性分量为零，所以在式(4.6-10)中，塑性应变增量也就是塑性应变偏量增量。并注意到物体变形的总应变为弹性应变与塑性应变之和，因此将式(4.6-10)代入式(4.6-8)，得总应变增量与应力偏量之间的关系为(4.6-12a)该式可简写为(4.6-12b)式(4.6-12)称为普朗特-劳依斯(Prandtl-Reuss)方程。该方程说明：塑性应变增量不是取决于到达该状态所需的应力增量，而是依赖于该瞬时的应力增量。这些方程仅给出了不同方向间塑性应变增量之比的关系式，而其实际大小并不确定，这将在以后讨论。由方程(4.6-12)，有(4.6-13)在以上的讨论中引进了参数，但增加了一个屈服条件，仅当应力满足屈服条件时才不等于零，因此可通过屈服条件予以确定。将式(4.6-13)中右边的第一式减第二式后，并将左右两边平方可得类似地可获得，及(注意等)后，可得上式的右边可用八面体的剪应力增量表示，而左边与八面应剪变表达式相似，因此它可用八面体塑性剪应变增量表示，这样可将上式改写为于是得(4.6-14)如分别定义有效应力(或称应力强度)和有效塑性应变增量(或称塑性应变强度增量)为将式(4.6-15)和式(4.6-16)代入式(4.6-14)可得(4.6-17)这样，依据式(4.6-17)可将式(4.6-13)写为(4.6-18a)式