重庆市新店重点达标名校2023年中考数学最后一模试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.如图，四边形ABCD是正方形，点P,Q分别在边AB,BC的延长线上且BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并

分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论：①AQ_LDP；②△OAEs/iOPA；③当正方形的边长为3,

D.3

2.中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（

如2+加;+c（a和）的图象如图，下列结论正确的是（

A.〃v0B."一4被<0C.当一l<x<3时，y>OD.--=1

2a

4.八边形的内角和为（）

A.180°C.1080°D.1440°

5.2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋

海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳

大桥总长度55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）

A.55x10sB.5.5xl04C.0.55x10$D.5.5x10s

6.下列说法正确的是（)

A.一个游戏的中奖概率是则做10次这样的游戏一定会中奖

1

X

B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式

C.一组数据8,8,7,10,6,8,9的众数和中位数都是8

D.若甲组数据的方差S="0.01",乙组数据的方差s=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定

7.小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但

实际这样的机会是（）

11八13

A.—B・-C.-D.一

2344

8.若二次函数），=以2—2ax+c的图象经过点（-1,0）,则方程以2—2"+c=0的解为（）

A.%=—3,%2=-1B・-V]=1,%2=3C.-1，=3D.七二一3,X）—1

9.已知aVL点A（xi,-2）、B（X2,4）、C（x3,5）为反比例函数y=七[图象上的三点，则下列结论正

X

确的是（）

A.X1>X2>X3B.X1>X3>X2C.X3>X1>X2D.X2>X3>X1

10.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲：函数图像经过第一

象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随X值的增大而减小.根据他们的描述，姜老师给出

的这个函数表达式可能是（）

31

A.y=3xB.y=-C.y-——D.y-x1

xx

11.如图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是（）

712

12.中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发

量就超过81000（）这个数用科学记数法表示为（）

A.8.1X106B.8.1x10sC.81x10sD.81xl04

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分

13.一艘货轮以18.「km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B,货轮

继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15。方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.

14.如图，点。,E,尸分别在正三角形A8C的三边上，且ADEP也是正三角形.若AABC的边长为△OEF的边长

为〃，则尸的内切圆半径为.

15.正五边形的内角和等于____度.

16.计算：|-3|+（-1）2=.

17.已知关于x的方程x2-2x+n=l没有实数根，那么|2-川-II-川的化简结果是.

18.若a2+3=2b,贝!|a3-2ab+3a=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”

四个项目进行评价.检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统

计图和条形统计图（均不完整）.请根据统计图中的信息解答下列问题：

质疑”对应的圆心角为度；将条形统计图补充完整；如果该地区初中学生共有60000名，那么在课堂中能“独立

思考，，的学生约有多少人？

20.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,M是BC的中点，延长AM到点D,AE=AD,NEAD=

90°,CE交AB于点F,CD=DF.

（1）NCAD=______度;

(2)求NCDF的度数；

(3)用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明.

21.(6分)某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润:

方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；

方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为M千元)时，每月销售量将是原销售量的0

倍，且p=-1陪成产「％加

试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！

22.(8分)如图，在AABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,且BF是。O的切线，BF

交AC的延长线于F.

(1)求证：ZCBF=-ZCAB.(2)若AB=5,sinZCBF=—,求BC和BF的长.

25

23.(8分)(1)计算：|-2|-(rt-2015)°+-2-2sin60°+V12;

(2)先化简，再求值：0二+(2+上)，其中a=0.

a-aa

24.(10分)为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,

B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.

(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这10()件纪念品的资金不少于

7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一

种方案获利最大？最大利润是多少元？

25.(10分)如图，在A48c中，A5=AC,。为BC的中点，DE±AB,DFLAC,垂足分别为E、F,求证：DE=DF.

A

26.（12分）在AABC中，AB=AC,以A3为直径的圆交BC于D,交AC于E.过点E的切线交OD的延长线于F.求

证：BF是。的切线.

27.（12分）某新建小区要修一条1050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程.经

了解得到以下信息（如表）：

工程队每天修路的长度（米）单独完成所需天数（天）每天所需费用（元）

甲队30n600

乙队mn-141160

（1）甲队单独完成这项工程所需天数n=—,乙队每天修路的长度m=一（米）；

（2）甲队先修了x米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y天完成这项工程（其中x,y为正整数）.

①当x=90时，求出乙队修路的天数；

②求y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）；

③若总费用不超过22800元，求甲队至少先修了多少米.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

由四边形A8C。是正方形，得到AZ)=5C,mLB=NABC=90。，根据全等三角形的性质得到NP=NQ,根据余角的

性质得到AQJ_OP；故①正确；根据勾股定理求出AQ=6F7^=5,NOFO=NBAQ,直接用余弦可求出.

【详解】

详解：•.•四边形A8C。是正方形，

：.AD=BC,ZDAB=ZABC=90,

,:BP=CQ,

：.AP=BQ,

AD^AB

在^DAP与&ABQ中，《NDAP=ZABQ

AP=BQ,

：.4DAP迫AABQ,

:.NP=NQ,

'：NQ+NQAB=90,

...NP+NQAB=90,

ANAOP=90,

：.AQ±DP；

故①正确；

②无法证明，故错误.

,:BP=1,48=3,

BQ=AP=4,

AQ=JAB2+BQ2=5,

ZDFO=NBAQ,

A83

/.cosZ.DFO=cosZ.BAQ=——=—.故③正确，

AQ5

故选C.

【点睛】

考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高.

2、C

【解析】

根据中心对称图形的概念进行分析.

【详解】

A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3、D

【解析】

试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.

解：•••抛物线开口向上，

，。>0

••.A选项错误，

•••抛物线与x轴有两个交点，

b1—4ac>0

.•.B选项错误，

由图象可知，当一l<x<3时，y<0

•••C选项错误，

由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（-1,0）和（3,0）可知对称轴为x=l

即一?=1,

.".D选项正确，

故选D.

4、C

【解析】

试题分析：根据n边形的内角和公式（n-2）xl80°可得八边形的内角和为（8-2）xl800=1080",故答案选C.

考点：n边形的内角和公式.

5、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【详解】

将度55000用科学记数法表示为5.5x1.

故选B.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

6、C

【解析】

众数，中位数，方差等概念分析即可.

【详解】

A、中奖是偶然现象，买再多也不一定中奖，故是错误的；

B、全国中学生人口多，只需抽样调查就行了，故是错误的；

C、这组数据的众数和中位数都是8,故是正确的；

D、方差越小越稳定，甲组数据更稳定，故是错误.故选C.

【点睛】

考核知识点：众数，中位数，方差.

7、C

【解析】

列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.

【详解】

画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为

4

故选C.

红绿

8、C

【解析】

:二次函数y=-2ax+c的图象经过点（-1,0）,...方程一2以+。=。一定有一个解为：x=-1,1,抛物线

的对称轴为：直线x=L.•.二次函数y=or2-2℃+c的图象与x轴的另一个交点为：（3,0）,...方程以2-2ox+c=0

的解为：石=T,x2=3.

故选C.

考点：抛物线与x轴的交点.

9、B

【解析】

根据）=巴［的图象上的三点，把三点代入可以得到xi=-,x.=二，X3=^,在根据a的大小即可解

x245

题

【详解】

解：..•点A（xi,-1）、B（xi,4）、C（X3,5）为反比例函数>=±1图象上的三点，

：・X1=-

Va<L

Aa-l<0,

/.X1>X3>X1.

故选B.

【点睛】

此题主要考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于把三点代入，在根据a的大小来判断

【解析】

y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误;

3

y=—的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确;

y=--的图象在二、四象限，故选项C错误;

y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误;

故选B.

11、B

【解析】

抓住黑白面积相等，根据概率公式可求出概率.

【详解】

因为，黑白区域面积相等，

所以，点落在黑色区域的概率是

2

故选B

【点睛】

本题考核知识点：几何概率.解题关键点：分清黑白区域面积关系.

12、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axltr的形式，其中iqa|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【详解】

810000=8.1x1.

故选B.

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|<lO,n为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

作CEJ_AB于E,根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE,根据三角形的外角的性质求出NB的度数，根

据正弦的定义计算即可.

【详解】

作CE±AB于E,

北

1\Jkm/hx30分钟=9•.二km,

/.AC=9，,：km,

VZCAB=45°,

CE=AC*sin45°=9km,

•.•灯塔B在它的南偏东15。方向,

.•.ZNCB=75°,ZCAB=45°,

:.NB=30°,

•-BC=rnr7=,km>

故答案为：i.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

14、旺(a—b)

6

【解析】

根据△ABC、AEFD都是等边三角形，可证得△AEFgZkBDEgaCDF,即可求得AE+AF=AE+BE=a,然后根据切

线长定理得到AH=，(AE+AF-EF)=-(a-b);,再根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径.

22

【详解】

解：如图1,。1是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE,BD=BF,CE=CF,

/.AD=AE=-[(AB+AC)-(BD+CE)]=-[(AB+AC)-(BF+CF)]=-(AB+AC-BC),

222

图2

如图2,'.•△ABC,△DEF都为正三角形,

.,.AB=BC=CA,EF=FD=DE,NBAC=NB=NC=NFED=NEFD=NEDF=60°,

AZl+Z2=Z2+Z3=120°,Z1=Z3；

在4AEF^nACFD中，

,ABACAC

<N1=N3,

EF=FD

/.△AEF^ACFD(AAS)；

同理可证：△AEFgZ\CFDgZkBDE；

；.BE=AF,即AE+AF=AE+BE=a.

设M是AAEF的内心，过点M作MH_LAE于H,

则根据图1的结论得：AH=-(AE+AF-EF)=-(a-b)；

22

VMA平分NBAC,

.,.ZHAM=30°；

/.HM=AH,tan300=—(a-b)=—b)

236V7

故答案为：-^(a-b).

【点睛】

本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理,

根据已知得出AH的长是解题关键.

15、540

【解析】

过正五边形五个顶点，可以画三条对角线，把五边形分成3个三角形

二正五边形的内角和=3x180=540°

16、4.

【解析】

|-3|+(-1)2=4,

故答案为4.

17、-1

【解析】

根据根与系数的关系得出b2-4ac=(-2)2-4xlx(n-1)=-4n+8<0,求出n>2,再去绝对值符号，即可得出答案.

【详解】

解：•.•关于X的方程x2-2x+n=l没有实数根，

b2-4ac=(-2)2-4xlx(n-1)=-4n+8V0,

.*.n>2,

|2-n|-11-n|=n-2-n+l=-l.

故答案为-1.

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根与系数的关系求出n的取值范围再去绝对值求解即可.

18、1

【解析】

利用提公因式法将多项式分解为a(a2+3)-2ab,将a2+3=2b代入可求出其值.

【详解】

解:'."a2+3=2b,

a3-2ab+3a=a(a2+3)-2ab=2ab-2ab=l,

故答案为1.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法将多项式分解是本题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)560;(2)54;(3)补图见解析；(4)18000人

【解析】

(1)本次调查的样本容量为224X0%=560(人)；

(2)“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360ox84560=54"；

(3)“讲解题目”的人数是：560-84-168-224=84(人).

(4)60000x——=18000(人),

560

答：在课堂中能“独立思考”的学生约有18000人.

20、(1)45;(2)90°;(3)见解析.

【解析】

(1)根据等腰三角形三线合一可得结论；

(2)连接DB,先证明△BAD丝4CAD,得BD=CD=DF,贝！|NDBA=NDFB=NDCA,根据四边形内角和与平角

的定义可得NBAC+NCDF=180。，所以NCDF=90。；

(3)证明AEAFgZkDAF,得DF=EF,由②可知，Cf=正。£)可得结论.

【详解】

(1)解：：AB=AC,M是BC的中点，

.'.AMXBC,NBAD=NCAD,

VZBAC=90°,

二ZCAD=45°,

故答案为：45

(2)解：如图，连接DB.

VAB=AC,ZBAC=90°,M是BC的中点，

.,.ZBAD=ZCAD=45°.

.,,△BAD^ACAD.

.,.ZDBA=ZDCA,BD=CD.

VCD=DF,

.".BD=DF.

.*.ZDBA=ZDFB=ZDCA.

,.,ZDFB+ZDFA=180°,

.••ZDCA+ZDFA=180°.

.,.ZBAC+ZCDF=180°.

.,.ZCDF=90°.

(3)CE=(正+i)m

证明：VZEAD=90°,

.,.ZEAF=ZDAF=45°.

VAD=AE,

.,.△EAF^ADAF.

.••DF=EF.

由②可知，CF=6CD.

:.CE=EF+CF=DF+CF=CD+CF=(4I+\^CD.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理及性质.

21、方案二能获得更大的利润：理由见解析

【解析】

方案一：由利润=(实际售价-进价)X销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；

方案二：由利润=(售价-进价)X500P-广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润.

【详解】

解：设涨价X元，利润为y元，则

方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+X-40,销售量为：500-lOx,

:.y=(50+x-40)(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x-20)2+9000,

,当x=20时，y最大=9000,

.,•方案一的最大利润为9000元；

方案二：该商品售价利润为=(50-40)x5000,广告费用为：1000，"元，

2

二y=(50—40)x500〃一1000加=一2000〃，+9()00m=-2(X)0(m-2.25)+10125,

二方案二的最大利润为10125元；

选择方案二能获得更大的利润.

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式，配方求出最大值.

22、(1)证明略；(2)BC=2后,BF=一.

3

【解析】

试题分析：(1)连结AE.有AB是。O的直径可得NAEB=90。再有BF是。O的切线可得BF±AB,利用同角的余角相

等即可证明；

(2)在RtAABE中有三角函数可以求出BE,又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,

过点C作CG_LAB于点G可求出AE,再在RtAABE中，求出sin/2,cosN2.然后再在RtACGB中求出CG,最后

证出△AGC^AABF有相似的性质求出BF即可.

试题解析：

(1)证明：连结AE.TAB是。O的直径，AZAEB=90°,Zl+Z2=90°.

YBF是。O的切线，，BFJLAB,AZCBF+Z2=90°..\ZCBF=Z1.

VAB=AC,ZAEB=90°,.*.Z1=-ZCAB.

2

.*.ZCBF=-ZCAB.

2

(2)解：过点C作CG_LAB于点G：sinNCBF=g,N1=NCBF,：.sinZl=^-

VZAEB=90°,AB=5..*.BE=ABsinZl=>/5.

VAB=AC,ZAEB=90°,.\BC=2BE=275.

在RtAABE中，由勾股定理得4/=〃”-BE?=2百.

..八_2-75八_石

・・sm/2------tcos42——•

55

在RtACBG中，可求得GC=4,GB=2.AAG=3.

VGC/7BF,.,.△AGC<^AABF.

BFAB

,fiF=GC^=20

AG3

考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.

23、(1)5+73;(2)V2-1

【解析】

试题分析：(1)先分别进行绝对值化简，。指数嘉、负指数第的计算，特殊三角函数值、二次根式的化简，然后再按

运算顺序进行计算即可；

(2)括号内先通分进行加法运算，然后再进行分式除法运算，最后代入数值进行计算即可.

试题解析：(1)原式=2-1+4-2x31+26=2-1+4-石+2百=5+6：

2

(Q+1)(Q—1)2〃+/+1(Q+1)(Q—1)a1

(2)原式二

Q(Q-1)a4(Q-1)(Q+])"o+T

原式=念1=&/♦

当a=行时,

24、(1)A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元(2)共有4种进货方案(3)当购进A种纪念品5()

件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元

【解析】

解：(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，

：8。+36=950

根据题意得方程组得：…、，…2分

'5a+66=800

□=100

解方程组得：，

b=50

••・购进一件A种纪念品需要10()元，购进一件B种纪念品需要50元…4分；

(2)设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有(100-x)个，

.100x-50(100-x)S-500

••,・・・6分

1100Y*50I100-YI£*650

解得：50sxs53,...7分

〈X为正整数，

二共有4种进货方案…8分；

(3)因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，

因此选择购A种50件，B种50件....10分

总利润=50x20+50x30=2500（元）

当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元