立体几何中向量方法收藏

-----直线的方向向量与平面的法向量3.2立体几何中的向量方法(一)1

上一节,我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节我们进一步学习立体几何中的向量方法.

立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.思考如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?2AP1、点的位置向量3ABP2、直线的方向向量这样,点A和向量不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点.4αobaP3、平面的法向量这样,点O与向量不仅可以确定平面的位置,还可以具体表示出内的任意一点5法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量αla类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置问题：法向量如何确定平面的位置？A给定一点A和一个向量a,那么，过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的。6因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。4、法向量的运用7例1(1)设分别是直线的方向向量,根据下列条件判断与的位置关系:

②③分析:直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系①平行②垂直③相交或异面8分析:平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系①垂直②平行③相交(不垂直)例1(2)设分别是平面的法向量,根据下列条件判断与的位置关系:

②③

9分析:直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系例1(3)设是平面的法向量,是直线的方向向量,根据下列条件判断与的位置关系:

②③①②垂直③相交(斜交)10例2已知平面经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求平面的一个法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴设平面的法向量是依题意,有,即

解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2∴平面的一个法向量是11定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

反思：此题典型的说明了向量法与几何法各有什么优劣。结合前面几节课的内容。几何法：缺点：几何法复杂难懂，需要空间想象能力超强。几何法思维的发生发展难，几何法技巧性高个性强，很不容易想到。优点：几何法证出来了我们就知道为什么能证出来，几何法能看清几何体的结构本质。几何法是垂直我们就知道为什么垂直，因为有图形为证。也因为几何法我们是通过视觉，向量法却是大脑的抽象思维。向量法：优点：向量法简单明了没几步。此题可看出向量法的威力和优越。向量法是证出来了也不知道为什么能证出来。向量法表面上是代数运算实际上是几何运算，几何运算被隐藏起来了。向量法证明是空荡荡的，找不到一个坚实的支撑点。向量法看不清楚。结合前几节课的题可看出向量法是只披着羊皮的狼。向量法求解与证明可以有统一的模式，几何法却是技巧性高个性强。缺点：运算量很大。12小结1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问